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濮阳市2018届高三毕业班第一次模拟考试
数学(理科)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,所以，故选C.
2. 若复数满足，其中为虚数单位，表示复数的共轭复数，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，，即，即，故选A.
3. 如图所示的长方形的长为2，宽为1，在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计)，然后统计知豆子的总数为粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设飞鸟图案的面积为，那么，几，故选B.
4. 函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】 ，所以函数是偶函数，关于轴对称，排除A.D，当时，，排除B，故选C.
5. 设，若，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，所以原式等于
而 ， ，又因为，所以，可求得 ，那么，那么，故选B.
6. 设点是，表示的区域内任一点，点是区域关于直线的对称区域内的任一点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图画出可行域，根据点的对称性可知，点与点关于直线的对称点间的距离最大，最大距离就是点到直线距离的2倍，联立，解得： ，点到直线的距离，那么，故选D.
7. 已知三棱锥中，与是边长为2的等边三角形且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，取的中点，连接 ，， ，，连接，点是三棱锥的外接球的球心，因为棱长都是2，所以，所以在中，，那么外接球的表面积是，故选D.
【点睛】立体几何的外接球中处理时常用如下方法：1.结合条件与图形恰当分析取得球心位置；2.直接建系后，表示出球心坐标，转化为代数；3.化立体为平面，利用平面几何知识求解.
8. 执行如图所示的程序框图(其中表示等于除以10的余数)，则输出的为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】 时，第一次进入循环， 时，第二次进入循环，时，第三次进入循环， ，时，第四次进入循环，，当时，第五次进入循环， 时，第六次进入循环， ，由此可知此循环的周期为6，当时，第2016次进入循环， ，所以此时，退出循环，输出的值等于8，故选D.
9. 某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】次三视图还原为如图几何体，长方体削下去等高的四棱锥，剩下一个三棱锥和一个三棱柱，，故选A.
10. 已知双曲线，是左焦点，，是右支上两个动点，则的最小值是( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 16
【答案】C
【解析】 ，所以，当且仅当三点共线时等号成立，故选C.
11. 已知中，，，成等比数列，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知可知，即，，即 ， ，
原式等于 ，设
即原式等于 ，函数是增函数，当时，函数等于0，当时，函数等于,所以原式的取值范围是，故选B.
【点睛】本题有两个难点，一个是根据正弦定理转化为，再利用余弦定理求角
的取值范围，二是将转化为的函数，最后利用函数的单调性求解，本题考查的三角函数的知识点非常全面，而且运用转化与化归的思想，属于难题了.
12. 已知且，若当时，不等式恒成立，则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】原式等价于，两边取自然对数得 ，
令 ，则时，
因为
当时，即时，单调递增，当时，与矛盾；当时，即时，令，解得 ，
，单调递增，时，单调递减，
若，即，当时，单调递增，，矛盾；
若，即 ，当时，递减，，成立，
综上， ，最小值为 ，故选A.
【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立的问题，可以通过变形将不等式整理为需要研究的函数，比如本题设，讨论的取值范围，使函数满足，转化为求函数的单调性，根据单调性可求得函数的最值.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 正三角形的边长为1，是其重心，则________.
【答案】
【解析】且两向量的夹角为，即 故填：
14. 的展开式中，的系数为________.
【答案】56
【解析】原式
其中只可能出现在的展开式中，所以的系数是,故填：56.
15. 已知椭圆，和是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若的内切圆半径为1，，，则椭圆离心率为________________.
【答案】
【解析】设周长为，则，又，则，又，则，故填：.
16. 先将函数的图象上的各点向左平移个单位，再将各点的横坐标变为原来的倍(其中)，得到函数的图象，若在区间上单调递增，则的最大值为____________.
【答案】9
【解析】在区间上单调递增，
所以有 ，即
由可得，当时，，所以正整数的最大值是9.
【点睛】本题考查了三角函数的图像变换，以及根据函数的性质求解参数的最值，当图像是先平移再伸缩时，注意是前的系数改变，与无关，函数在上单调递增，即先求的范围，其是函数单调递增区间的子集，求出的范围，确定最值......................
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列是等差数列，，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列为递增数列，数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】试题分析：（1）根据等差数列的性质，可知，解出，得到数列的通项公式；（2）根据（1）可知，求得， ，采用错位相减法求和.
试题解析：(1)由题意得，所以，
时，，公差，所以，
时，，公差，所以.
(2)若数列为递增数列，则，
所以，，
，
所以 ，
，
所以
，
所以.
18. 为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少参加一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们参加“爱心送考”的次数统计如图所示.
(1)求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数；
(2)从这200名司机中任选两人，设这两人参加送考次数之差的绝对值为随机变量，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)2.3；(2)答案见解析.
