17.2 勾股定理的逆定理
【教学目标】
知识与技能:
1.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.
2.会用勾股定理的逆定理判断直角三角形.
过程与方法:
经历探索勾股定理的逆定理的过程,发展学生的推理能力和有条理的表达能力,培养学生的综合能力.
情感态度与价值观:
通过小组合作与交流,培养学生团结协作的精神和探索精神,有助于塑造他们挑战困难,挑战生活的勇气和信心.
【重点难点】
重点:理解并掌握勾股定理的逆定理,并会应用.
难点:勾股定理的逆定理的证明.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课
小明做了一个长为40 cm,宽为30 cm的长方形模型,高兴地交给了老师,老师接过小明的模型,用刻度尺度量了模型的长宽所在的对角线,量得对角线的长为56 cm,然后老师指着模型对小明说:“这个角不是直角,你做的模型不合格.”小明不高兴地问老师:“老师,只通过直尺度量就能判断一个角不是直角吗?”
同学们有这样的疑问吗?老师通过直尺度量判断直角有没有根据?带着这些问题,我们学习本节知识.
二、探究归纳
活动1:互逆命题、互逆定理
1.问题1:下面几组数分别是一个三角形的边长a、b、c(单位:cm). ①3、4、5;②4、7、9;③6、8、10.
(1)这三组数都满足a2+b2=c2吗?(2)尺规作图:分别以每组数为三边长作出三角形.(3)用量角器量一量,它们是直角三角形吗?
提示:(1)①③满足a2+b2=c2,②不满足 (2)略 (3)①③是直角三角形,②不是直角三角形.
2.思考:根据上面的几个例子,你能提出一个数学命题吗?
3.归纳:如果一个三角形的三边长a,b,c满足_________________,那么这个三角形是___________ .
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答案:a2+b2=c2 直角三角形
4.问题2:阅读,命题1 : 如果一个三角形是直角三角形,两直角边长为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
命题2 :如果一个三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
(1)观察命题2与命题1,你有什么发现?
发现:两个命题的______、______正好相反,命题1的____是命题2的______;命题1的______是命题2的______.我们把像这样的两个命题叫做________.如果把其中一个叫______,那么另一个叫做它的________.
(2)你能举出互逆命题的例子吗?
(3)如果原命题正确,那么逆命题也正确吗?举例说明.
提示:(1)题设 结论 题设 结论 结论 题设 互逆命题 原命题 逆命题 (2)略
(3)不一定 略
5.思考:一个三角形各边长数量应满足怎样的关系时,这个三角形才是直角三角形呢?
提示:三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2时, 这个三角形是直角三角形.
活动2:
1.问题:已知△ABC中,BC=3,AC=4,AB=5,求证△ABC是直角三角形.
证明:如图,画一个Rt△A′B′C′,使B′C′=______,A′C′= ______,∠C′= ______°.
∵BC=3,AC=4,∴BC=______=3 ,AC=______=4,
由勾股定理,得A′B′2=B′C′2+A′C′2=______+______=______,
∴A′B′=______,
∵AB=5,∴AB=______ ,
在△ABC和△A′B′C′中,
∵
∴△ABC≌△A′B′C′( )
∴∠C′= ______= ______°
∴△ABC是直角三角形.
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提示:BC AC 90 B′C′ A′C′ 32 42 25 5 A′B′ BC=B′C′,AC=A′C′,AB= A′B′ SSS ∠C 90
2.思考:若△ABC的三边不是3、4、5,而是a,b,c,但同样满足a2+b2=c2,你能证明△ABC是直角三角形吗?
提示:略
3.思考:如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理吗?
提示:是
归纳:1.如果三角形的三边长是a,b,c,满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,是真命题,可以用来判定直角三角形,我们把它称为勾股定理的逆定理.
2.一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理“互为逆定理”.
活动3:勾股数
思考:我们知道3、4、5是一组勾股数,那么3k、4k、5k(k是正整数)也是一组勾股数吗?一般地,如果a、b、c是一组勾股数,那么ak、bk、ck(k是正整数)也是一组勾股数吗?
提示:是
6.应用举例
【例1】 下列四个命题中:①对顶角相等;②同旁内角互补;③全等三角形的对应角相等;④两直线平行,同位角相等,其中是假命题的有________(填序号).
分析:要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
解:①对顶角相等是真命题;
②同旁内角互补是假命题;
③全等三角形的对应角相等是真命题;
④两直线平行,同位角相等是真命题;
故是假命题有②.
