2018--2019高二年下学期数学期中考试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.
A. B. C. D.
2. 函数在点处的切线方程为
A. B. C. D.
3. 复数为虚数单位的共轭复数是
A. B. C. D.
4. 若，则a的值是
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
5. 已知为虚数单位，若为纯虚数，则a的值为
A. 2 B. 1 C. D.
6. 函数的图象大致为
A. B.
C. D.
1. 已知，则
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
2. 若函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是
A. B.
C. D.
3. 观察下列一组数据
，
，
，
，
则从左到右第一个数是
A. 91 B. 89 C. 55 D. 45
1. 设是定义在R上的奇函数，，当时，有恒成立，则的解集为
A. B.
C. D.
2. 如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案
A. 180种 B. 240种 C. 360种 D. 420种
3. 已知函数满足，且当时，成立，若，则的大小关系是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
4. 若，则 ______ ．
5. 在口袋中有不同编号的5个白球和4个黑球，如果不放回地依次取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次也取得白球的概率是______ ．
6. 计算：____________．
7. 已知边长分别为的三角形ABC面积为S，内切圆O的半径为r，连接，则三角形的面积分别为，由得
，类比得四面体的体积为V，四个面的面积分别为，则内切球的半径 ______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
1. 某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数：
一个唱歌节目开头，另一个压台；
两个唱歌节目不相邻；
两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．
2. 已知函数若函数在处有极值．
求的单调递减区间；
求函数在上的最大值和最小值．
3. 已知展开式前三项的二项式系数和为22．
Ⅰ求n的值；
Ⅱ 求展开式中的常数项；
求展开式中二项式系数最大的项．
1. 在直三棱柱中，底面是直角三角形，为侧棱的中点．
求异面直线所成角的余弦值；
求二面角的平面角的余弦值．
2. 某地区有800名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示其中成绩分组区间是：规定90分及其以上为合格．
Ⅰ求图中a的值
Ⅱ根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率；
Ⅲ若三个人参加交通法规考试，用X表示这三人中考试合格的人数，求X的分布列与数学期望．
1. 已知函数．
Ⅰ当时，求曲线在点处切线的方程；
Ⅱ求函数的单调区间；
Ⅲ当时，若恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
【答案】
1. B 2. B 3. A 4. D 5. D 6. B 7. A
8. C 9. A 10. B 11. D 12. B
13. 121
14.
15.
16.
17. 解：先排歌曲节目有种排法，再排其他节目有种排法，所以共有种排法．
先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目，有种排法，再从其中7个空包括两端中选2个排歌曲节目，有种插入方法，所以共有种排法．
两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，共有种．
18. 解：，依题意有，
即得．
所以，
由，得，
所以函数的单调递减区间．
由知，
令，解得．
随x的变化情况如下表：
由上表知，函数在上单调递减，在上单调递增．
故可得．
19. 解：由题意，展开式前三项的二项式系数和为22．
Ⅰ二项式定理展开：前三项系数为：，
解得：或舍去．
即n的值为6．
Ⅱ由通项公式，
令，
可得：．
展开式中的常数项为；
是偶数，展开式共有7项则第四项最大
展开式中二项式系数最大的项为．
20. 解：如图所示，以C为原点，CA、CB、为坐标轴，建立空间直角坐标系
．
则．
所以
所以．
即异面直线与所成角的余弦值为．
因为，
所以，
所以为平面的一个法向量
因为，
设平面的一个法向量为．
由，得
令，则．
所以．
所以二面角的余弦值为．
21. 解：由直方图知．
解得．
Ⅱ设事件A为“某名学员交通考试合格”．
由直方图知，．
以题意得出X的取值为．
．
．
．
．
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
．
22. 解：Ⅰ由，得：
．
当时，．
依题意，即在处切线的斜率为0．
把代入中，得．
则曲线在处切线的方程为．
Ⅱ函数的定义域为．
由于．
若，
当时，，函数为增函数；
当和时，，函数为减函数．
若，
当和时，，函数为增函数；
当时，，函数为减函数．
综上所述，时，函数的单调增区间为；单调减区间为．
时，函数的单调增区间为；单调减区间为．
Ⅲ当时，要使恒成立，
即使在时恒成立．
设，则．
可知在时，为增函数；
时，为减函数．
则．
从而．
【解析】
1. 解：．
故选：B．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2. 解：
容易求出切线的斜率为4
当时，
利用点斜式，求出切线方程为
故选B．
首先求出函数在点处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程．
本题比较简单，主要应用导数的几何意义，求出切线方程．
3. 解：复数．
复数为虚数单位的共轭复数是：．
故选：D．
利用复数的除法运算法则化简复数，求解即可．
本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力．
4. 解：因为，
所以，所以；
故选D．
将等式左边计算定积分，然后解出a．
本题考查了定积分的计算；关键是正确找出被积函数的原函数．
5. 解：为纯虚数，
，解得：．
故选：D．
直接由复数代数形式的乘法运算化简，再由已知条件列出方程组，求解即可得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
6. 解：函数的定义域为：，当时，函数，可得函数的极值点为：，当时，函数是减函数，时，函数是增函数，并且，选项B、D满足题意．
