安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试数学（文史类）PDF版含答案.pdf

书书书 蚌埠市 ２０１９届高三年级第三次教学质量检查考试 数　　学（文史类） 本试卷满分 １５０分，考试时间 １２０分钟 注意事项： １答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 ２回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效。 一、选择题：本题共 １２小题，每小题 ５分，共 ６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的  １．已知集合 Ａ＝｛ 槡ｘ｜ｙ＝ ｘ｝，集合 Ｂ ＝｛ｘ｜－３≤ ｘ≤ ３｝，则 Ａ∩ Ｂ ＝ Ａ［－３，３］ Ｂ［－３，＋∞） Ｃ［０，３］ Ｄ［０，＋∞） ２．已知 ｉ是虚数单位，则复数 ２＋ｉ １－２ｉ＝ Ａ１ Ｂｉ Ｃ－１ Ｄ－ｉ ３．某市小学，初中，高中在校学生人数分别为 ７．５万，４．５万，３万．为了调查全市中小学生的体 质健康状况，拟随机抽取 １０００人进行体质健康检测，则应抽取的初中生人数为 Ａ７５０ Ｂ５００ Ｃ４５０ Ｄ３００ ４．函数 ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋２ｃｏｓ２ｘ－１的图象的对称轴可能为 Ａｘ＝ π ８ Ｂｘ＝ π ４ Ｃｘ＝ π ２ Ｄｘ＝－π ４ ５．已知向量ａ＝（ｔ，２），ｂ＝（－１，１）．若 ｜ａ－ｂ｜＝｜ａ＋ｂ｜，则 ｔ的值为 Ａ－２ Ｂ－１ Ｃ１ Ｄ２ ６函数 ｆ（ｘ）＝ｅ｜ｘ｜－ｘ２ 的图象是 　　Ａ 　　Ｂ 　　　Ｃ 　　　　Ｄ ７．执行如程序框图所示的程序，若输出的 ｘ的值为 ９，则输入的 ｘ的值为 Ａ１ Ｂ２ Ｃ３ Ｄ４ ８．在 △ＡＢＣ中，ａ，ｂ，ｃ分别为内角 Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，若 ａ＋ｃ＝４，２ｓｉｎＢ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ，则 △ＡＢＣ 的面积的最大值为 槡 槡Ａ ３ Ｂ２ Ｃ２３ Ｄ４ ９．定义在Ｒ上的函数 ｆ（ｘ）满足 ｆ（ｘ＋１）＝ｆ（ｘ），且 ｘ∈ ［０，１）时，ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２（ｘ＋１）若 ａ＝ ｆ（－１ ２），ｂ＝ｆ（２ ３），ｃ＝ｆ（４ ３），则 ａ，ｂ，ｃ的大小关系是 Ａａ＞ｂ＞ｃ Ｂｂ＞ａ＞ｃ Ｃｃ＞ｂ＞ａ Ｄａ＞ｃ＞ｂ ）页４共（页１第卷试）文（学数级年三高市埠蚌　　　　　　　　　 第 ７题图 　　　　　　　　　　　　　 第 １０题图 １０．如图，在四棱锥 Ｐ－ＡＢＣＤ中，ＢＣ∥ ＡＤ，ＡＤ＝２ＢＣ，点 Ｅ是棱 ＰＤ的中点，ＰＣ与平面 ＡＢＥ交 于 Ｆ点．设 ＰＦ ＝λＦＣ，则 λ＝ Ａ４ Ｂ３ Ｃ２ Ｄ１ １１．设抛物线 Ｃ：ｙ２ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点为 Ｆ，点 Ｍ在抛物线 Ｃ上，｜ＭＦ｜＝２若以 ＭＦ为直 径的圆过点（０，１），则抛物线 Ｃ的焦点到准线的距离为 Ａ８ Ｂ４或 ８ Ｃ２ Ｄ２或 ４ １２．已知函数 ｆ（ｘ）＝ｘ＋ａ ２ｘ．若曲线 ｙ＝ｆ（ｘ）存在两条过（１，０）点的切线，则 ａ的取值范围是 Ａ（－∞，１）∪ （２，＋∞） Ｂ（－∞，－１）∪ （２，＋∞） Ｃ（－∞，０）∪ （２，＋∞） Ｄ（－∞，－２）∪ （０，＋∞） 二、填空题：本题共 ４小题，每小题 ５分，共 ２０分  １３．