平行四边形的判定
一课一练·基础闯关
题组平行四边形的判定
1.下列说法错误的是 ( )
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形
【解析】选D.A.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形,故本选项说法正确;B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形,故本选项说法正确;C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,故本选项说法正确;D.一组对边相等,另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形,例如:等腰梯形,故本选项说法错误.
2.(2017·衡阳中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使四边形ABCD是平行四边形,可添加的条件不正确的是 ( )
A.AB=CD B.BC=AD
C.∠A=∠C D.BC∥AD
【解析】选B.添加B,具备“一组对边平行,另一组对边相等”的条件,不能推断为平行四边形,B错误.
【变式训练】下列给出的条件中,能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( )
A.AB=BC,AD=CD B.AB∥CD,∠A=∠B
C.AB∥CD,∠B=∠D D.∠A=∠B,∠C=∠D
【解析】选C.∵AB∥CD,∴∠D+∠A=180°,
∵∠B=∠D
∴∠B+∠A=180°,∴AD∥BC,
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∴四边形ABCD是平行四边形.
3.(2017·牡丹江中考)如图,点E,F分别放在▱ABCD的边BC,AD上,AC,EF交于点O,请你添加一个条件(只添一个即可),使四边形AECF是平行四边形,你所添加的条件是________.
世纪金榜导学号42684057
【解析】AF=CE,理由是:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,即AF∥CE,∵AF=CE,∴四边形AECF是平行四边形.
答案:AF=CE(答案不唯一)
4.(2017·新疆生产建设兵团中考)如图,点C是AB的中点,AD=CE,CD=BE.
世纪金榜导学号42684058
(1)求证:△ACD≌△CBE.
(2)连接DE,求证:四边形CBED是平行四边形.
【证明】(1)∵点C是AB的中点,
∴AC=BC,在△ADC与△CEB中,
∴△ACD≌△CBE(SSS).
(2)连接DE,如图所示,
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∵△ACD≌△CBE,
∴∠ACD=∠CBE,
∴CD∥BE,
又∵CD=BE,
∴四边形CBED是平行四边形.
(2017·镇江中考)如图,点B,E分别在AC,DF上,AF分别交BD,CE于点M,N,∠A=∠F,∠1=∠2.
(1)求证:四边形BCED是平行四边形.
(2)已知DE=2,连接BN.若BN平分∠DBC,求CN的长.
【解析】(1)∵∠A=∠F,
∴DF∥AC.
又∵∠1=∠2,∠1=∠3,∴∠3=∠2.
∴DB∥EC.
∵DB∥EC,DF∥AC,∴四边形BCED为平行四边形.
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(2)∵BN平分∠DBC,∴∠DBN=∠NBC,
∵DB∥EC,∴∠DBN =∠BNC,
∴∠NBC =∠BNC,∴BC=CN.
∵四边形BCED为平行四边形,
∴BC=DE=2.∴CN=2.
题组平行四边形性质与判定的综合应用
1.(2017·滦南县一模)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是边BC,AD上的点,有下列条件:①AE∥CF;②BE=FD;③∠1=∠2;④AE=CF,若要添加其中一个条件,使四边形AECF一定是平行四边形,则添加的条件可以是 ( )
A.①②③④ B.①②③
C.②③④ D.①③④
【解析】选B.∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,∠BAD=∠BCD,
∴当①AE∥CF时,四边形AECF是平行四边形;故正确;
当②BE=FD时,CE=AF,则四边形AECF是平行四边形;故正确;
当③∠1=∠2时,∠EAF=∠ECF,
∵∠EAF+∠AEC=180°,∠AFC+∠ECF=180°,
∴∠AFC=∠AEC,
∴四边形AECF是平行四边形;故正确;
④若AE=AF,则四边形AECF是平行四边形或等腰梯形.故错误.
2.(2017·聊城中考)如图,已知AB∥DE,AB=DE,BE=CF,求证:AC∥DF.
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世纪金榜导学号42684059
【解题指南】方法一:连接AD.先根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形ABED是平行四边形,再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形ACFD是平行四边形,由平行四边形的性质解决问题.
方法二:首先由BE=CF可以得到BC=EF,然后利用边角边证明△ABC≌△DEF,最后利用全等三角形的性质和平行线的判定即可解决问题.
【证明】方法一:
连接AD.
∵AB∥DE,AB=DE,
∴四边形ABED是平行四边形.
∴AD∥BE,AD=BE.
∵BE=CF,
∴AD=CF.
又∵AD∥CF,
∴四边形ACFD是平行四边形.
∴AC∥DF.
方法二:∵AB∥DE,∴∠ABC=∠DEF,
又∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF,
在△ABC和△DEF中,
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∴△ABC≌△DEF(SAS),∴∠ACB=∠DFE,∴AC∥DF.
3.如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,EF过点O且与BC,AD分别交于点E,F.试猜想线段AE,CF的关系,并说明理由. 世纪金榜导学号42684060
【解析】AE与CF的关系是平行且相等.
理由:∵在▱ABCD中,
∴OA=OC,AF∥EC,
∴∠OAF=∠OCE,
在△OAF和△OCE中,
∴△OAF≌△OCE(ASA),
∴AF=CE,
又∵AF∥CE,
∴四边形AECF是平行四边形,
∴AE∥CF且AE=CF,
即AE与CF的关系是平行且相等.
如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AE⊥AD交BD于点E,CF⊥BC交BD于点F,且AE=CF.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
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世纪金榜导学号42684061
【证明】∵AE⊥AD,CF⊥BC,∴∠EAD=∠FCB=90°,
∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CBF,
在Rt△AED和Rt△CFB中,
∴Rt△AED≌Rt△CFB(AAS),
∴AD=BC,∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
【母题变式】已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DF∥BE.求证:四边形ABCD为平行四边形.
【证明】∵AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF.
∵BE∥DF,∴∠BEF=∠DFE.∴∠AEB=∠CFD.
在△AEB和△CFD中, ,
∴△AEB≌△CFD.∴AB=CD.
又∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.
[变式一]如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE.
求证:(1)△AFD≌△CEB.
(2)四边形ABCD是平行四边形.
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【证明】(1)∵DF∥BE,∴∠DFE=∠BEF.
又∵AF=CE,DF=BE,∴△AFD≌△CEB(SAS).
(2)由(1)知△AFD≌△CEB,
∴∠DAC=∠BCA,AD=BC,∴AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
[变式二]已知:如图,在▱ABCD中,点E,F在AC上,且AE=CF.求证:四边形BEDF是平行四边形.
【证明】如图,连接BD,设对角线交于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵AE=CF,OA-AE=OC-CF,∴OE=OF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
[变式三](2017·徐州期中)如图,在▱ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.求证:
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(1)AE=CF.
(2)四边形AECF是平行四边形.
【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠ADE=∠CBF,
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AED=∠CFB=90°,
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(AAS),∴AE=CF.
(2)∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴AE∥CF,由(1)得AE=CF,∴四边形AECF是平行四边形.
[变式四]如图,已知BE∥DF,∠ADF=∠CBE,AF=CE,求证:四边形DEBF是平行四边形.
【证明】∵BE∥DF,∴∠BEC=∠DFA,
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在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE(AAS),∴BE=DF,
又∵BE∥DF,∴四边形DEBF是平行四边形.
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