专题一 压轴填空题
第八关 以绝对值为背景的填空题
【名师综述】
绝对值是高中数学的重要概念，含绝对值问题是高中数学中分类讨论思想的典型体现．近年来，高考对绝对值的命题，既考查对绝对值定义、含绝对值函数图像变换的理解，又考查与函数、方程、不等式等综合的运用，着重考查分类讨论思想在解题中运用．
类型一 以绝对值零点考查分类讨论点
典例1 已知函数f(x)＝若对于t∈R，f(t)≤kt恒成立，则实数k的取值范围是____________．
【答案】
【名师指点】本题考查了分段函数、利用导数求最值，以及恒成立问题等内容，借助分类讨论使问题得到解决．本题属于难题．
【举一反三】已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为____________．
【答案】4
【解析】设F(x)＝f(x)＋g(x)＝，利用导数知识画出F(x)的图象，它与直线y＝1，y＝－1的交点各有2个，方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为4.
类型二 以绝对值形式考查分段函数图像性质
典例2 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a|＋|x－2a|－3|a|)．若集合{x|f(x－1)－f(x)＞0，x∈R}＝ ，则实数a的取值范围为____________．
【答案】
通过图象观察，当a≤0时，f(x－1)≤f(x)恒成立；
(2) 当a>0时，当x≥0时，
∵ 函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴ f(x)在R上的图象为(如下图)：
要使f(x－1)≤f(x)，两图象只要满足：
由图知，只要满足－3a＋1≥3a，即00即a>0时，a－＝>0，a>.f(x)的图象大致如图：
易知f(x)的增区间为、[a，＋∞)．要使f(x)在[0，2]上单调递增，只需≥2，a≥3.综上，a≤0或a≥3.
【名师指点】本题考查了函数的图象、导数、单调性等内容，重点考查分类讨论思想和数形结合思想．本题属于难题．
【举一反三】已知函数f(x)＝|x3－4x|＋ax－2恰有2个零点，则实数a的取值范围为________．
【答案】a1
【精选名校模拟】
1.已知函数f(x)＝|sinx|－kx(x≥0，k∈R)有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为x0，则 ＝____________．
【答案】
【解析】由|sinx|－kx＝0有且只有三个根，又0为其中一个根，即y＝kx与相切，设切点为(x0，y0)，由导数的几何意义和斜率公式得－cosx0＝，即得tanx0＝x0，
2.函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx－k至少有两个不相等的实数根
，则实数k的取值范围为____________．
【答案】∪(1，＋∞)
【解析】画图，y2＝kx－k过定点(1，0)，找到临界(－0.5，0.5)和(1，0)连线斜率－与临界f′(1)＝1.由图象知实数k的取值范围为∪(1，＋∞)．
3.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，＋∞)，满足f(x＋2)＝f(x)．若当x∈[0，2)时，f(x)＝|x2－x－1|，则函数y＝f(x)－1在区间[－2，4]上的零点个数为____________．
【答案】7
4.已知f(x)是定义在[1，＋∞)上的函数，且f(x)＝则函数y＝2xf(x)－3在区间(1，2 015)上零点的个数为________．
【答案】11
【解析】作出函数f(x)＝的图象，函数y＝2xf(x)－3的零点为方程f(x)＝的解，即零点个数为函数y＝f(x)与函数y＝图象交点个数，通过图象可得零点为·2n－1，n∈N*，令1
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