已知 ｓｉｎα＝ 槡１０ １０，α∈ （０，π ２），则 ｔａｎ（α＋π ４）＝ ． １４．若双曲线 Ｃ：ｘ２ ａ２ －ｙ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的渐近线过点（２，１），则双曲线 Ｃ的离心率为 ． １５．已知球 Ｏ的半径为 ３，圆 Ａ与圆 Ｃ为该球的两个小圆，半径相等且所在平面互相垂直，圆 Ａ 与圆 Ｃ的公共弦 ＭＮ的长为 槡２５，点 Ｂ是弦 ＭＮ的中点，则四边形 ＯＡＢＣ的面积为 ． １６．回收１吨废纸可以生产出０．８吨再生纸，可节约用水约１００吨，节约用煤约１．２吨，回收１吨 废铅蓄电池可再生铅约０．６吨，可节约用水约１２０吨，节约用煤约０．８吨，回收１吨废纸的费 用约０．２万元，回收１吨废铅蓄电池的费用约０．９万元．现用于回收废纸和废铅蓄电池的费 用不超过 １８万元，在保证节约用煤不少于 １２吨的前提下，最多可节约用水约 吨． ）页４共（页２第卷试）文（学数级年三高市埠蚌三、解答题：共７０分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第１７～２１题为必考题，每个试题 考生都必须作答。第 ２２，２３题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 ６０分。 １７．（１２分） 已知数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝－１，且 ａｎ －ａｎ－１ ＝ １ ｎ（ｎ－１）（ｎ≥ ２，ｎ∈ Ｎ ） （１）求数列｛ａｎ｝的通项公式； （２）求证：数列｛１ ａｎ ｝为等差数列． １８．（１２分） 如图，在以 Ｐ为顶点，母线长为槡２的圆锥中，底面圆 Ｏ的直径长为 ２，点 Ｃ在圆 Ｏ所在平面 第 １８题图 内，且 ＡＣ是圆 Ｏ的切线，ＢＣ交圆 Ｏ于点 Ｄ，连接 ＰＤ，ＯＤ． （１）求证：ＰＢ⊥ 平面 ＰＡＣ； （２）若 ＡＣ ＝ 槡２３ ３ ，求点 Ｏ到平面 ＰＢＤ的距离． １９．（１２分） 为了了解高一学生的心理健康状况，某校心理健康咨询中心对该校高一学生的睡眠状况进 行了抽样调查．该中心随机抽取了６０名高一男生和４０名高一女生，统计了他们入学第一个 月的平均每天睡眠时间，得到如下频数分布表．规定：“平均每天睡眠时间大于等于８小时” 为“睡眠充足”，“平均每天睡眠时间小于 ８小时”为“睡眠不足”． 高一男生平均每天睡眠时间频数分布表 睡眠时间（小时） ［５，６） ［６，７） ［７，８） ［８，９） ［９，１０） 频数 ３ ２０ １９ １０ ８ 高一女生平均每天睡眠时间频数分布表 睡眠时间（小时） ［５，６） ［６，７） ［７，８） ［８，９） ［９，１０） 频数 ２ ２０ １１ ５ ２ （１）请将下面的列联表补充完整，并根据已完成的２×２列联表，判断是否有９９％ 的把握认 为“睡眠是否充足与性别有关”？ 睡眠充足 睡眠不足 合计 男生 ４２ 女生 ７ 合计 １００ （２）由样本估计总体的思想，根据这两个频数分布表估计该校全体高一学生入学第一个月 的平均每天睡眠时间（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）； （３）若再从这１００人中平均每天睡眠时间不足６小时的同学里随机抽取两人进行心理健康 干预，则抽取的两人中包含女生的概率是多少？ 