菏泽市2018届高三年级第一次模拟考试
数学（文科）
2018.3
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.
1.已知集合，，则=
A. B. C. D.
2.已知复数满足（是虚数单位），则=
A. B. C. D.
3.若在范围上随机取一个数a，则事件“”发生的概率为
A.0 B.1 C. D.
4.若，则下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.
5.若椭圆经过点，随椭圆的离心率=
A. B. C. D.
6.已知在等差数列中，，，，若，且，则的值为
A.9 B.11 C.10 D.12
7.执行如图所示的程序框图，输入，若要求输出不超过500的最大奇数，则
内应该填
A. B. C. D.
8.对于四面体，有以下命题：①若AB=AC=AD，则AB，AC，AD与底面所成的角相等；②若AB⊥CD，AC⊥BD，则点A在底面BCD内的射影是△BCD的内心；③四面体的四个面中最多有四个直角三角形；④若四面体的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为，其中正确的命题是
A.①③ B.③④ C.①②③ D.①③④
9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是
A. B. C. D.
10.已知，若将函数的图象向右平移
个单位长度后所得图象关于轴对称，则的最小值为
A. B. C. D.
11.已知F是双曲线C：的右焦点，P是轴正半轴上一点，以OP（O为坐标原点）为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点M.若点P，M，F三点共线，且△MFO的△PMO的面积的3倍，则双曲线C的离心率为
A. B. C. D.2
12.已知函数的极大值为4，若函数在上的极小值不大于，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知角的终边经过点，则的值为_________.
14.已知在△ABC中，D为边BC上的点，且BD=3DC，点E为AD的中点，，则=_________.
15.若实数，满足，则的最小值是_________.
16.已知数列的前项和为，且满足，记，若对任意的，总有成立，则实数的取值范围为_________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个题目考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12 分）
在中，角，，的对边分别为，，，且，
.
（1）求的值；
（2）若的周长为5，求的面积.
18.（本小题满分12分）
某省的一个气象站观测点在连续4天里记录的AQI指数M与当天的空气水平可见度（单位：cm）的情况如表1：
900
700
300
100
0.5
3.5
6.5
9.5
该省某市2017年11月份AQI指数频数分布如表2：
频数（天）
3
6
12
6
3
（1）设，若与之间是线性关系，试根据表1的数据求出关于的线性回归方程；
（2）小李在该市开了一家洗车店，洗车店每天的平均收入与AQI指数存在相关关系如表3：
日均收入（元）
-2000
-1000
2000
6000
8000
根据表3估计小李的洗车店2017年11月份每天的平均收入.
附参考公式：，其中，.
19.（本小题满分12分）
如图，在矩形中，AB=2AD，为DC的中点，将△ADM沿AM折起使平面ADM⊥平面ABCM.
（1）当AB=2时，求三棱锥的体积；
（2）求证：BM⊥AD.
20.（本小题满分12分）
已知曲线：，曲线：，直线与曲线交于，两点，O为坐标原点.
（1）若，求证：直线恒过定点；
（2）若直线与曲线相切，求（点P坐标为）的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若函数在x=2处取得极值，求的极大值；
（2）若对成立，求实数a的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的普通方程；
（2）若P，Q分别为曲线，上的动点，求的最大值.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）设，若对任意不等式成立，求实数m的取值范围.
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参考答案、提示及评分细则
1.B 因为，，所以
.故选B.
2.D 由，得，所以
.故选D.
3.C 根据几何概型概率计算公式，得事件“”发生的概率.
故选C.
4.A 因为，所以，所以由幂函数的性质得，由指数函数的性质得，因此，故选A.
5.D 由题意易得，即，所以椭圆的离心率.
故选D.
6.B 因为在等差数列中，第一项、第三项、第五项分别为，所以，解得，所以公差，所以
，解得或（舍）.故选B.
7.C 输入，则，，不符合；，则， ，不符合；，则，，符合.又，所以输出m的值应为5，所以空白框内填输出，故选C.