答案:②
总结:要判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
【例2】 观察以下几组勾股数,并寻找规律:①4,3,5;②6,8,10;③8,15,17;④10,24,26;…,根据以上规律的第⑦组勾股数是( )
A.14、48、49 B.16、12、20
C.16、63、65 D.16、30、34
分析:根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系,如果是第n组数,则这组数中的第一个数是2(n+1),第二个是:n(n+2),第三个数是:(n+1)2+1.根据这个规律即可解答.
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解:选C.根据题目给出的前几组数的规律可得:这组数中的第一个数是2(n+1),第二个数是n(n+2),第三个数是(n+1)2+1,故可得第⑦组勾股数是16,63,65.
总结:勾股数满足的条件
只要三个整数中,满足较小两个整数平方的和等于较大整数的平方,那么这三个整数就是一组勾股数.
【例3】 如图四边形ABCD是一块草坪,量得四边长AB=3 m,BC=4 m,DC=12 m,AD=
13 m,∠B=90°,求这块草坪的面积.
分析:连接AC,可以把四边形分割成两个三角形,由勾股定理及逆定理说明△ACD为直角三角形,利用三角形面积公式可求四边形ABCD的面积.
解:连接AC,在Rt△ABC中,AB=3 m,BC=4 m,∠B=90°,由勾股定理得AB2+BC2=AC2,∴AC=5 m.
在△ADC中,AC=5 m,DC=12 m,AD=13 m
∵AC2+DC2=169,AD2=169,∴AC2+DC2=AD2 ,
∴△ACD为直角三角形,即∠ACD=90°.
所以四边形的面积=SRt△ABC+SRt△ADC
=AB×BC+AC×DC=×3×4+×5×12=36(m2)
即这块草坪的面积是36 m2.
总结:应用勾股定理的逆定理判断三条线段能否构成直角三角形的方法
1.排序:把三条线段按由小到大排列;
2.计算:看较小两条线段边的平方和是否等于最大线段的平方;
3.结论:判断能否构成直角三角形.
三、交流反思
这节课我们学习了互逆命题(定理),探索了勾股定理的逆定理,掌握了直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理),并能进行简单应用,理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别.
四、检测反馈
1.下列各组数中,是勾股数的为( )
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A.1,2,3 B.4,5,6 C.3,4,5 D.7,8,9
2.分别有下列几组数据:①6、8、10 ②12、13、5 ③7、8、15 ④40、41、9.其中是勾股数的有( )
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
3.把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么a2+b2=c2”的逆命题改写成“如果……,那么……”的形式: __________________.
4.下列命题中,其逆命题成立的是________.(只填写序号)
①同旁内角互补,两直线平行;
②如果两个角是直角,那么它们相等;
③如果两个实数相等,那么它们的平方相等;
④如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
5.叙述下列命题的逆命题,并判断逆命题是否正确.
(1)如果a3>0,那么a2>0;
(2)如果三角形有一个角小于90°,那么这个三角形是锐角三角形;
(3)如果两个三角形全等,那么它们的对应角相等;
(4)关于某条直线对称的两条线段一定相等.
6.如图在△ABC中,AB=13,BC=10,BC边上的中线AD=12.求:
(1)AC的长度;
(2)△ABC的面积.
7.如图是一块地的平面图,AD=4 m,CD=3 m,AB=13 m,BC=12 m,∠ADC=90°,求这块地的面积.
五、布置作业
教科书第34页习题17.2第1,2,5题
六、板书设计
17.2 勾股定理的逆定理
一、互逆命题(定理)
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二、勾股数
三、勾股定理的逆定理
四、例题讲解 五、板演练习
七、教学反思
勾股定理的逆定理这节课的教学,我采用了体验探究的教学方式.在课堂教学中,我首先创设情境,提出问题;再让学生通过画图、测量、判断、找规律,猜想出一般的结论;然后由学生想、画、剪、叠,去验证结论……使学生自始至终感悟、体验、尝试到了知识的生成过程,品尝到成功的乐趣.这不仅使学生学到获取知识的思想和方法,同时也体会到在解决问题的过程中与他人合作的重要性,而且为学生今后获取知识以及探索、发现和创造打下了良好的基础,更增强了学生敢于实践、勇于探索、不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气.对互逆命题,原命题,逆命题,互逆定理,逆定理等概念的讲解可随题点化,而详细讲解、随堂练习可做为第二课时的重点,挤出更多时间来做勾股定理逆定理的相应练习,特别是应加大有灵活度和难度的生活习题的练习,拓宽学生知识面,提高学生的发散思维能力.
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