附：参考公式：Ｋ２ ＝ ｎ（ａｄ－ｂｃ）２ （ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ） Ｐ（Ｋ２≥ ｋ） ０．１００ ０．０５０ ０．０１０ ０．００１ ｋ ２．７０６ ３．８４１ ６．６３５ １０．８２８ ）页４共（页３第卷试）文（学数级年三高市埠蚌２０．（１２分） 已知点 Ｍ（－２，０）是椭圆 Ｃ：ｘ２ ａ２ ＋ｙ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的左顶点，且椭圆 Ｃ的离心率为槡３ ２． （１）求椭圆 Ｃ的标准方程； （２）矩形 ＡＢＣＤ的四个顶点均在椭圆 Ｃ上，求矩形 ＡＢＣＤ面积的最大值． ２１．（１２分） 已知函数 ｆ（ｘ）＝ａｅｘ（ａ∈ Ｒ），ｇ（ｘ）＝ｌｎｘ ｘ ＋１． （１）求函数 ｇ（ｘ）的极值； （２）当 ａ≥ １ ｅ时，求证：ｆ（ｘ）≥ ｇ（ｘ）． （二）选考题：请考生在第 ２２，２３题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分  ２２（１０分）［选修 ４—４：坐标系与参数方程］ 在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，曲线 Ｃ的参数方程为 ｘ＝４＋３ｃｏｓα ｙ＝３ｓｉｎ{ α （α为参数），直线 ｌ的参数 方程为 ｘ＝ｔｃｏｓβ ｙ＝ｔｓｉｎ{ β （ｔ为参数，０≤ β＜π），以坐标原点 Ｏ为极点，ｘ轴的非负半轴为极轴建 立极坐标系  （１）求曲线 Ｃ的极坐标方程； （２）已知直线 ｌ与曲线 Ｃ相交于 Ａ，Ｂ两点，且 ｜ＯＡ｜－｜ＯＢ｜＝ 槡２５，求 β． ２３（１０分）［选修 ４－５不等式证明选讲］ 已知：ａ２ ＋ｂ２ ＝１，其中 ａ，ｂ∈ Ｒ． （１）求证：｜ａ－ｂ｜ ｜１－ａｂ｜≤ １； （２）若 ａｂ＞０，求（ａ＋ｂ）（ａ３ ＋ｂ３）的最小值  ）页４共（页４第卷试）文（学数级年三高市埠蚌蚌埠市 ２０１９届高三年级第三次教学质量检查考试 数学（文史类）参考答案及评分标准 一、选择题 题　号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答　案 Ｃ Ｂ Ｄ Ａ Ｄ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ｃ Ｃ Ｄ 二、填空题： １３．２　　　　１４．槡５ ２　　　　１５．２　　　　１６．９０００ 三、解答题： １７．（１２分） 解：（１）由 ａｎ －ａｎ－１ ＝ １ ｎ（ｎ－１）＝ １ ｎ－１－１ ｎ， ２分……………………………………… 所以当 ｎ≥ ２时，ａ２ －ａ１ ＝１－１ ２，ａ３ －ａ２ ＝ １ ２ －１ ３，…，ａｎ －ａｎ－１ ＝ １ ｎ－１－１ ｎ， 相加得，ａｎ －ａ１ ＝１－１ ｎ， ４分……………………………………………………… 又 ａ１ ＝－１，所以 ａｎ ＝－１ ｎ（ｎ≥ ２，ｎ∈ Ｎ ），而 ａ１ ＝－１也符合， 所以数列｛ａｎ｝的通项公式为 ａｎ ＝－１ ｎ（ｎ∈ Ｎ ） ６分…………………………… （２）由（１）知 １ ａｎ ＝－ｎ，则 １ ａ１ ＝－１，１ ａｎ＋１ ＝－（ｎ＋１）， ９分…………………………… 所以 １ ａｎ＋１ －１ ａｎ ＝－（ｎ＋１）＋ｎ＝－１（常数）， 所以数列｛１ ａｎ ｝是首项为 －１，公差为 －１的等差数列． １２分……………………… １８．（１２分） 解：（１）因为 ＡＢ是圆 Ｏ的直径，ＡＣ与圆 Ｏ切于点 Ａ，所以 ＡＣ⊥ ＡＢ． 