【解析】试题分析：（1）人均次数等于总的“爱心送考”次数/200；（2）该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加1次，另一个参加2次送考”为事件，“这两人中一人参加2次，另一人参加3次送考”为事件，“这两人中一人参加1次，另一人参加3次送考”为事件，“这两人参加次数相同”为事件. ，根据事件列式求分布列和数学期望.
试题解析：由图可知，参加送考次数为1次，2次，3次的司机人数分别为20，100，80.
(1)该出租车公司司机参加送考的人均次数为：
.
(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加1次，另一个参加2次送考”为事件，“这两人中一人参加2次，另一人参加3次送考”为事件，“这两人中一人参加1次，另一人参加3次送考”为事件，“这两人参加次数相同”为事件.
则，
，
.
的分布列：
0
1
2
的数学期望.
19. 如图，正方形中，，与交于点，现将沿折起得到三棱锥，，分别是，的中点.
(1)求证：；
(2)若三棱锥的最大体积为，当三棱锥的体积为，且二面角为锐角时，求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】试题分析：（1）要证明线线垂直，一般需证明线面垂直，易证，即平面；（2）是二面角的平面角，根据，可知，是等边三角形，平面，以为原点，所在直线为轴，过且平行于的直线为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求二面角.
试题解析：(1)依题意易知，，，∴平面，
又∵平面，∴.
(2)当体积最大时三棱锥的高为，当体积为时，高为，
中，，作于，∴，∴，
∴为等边三角形，∴与重合，即平面.
以为原点，所在直线为轴，过且平行于的直线为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
∴，，，.
设为平面的法向量，
∵，，
∴，
取，
设是平面的法向量，，，
∴，取，
∴，
设二面角大小为，∴.
【点睛】用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．
两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．
20. 已知点在抛物线上，是抛物线上异于的两点，以为直径的圆过点.
(1)证明：直线过定点；
(2)过点作直线的垂线，求垂足的轨迹方程.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】试题分析：（1）代入点的坐标得到抛物线方程，设直线，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，利用，代入根与系数的关系，求得，代入直线方程，得到定点；（2）根据（1）可知，点的轨迹满足圆的方程，以为直径的圆去掉，写出圆的方程即可.
试题解析：(1)点在抛物线上，代入得，所以抛物线的方程为，
由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设，，
联立得，得，，
由于，所以，即，
即.(*)
又因为，，
代入(*)式得，即，
所以或，即或.
当时，直线方程为，恒过定点，
经验证，此时，符合题意；
当时，直线方程为，恒过定点，不合题意，
所以直线恒过定点.
(2)由(1)，设直线恒过定点，则点的轨迹是以为直径的圆且去掉，方程为.
21. 已知函数.
(1)若函数在上是减函数，求实数的取值范围；
(2)若函数在上存在两个极值点，且，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）由条件可知恒成立，通过参变分离的方法得到恒成立，即 转化为利用导数求函数的最大值，即求的取值范围；（2）根据条件可知， 和 ，经过变形整理为 ，经过换元，可将问题转化为证明 ，利用导数求函数的最小值，即可证明.
试题解析：(1)由函数在上是减函数，知恒成立，
.
由恒成立可知恒成立，则，
设，则，
由，知，
函数在上递增，在上递减，∴，
∴.
(2)由(1)知.
由函数在上存在两个极值点，且，知，
则且，
联立得，即，
设，则，
要证，
只需证，只需证，只需证.
构造函数，则.
故在上递增，，即，
所以.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，考查了转化与化归的鞥努力，尤其是第二问，利用条件可变形为 ，这样通过换元设
，转化为关于的函数 .
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程；
(2)过原点的直线分别与曲线交于除原点外的两点，若，求的面积的最大值.
【答案】(1)；(2).
【解析】试题分析：（1）首先将曲线C的参数方程化简为普通方程，再根据直角坐标与极坐标的互化关系，，化简为曲线的极坐标方程；（2），根据极坐标方程转化为关于的三角函数，利用三角函数的有界性求函数的最大值.
试题解析：(1)曲线的普通方程为，即，
所以，曲线的极坐标方程为，即.
(2)不妨设，，.
则，，
的面积.
所以，当时，的面积取最大值为.
23. 已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若函数在上有最大值，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】试题分析：（1）根据零点分段法去绝对值，再求解不等式；（2）同样根据零点分段法，分去绝对值，若函数有最大值，可判断函数的单调性，即可求得的取值范围.
试题解析：(1)设，
根据图象，由解得或.
所以，不等式的解集为.
(2)由题意得，
由函数在上有最大值可得解得.
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