专题一 压轴填空题
第七关 以恒成立或有解为背景的填空题
【名师综述】
含参数不等式的恒成立或有解问题，是高考的热点.它往往与函数、数列、三角函数、解析几何综合考查.解决这类问题，主要是运用分离变量法,等价转化为求具体函数的最值；运用数形结合法，等价转化为临界点；运用分类讨论法，等价转化为研究含参函数的最值.
类型一 分类讨论差函数最值
典例1 若不等式在上恒成立，则的取值范围是________.
【答案】
（ⅱ）当时，令
且
即时，
于是在 上单调递减，
所以 即 在上成立．
则在上单调递减，
故在上成立，符合题意．
，即 时，
若 则 在上单调递增；
若在 则在上单调递减，
又 则在上成立，即 在上恒成立，所以在上单调递增，则在上恒成立．与已知不符，故不符合题意．综上所述， 的取值范围.
即答案为.
【名师指点】恒成立等价与恒成立，记，则，本题中由于有参数，需要分类讨论，利用导数求最值．
【举一反三】已知函数若当时，恒成立，则的取值范围______．
【答案】
类型二 参变分离求具体函数最值
典例2 若不等式对任意都成立，则实数的最小值为________．
【答案】100
【解析】由正弦定理得
因此 ，即的最小值为100
【名师指点】本题通过不等式恒成立问题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集．若按照参数讨论则取并集，是中档题．不等式恒成立时求参数的取值范围，常常采用分离参数法把不等式变形为如“”形式，则只要求出的最大值，然后解即可．
【举一反三】若不等式对任意满足的实数， 恒成立，则实数的最大值为__________．
【答案】
当时,f′(t)>0,函数f(t)单调递增;
当时,f′(t)f(sinx－1－m)恒成立，则实数m的取值范围为________．
【答案】
，即或，即或，即 或 ，故的取值范围为
即答案为
3.设二次函数的导函数为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值__________．
【答案】
【解析】∵
∴
∵对任意，不等式恒成立
∴，简可得
∴且，即
∴
∴
∴
∴
令，则
∴当时， ，当且仅当时取等号
当时，
综上所述， 的最大值为
故答案为
4.若对于任意的正实数都有成立，则实数的取值范围为______
【答案】
5．设点满足条件，点满足恒成立，其中是坐标原点，则点的轨迹所围成图形的面积是 ．
【答案】
【解析】
不等式组在平面直角坐标系中所表示的区域如下图所示：
因为 ，所以由得：
设目标函数为：，因为，所以其最优解只可能在顶点处取得，
所以，要使恒成立，一定有：
此不等式组在坐标平面内所表示的区域是长为1，宽为 的矩形，面积为.
所以答案应填: .
6．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
7．不等式对于任意的，存在成立，则实数的取值范围
为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意得对于任意的成立，即对于任意的成立，所以存在使得成立，因此
8．函数，若对于区间上的任意，都有，则实数的最小值是 ．
【答案】20
【解析】对于区间上的任意都有，等价于对于区间
上的任意，都有，∵，∴，∵，∴函数在上单调递增，在上单调递减，∴∴，∴．
9．已知变量x，y满足约束条件，若恒成立，则实数的取值范围为________．
【答案】.
【解析】
10．若关于的不等式在（0，+）上恒成立，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
（2）当时，在上恒为负，在上恒为正；在上单调递增，则需,此时，符合题意；
（3）当时，在恒为负；在单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值也即是最大值，，解得．
11．若对，不等式恒成立，则正实数的最大值是____________．
【答案】．
【解析】
12．已知：函数，若对使得，则实数的取值范围__________．
【答案】
【解析】
13．设，不等式对恒成立，则的取值范围________．
【答案】
【解析】根据题意有，即，结合题中所给的角的范围，求得的取值范围是．
14．已知函数，若在区间上是增函数，则实数的取值范围 .
【答案】.
【解析】∵在恒成立，即在恒成立，
∵，∴，即.
15．设是定义在R上的奇函数，且当，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是 ．
【答案】.
【解析】
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