又在圆锥中，ＰＯ垂直底面圆 Ｏ，所以 ＰＯ⊥ ＡＣ，而 ＰＯ∩ ＡＢ ＝Ｏ， 所以 ＡＣ⊥ 平面 ＰＡＢ，从而 ＡＣ⊥ ＰＢ． ３分………………………………………… 在三角形 ＰＡＢ中，ＰＡ２ ＋ＰＢ２ ＝ＡＢ２，所以 ＰＡ⊥ ＰＢ，又 ＰＡ∩ ＡＣ ＝Ａ 所以 ＰＢ⊥ 平面 ＰＡＣ． ６分…………………………………………………………… （２）（方法一）因为 ＡＢ ＝２，ＡＣ ＝ 槡２３ ３ ，ＡＣ⊥ ＡＢ，所以在直角 △ＡＢＣ中， ∠ＡＢＣ ＝ π ６．又 ＯＤ ＝ＯＢ ＝１＝ＰＯ，则 △ＯＢＤ是等腰三角形， 所以 ＢＤ ＝槡３，Ｓ△ＯＢＤ ＝ １ ２ ×１×１×ｓｉｎ２π ３ ＝槡３ ４． ８分………………………… 又 ＰＢ ＝ＰＤ ＝槡２，所以 Ｓ△ＰＢＤ ＝ １ ２ ×槡３×槡５ ２ ＝ 槡１５ ４ １０分…………………… ）页４共（页１第准标分评及案答考参）类史文（学数级年三高市埠蚌设点 Ｏ到平面 ＰＢＤ的距离为 ｄ，由 ＶＰ－ＯＢＤ ＝ＶＯ－ＰＢＤ，即 １ ３Ｓ△ＯＢＤ·ＰＯ ＝ １ ３Ｓ△ＰＢＤ·ｄ，所以 ｄ＝槡５ ５． １２分…………………………………… （方法二）因为 ＡＢ ＝２，ＡＣ ＝ 槡２３ ３ ，ＡＣ⊥ ＡＢ， 所以 Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ ×２× 槡２３ ３ ＝ 槡２３ ３ ， ８分…………………………………………… 又由（１）可知，ＡＣ⊥ 平面 ＰＡＢ，则 ＡＣ⊥ ＰＡ，所以 ＰＣ ＝ ２＋槡 ４ ３ ＝ 槡３０ ３ ． 又 ＰＢ⊥ 平面 ＰＡＣ，所以 ＰＢ⊥ ＰＣ， 则 Ｓ△ＰＢＣ ＝ １ ２ ×槡２×槡３０ ３ ＝ 槡１５ ３ ． １０分………………………………………… 设点 Ｏ到平面 ＰＢＤ的距离为 ｄ，所以 Ａ到平面 ＰＢＣ的距离为 ２ｄ， 又 ＶＰ－ＡＣＢ ＝ＶＡ－ＰＢＣ，即 １ ３Ｓ△ＡＢＣ·ＰＯ ＝ １ ３Ｓ△ＰＢＣ·２ｄ， 所以 ｄ＝槡５ ５． １２分…………………………………………………………………… １９．（１２分） 解：（１）２×２列联表如下： 睡眠充足 睡眠不足 合计 男生 １８ ４２ ６０ 女生 ７ ３３ ４０ 合计 ２５ ７５ １００ ２分…………………………………………………………………………………… 由表中数据计算得：Ｋ２ ＝１００×（１８×３３－４２×７）２ ６０×４０×２５×７５ ＝２＜６．６３５， 所以没有 ９９％ 的把握认为“睡眠是否充足与性别有关”． ４分…………………… （２）由两个表格可知，在所抽取的 １００名高一学生中，平均每天睡眠时间在［５，６）内的 有 ５人，在［６，７）内的有 ４０人，在［７，８）内的有 ３０人，在［８，９）内的有 １５人，在［９， １０）内的有１０人，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，估计该校 全体高一学生入学第一个月的平均每天睡眠时间为 ５．５× ５ １００＋６．５×４０ １００＋７．５×３０ １００＋８．５×１５ １００＋９．５×１０ １００＝７．３５（小时）． ８分 … ………………………………………………………………………………… （３）这 １００人中平均每天睡眠时间不足 ６小时的同学里有 ３名男生和 ２名女生． 记三名男生为“Ａ，Ｂ，Ｃ”，两名女生为“ａ，ｂ”， 从中选取两名同学可能情形为：ＡＢ，ＡＣ，Ａａ，Ａｂ，ＢＣ，Ｂａ，Ｂｂ，Ｃａ，Ｃｂ，ａｂ． １０分…… 记事件“抽取的两人中包含女生”为事件 Ｘ，则 Ｐ（Ｘ）＝ ７ １０． １２分……………… ２０．