8.D ①正确，若AB=AC=AD，则AB，AC，AD在底面的射影相等，即与底面所成角相等；
②不正确，如图，点A在平面BCD的射影为点O，连接BO，CO，可得BO⊥CD，CO⊥BD，所以点O是△BCD的垂心；
③正确，如图，若AB⊥平面BCD，∠BCD=90°，则四面体的四个面均为直角三角形；
④正确，正四面体的内切球的半径为r，棱长为1，高为，根据等体积公式
，解得，那么内切球的表面积. 故正确的命题是①③④.故选D.
11.D 由题意，得OM⊥PF，PM:PF=1:3，OF=c，OM=a，MF=b，，，
即，所以.故选D.
12.B ∵，当时，，无极值；当时，易得在
处取得极大值，则有，即，于是，.当时，，在上不存在极小值.当时，易知在处取得极小值，依题意有
解得.故选B.
13.-39 ∵角的终边经过点，∴，，
，∴，，
∴，
∴.
14. 如图：
.又，
所以，所以.又因为与
不共线，所以，，所以.
15. 不等式可表示为如图所示的平面区域.
为该区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然，当时，取得最小值.
16. 令，得；令，可得；令，可得.故，即.由对任意恒成立，得对任意恒成立，又.所求实数的取值范围为.
17.解（1）∵，∴，
∴.
∵，∴，
∴.
∴，
又，
∴.
∴
又∵，
∴
（2）据（1）求解知，.
又∵，
∴.
又据（1）求解知，
∴的面积.
18.解：（1），，
，
.
∴，，
∴关于的线性回归方程为.
（2）根据表3可知，该月30天中有3天每天亏损2000元，有6天每天亏损1000元，有12天每天收入2000元，有6天每天收入6000元，有3天每天收入8000元，估计小李洗车店2017年11月份每天的平均收入为（元）.
19.解：（1）取AM的中点N，连接DN.
∵在矩形中，为DC的中点，AB=2AD，
∴DM=AD.
又N为AM的中点，
∴DN⊥AM.
又∵平面ADM⊥平面ABCM，平面，平面ADM，
∴DN⊥平面ABCM.
∵AD=1，∴.
又，
∴.
证明：（2）由（1）可知，DN⊥平面ABCM.
又平面ABCM，
∴BM⊥DN.
在矩形中，AB=2AD，M为MC中点，
∴△ADM，△BCM都是等腰直角三角形，且∠ADM=90°，∠BCM=90°，
∴BM⊥AM.
又DN，平面ADM，，
∴BM⊥平面ADM.
又平面ADM，
∴BM⊥AD.
20.证明：（1）设：，.
由得.
∴，.
∴，.
又，
∴，解得.
∴直线方程为，
∴直线恒过点.
解：（2）设方程为，∵直线与曲线相切，
∴.
∴，整理得.①
又点P坐标为，∴由（1）及①，得
.
∴，即的取值范围是.
21.解：（1）∵，∴.
又∵函数在处取得极值，
∴，解得.
当时，.
令，则，∴，.
1
2
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
的极大值为.
（2）据题意，得对恒成立.
设，则.
讨论：
（i）当时，由得函数单调减区间为；由得函数单调增区间为.
∴，且.
∴，解得；
（ii）当时，由得函数单调减区间；由得函数单调增区间为，，
又，，不合题意.
（iii）当时，，在上单调递增，
又，，不合题意.
（iv）当时，由得函数单调减区间为；由得函数单调增区间，，
又，，不合题意.
综上，所求实数a的取值范围是.
22.解：（1）的普通方程为.
∵曲线的极坐标方程为，
∴曲线的普通方程为，即.
（2）设为曲线上一点，
则点到曲线的圆心的距离
.
∵，∴当时，d有最大值.
又∵P，Q分别为曲线，曲线上动点，
∴的最大值为.
23.解：（1）因为，
所以即为，整理得.
讨论：
①当时，，即，解得.
又，所以.
②当时，，即，解得.
又，所以.
综上，所求不等式的解集为.
（2）据题意，得对任意恒成立，
所以恒成立.
又因为，所以.
所以，解得.
所以所求实数m的取值范围是.
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