19.2.2 一 次 函 数
第1课时
【教学目标】
知识与技能:
1.结合具体情境理解一次函数的意义,能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式.
2.能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系.
3.初步体会用待定系数法求一次函数解析式的方法.
过程与方法:
经历利用一次函数解决实际问题的过程,逐步形成利用函数观点认识现实世界的意识和能力.
情感态度与价值观:
弄清一次函数与正比例函数的从属关系,在探索过程中,发展抽象思维及概括能力.
【重点难点】
重点:理解一次函数的概念,掌握一次函数解析式的特点.能根据所给条件写出简单的一次函数解析式.
难点:理解一次函数的概念,能根据所给条件写出简单的一次函数解析式.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课
问题1:王明暑假第一次去北京.汽车驶上A地的高速公路后,王明观察里程碑,发现汽车的平均车速是95千米/小时.已知A地直达北京的高速公路全程为570千米,王明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程s千米和汽车在高速公路上行驶的时间t小时有什么关系.
问题2:张明准备将平时的零用钱节约一些储存起来.他已存有50元,从现在起每个月节存12元.试写出张明的存款y元与从现在开始的月份x之间的函数关系式.
解:(1)s=570-95t.
(2)y=50+12x.
观察以上出现的两个函数解析式,很显然它们不是正比例函数,那么它们有什么共同特征呢?是什么函数呢?这一节课我们就来研究这一问题.
二、探究归纳
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活动1:一次函数的概念
1.问题:下列问题中,变量之间的对应关系是函数关系吗?如果是,请写出函数解析式.
(1)汽车在行驶30 km后,以60 km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的函数解析式.
(2)一棵树现在高100 cm,每个月长高2 cm,x个月后这棵树的高度为y(cm),y与x的函数解析式.
(3)李明准备将平时的零用钱节约一些储存起来.他已存200元,从现在起每个月节存20元,设从现在开始存款的月份数为x,存款总数为y元,y与x的函数解析式.
2.上面问题中,表示变量之间关系的函数解析式分别为:(1)y=30+60x.(2)y=100+2x.(3)y=200+20x(x为自然数) . 这些函数解析式都具有什么共同特点?
教师引导学生总结这些函数解析式的共同点,并把它们抽象为y=kx+b的形式.
3.归纳:上面这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式.
(1)一次函数的概念:
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数.
(2)一次函数与正比例函数的关系:
一次函数y=kx+b(k≠0),当b=0时,y=kx+b(k≠0)即y=kx (k≠0),变为正比例函数. 因此正比例函数是一种特殊的一次函数.
活动2:例题讲解
【例1】 下列函数中,哪些是一次函数?哪些是正比例函数?
(1)y=-. (2)y=2-x. (3)y=3x2. (4)y=3+3(x-1).
分析:根据一次函数与正比例函数的定义,进行判断.
解:(1)y=-不能化为y=kx+b的形式,所以y不是x的一次函数,也不是x的正比例函数.
(2)y=2-x=-x+2,其中k=-1,b=2,所以y是x的一次函数,但不是x的正比例函数.
(3)y=3x2的自变量次数不是1次,所以y不是x的一次函数,也不是x的正比例函数.
(4)y=3+3(x-1)=3+3x-3=3x,所以y是x的一次函数,也是x的正比例函数.
总结:判断一次函数的方法步骤
(1)观察所给函数关系式是否符合y=kx+b(k≠0)的形式.
(2)辨别比例系数k是否等于0.
(3)确定是否为一次函数.
【例2】 写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断y是否为x的一次函数?是否为正比例函数?
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(1)三角形的底边为20 cm,三角形的面积y(cm2)与高x(cm)的关系.
(2)汽车离开A站5 km,再以50 km/h的平均速度行驶了x h,那么汽车离开A站的距离y(km)与时间t(h)之间的关系.
(3)高为6 cm的圆柱的体积y(cm3)与它的底面圆的半径x(cm)之间的关系.
分析:分析题意找出等量关系,确定y与x之间的关系,列出函数关系式,判断y与x的函数关系.
解:(1)由三角形的面积公式,得y=10x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数.
(2)由路程=速度×时间,得y=50x+5,y是x的一次函数,但不是x的正比例函数.
(3)由圆柱的体积公式,得y=6πx2,y不是x的一次函数,也不是x的正比例函数.
总结:列实际问题中的一次函数解析式的方法
1.认真审题,找出等量关系,用字母表示问题中的变量.
2.根据题意列出一次函数的解析式.
三、交流反思
这节课主要讲了一次函数的定义,要注意正比例函数与一次函数的关系,知道正比例函数y=kx(k≠0)是一次函数y=kx+b(k≠0)的特殊情况.会在实际问题中建立一次函数模型,列出函数关系式.
四、检测反馈
1.下列函数:①y=x;②y=;③y=;④y=2x+1,其中一次函数的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若函数y=(m-1)x|m|+2是一次函数,则m的值为 ( )
A.m=±1 B.m=-1
C.m=1 D.m≠-1
3.下列问题中,变量y与x成一次函数关系的是 ( )
A.路程一定时,时间y和速度x的关系
B.长10米的铁丝折成长为y,宽为x的长方形
C.圆的面积y与它的半径x
D.斜边长为5的直角三角形的直角边y和x
4.某山山脚的气温是10 ℃,此山高度每上升1 km,气温下降6 ℃,设比山脚高出x km处的气温为y ℃,y和x的函数关系式为 ( )
A.y=10-6x B.y=10+6x
C.y=6-10x D.y=6x-10
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5.李大爷要围成一个长方形菜园,菜园的一边利用足够长的墙,用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24 m,要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD,设BC的边长为x m,AB边的长为y m,则y与x之间的函数关系式是 ( )
A.y=-2x+24(0
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