当时，函数，选项D不正确，选项B正确．
故选：B．
利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的值域，判断函数的图象即可．
本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及函数的图象的判断，考查计算能力．
7. 【分析】
本题考查函数与导数，求导公式的应用及函数值求解本题求出是关键步骤．
先求出，令，求出后，导函数即可确定，再求．
【解答】
解：，令，得，
．
．
故选A．
8. 解：由可得有两个零点，，且，
当，或时，，即函数为减函数，
当，时，，函数为增函数，
即当，函数取得极小值，当，函数取得极大值，
故选：C
根据函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性即可．
本题主要考查函数图象的判断，结合函数单调性，极值和导数之间的关系是解决本题的关键．
9. 解：观察数列 中，，
各组和式的第一个数为：
即，
其第n项为：．
第10项为：．
从而的第一个加数为91．
故选A．
观察数列 中，各组和式的第一个数：找出其规律，从而得出的第一个加数为91．
本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力属于中档题．
10. 解：设是R上的奇函数，为偶函数；
时，；
在上单调递减，；
由得，；
；
，且；
，或；
的解集为．
故选：B．
可设，根据条件可以判断为偶函数，并可得到时，，从而得出在上单调递减，并且，从而由便可得到，且，这样即可得出原不等式的解集．
考查奇函数、偶函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性解不等式的方法，知道偶函数等价于．
11. 解：若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种，
若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花；
或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有种，
若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种，
故最多有种栽种方案，
故选D．
若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种，相加即得所求．
本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
12. 解：根据题意，令，
，则为奇函数；
当时，，则在上为减函数，
又由函数为奇函数，则在上为减函数，
，
因为，
则有；
故选：B．
根据题意，构造函数，则，分析可得为奇函数且在上为减函数，进而分析可得在上为减函数，分析有，结合函数的单调性分析可得答案．
本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数，并分析的奇偶性与单调性．
13. 解：令，则；
再令，则，
，
故答案为：121．
在所给的式子中，分别令、，可得则的值．
本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．
14. 解：设已知第一次取出的是白球为事件A，第二次也取到白球为事件B．
则由题意知，，
所以已知第一次取出的是白球，则第二次也取到白球的概率为．
故答案为：．
设已知第一次取出的是白球为事件A，第二次也取到白球为事件B，先求出的概率，然后利用条件概率公式进行计算即可．
本题主要考查条件概率的求法，熟练掌握条件概率的概率公式是关键．
15. 解：表示x轴上方的半圆，
．
故答案为：
16. 解：由条件可知，三角形的面积公式是利用的等积法来计算的．
根据类比可以得到，将四面体分解为四个小锥体，每个小锥体的高为内切球的半径，
根据体积相等可得，
即内切球的半径，
故答案为．
由三角形的面积公式可知，是利用等积法推导的，即三个小三角形的面积之和等于大三角形ABC的面积，根据类比推理可知，将四面体分解为四个小锥体，则四个小锥体的条件之和为四面体的体积，由此单调内切球的半径．
本题主要考查类比推理的应用，要求正确理解类比的关系，本题的两个结论实质是利用了面积相等和体积相等来推导的．
17. 先排歌曲节目，再排其他节目，利用乘法原理，即可得出结论；
先排3个舞蹈，3个曲艺节目，再利用插空法排唱歌，即可得到结论；
两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，即可得到结论．
本题考查排列组合知识，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．
18. 此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力．
首先求出函数的导数，然后令，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解．
由求出函数的单调区间，可以运用导数判断函数的单调性，从而求出函数在
上的最大值和最小值．
19. Ⅰ利用公式展开得前三项，系数和为22，即可求出n．
Ⅱ利用通项公式求解展开式中的常数项即可．
利用通项公式求展开式中二项式系数最大的项．
本题主要考查二项式定理的应用，通项公式的计算，属于基础题．
20. 以C为原点，CA、CB、为坐标轴，建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，写出两个向量的方向向量，根据两个向量所成的角得到两条异面直线所成的角．
先求两个平面的法向量，在第一问的基础上，有一个平面的法向量是已知的，只要写出向量的表示形式就可以，另一个平面的向量需要求出，根据两个法向量所成的角得到结果．
本题考查利用空间向量解决几何体中的夹角问题，包括两条异面直线的夹角和两个平面的夹角，本题解题的关键是建立坐标系．
21. 根据直方图知．
设事件根据直方图得出求解即可．
以题意得出X的取值为．
据概率公式求解得出．
再求解分布列得出数学期望．
本题考查了离散型的随机变量的分布列，频率分布直方图，数学期望的求解与运用，属于中档题，需要很好地计算能力．
22. Ⅰ求出原函数的导函数，代入，求得，再求出的值，利用直线方程的点斜式求曲线
在点处切线的方程；
Ⅱ由Ⅰ中求出的，然后对a进行分类讨论，根据和分别求出函数的增区间和减区间；
Ⅲ当时，恒成立，等价于在时恒成立构造辅助函数
，由导数求出函数的最大值，则a的取值范围可求．
本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用分离变量法求参数的取值范围，构造函数并用导数求其最值是解答Ⅲ的关键，是压
轴题．
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