（１２分） 解：（１）依题意，Ｍ（－２，０）是椭圆 Ｃ的左顶点，所以 ａ＝２． ２分………………………… 又 ｅ＝ ｃ ａ ＝槡３ ２，所以 ｃ＝槡３，ｂ＝１， ）页４共（页２第准标分评及案答考参）类史文（学数级年三高市埠蚌从而椭圆 Ｃ的标准方程为ｘ２ ４ ＋ｙ２ ＝１． ５分………………………………………… （２）由对称性可知，设 Ａ（ｘ０，ｙ０），其中 ｘ０ｙ０≠ ０，则 Ｂ（－ｘ０，ｙ０），Ｃ（－ｘ０，－ｙ０），Ｄ（ｘ０，－ ｙ０）， 所以 ｜ＡＢ｜＝２｜ｘ０｜，｜ＡＤ｜＝２｜ｙ０｜，Ｓ矩形ＡＢＣＤ ＝４｜ｘ０ｙ０｜． ８分……………… 因为 Ｓ２ 矩形ＡＢＣＤ ＝１６ｘ２ ０ｙ２ ０，又 ｙ２ ０ ＝１－ｘ２ ０ ４， 所以 Ｓ２ 矩形ＡＢＣＤ ＝１６ｘ２ ０ｙ２ ０ ＝－４ｘ４ ０ ＋１６ｘ２ ０ ＝－４（ｘ２ ０ －２）２ ＋１６， １０分……………… 而 ｘ２ ０∈ （０，４），故当 ｘ２ ０ ＝２时，Ｓ２ 矩形ＡＢＣＤ 取得最大值 １６， 所以矩形 ＡＢＣＤ的面积最大值为 ４． １２分…………………………………………… ２１．（１２分） 解：（１）由 ｇ（ｘ）＝ｌｎｘ ｘ ＋１，得 ｇ′（ｘ）＝１－ｌｎｘ ｘ２ ，定义域为（０，＋∞）． 令 ｇ′（ｘ）＝０，解得 ｘ＝ｅ， ２分……………………………………………………… 列表如下： ｘ （０，ｅ） ｅ （ｅ，＋∞） ｇ′（ｘ） ＋ ０ － ｇ（ｘ） 单调递增 极大值 单调递减 结合表格可知函数 ｇ（ｘ）的极大值为 ｇ（ｅ）＝ １ ｅ＋１，无极小值． ５分…………… （２）（方法一）令 Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）＝ａｅｘ －ｌｎｘ ｘ －１，定义域为（０，＋∞）， 则 Ｆ′（ｘ）＝ａｅｘ －１－ｌｎｘ ｘ２ ＝ａｘ２ｅｘ ＋ｌｎｘ－１ ｘ２ ． 令 ｈ（ｘ）＝ａｘ２ｅｘ ＋ｌｎｘ－１，ａ≥ １ ｅ，则 ｈ′（ｘ）＝（ａｘ２ ＋２ａｘ）ｅｘ ＋１ ｘ ＞０， 所以 ｈ（ｘ）在（０，＋∞）上单调递增． ７分…………………………………………… ｈ（ｅ－２ａ）＝ａ·ｅ－４ａ·ｅｅ－２ａ －２ａ－１＜ａ·ｅ－４ａ·ｅ－２ａ－１＝ａｅ１－４ａ －２ａ－１， 又 １－４ａ＜０，则 ａｅ１－４ａ －２ａ－１＜ａ－２ａ－１＜０，从而 ｈ（ｅ－２ａ）＜０． ｈ（１）＝ａｅ－１≥ ０，所以存在 ｘ０∈ （ｅ－２ａ，１］，使得 ｈ（ｘ０）＝０，即 ａｘ２ ０ｅｘ０ ＋ｌｎｘ０ －１＝ ０，可得 ａｅｘ０ ＝１－ｌｎｘ０ ｘ２ ０ ． １０分………………………………………………………… 当 ｘ∈ （０，ｘ０）时，ｈ（ｘ）＜０，从而 Ｆ′（ｘ）＝ｈ（ｘ） ｘ２ ＜０； 当 ｘ∈ （ｘ０，＋∞）时，ｈ（ｘ）＞０，从而 Ｆ′（ｘ）＝ｈ（ｘ） ｘ２ ＞０， 所以 Ｆ（ｘ）在（０，ｘ０）单调递减，在（ｘ０，＋∞）单调递增， Ｆ（ｘ）≥ Ｆ（ｘ０）＝ａｅｘ０ －ｌｎｘ０ ｘ０ －１＝１－ｌｎｘ０ ｘ２ ０ －ｌｎｘ０ ｘ０ －１＝（１＋ｘ０）（１－ｘ０ －ｌｎｘ０） ｘ２ ０ ， 而 ｘ０∈ （ｅ－２ａ，１］，则 １－ｘ０≥ ０，ｌｎｘ０≤ ０，Ｆ（ｘ）≥ （１＋ｘ０）（１－ｘ０ －ｌｎｘ） ｘ２ ０ ≥ ０， 所以当 ａ≥ １ ｅ时，ｆ（ｘ）≥ ｇ（ｘ） １２分…………………………………………… ）页４共（页３第准标分评及案答考参）类史文（学数级年三高市埠蚌（方法二）要证明 ｆ（ｘ）≥ ｇ（ｘ），即证 ａｅｘ≥ ｌｎｘ ｘ ＋１，而定义域为（０，＋∞）， 所以只要证 ａｘｅｘ －ｌｎｘ－ｘ≥ ０， 又因为 ａ≥ １ ｅ，所以 ａｘｅｘ －ｌｎｘ－ｘ≥ １ ｅｘｅｘ －ｌｎｘ－ｘ， 所以只要证明 １ ｅｘｅｘ －ｌｎｘ－ｘ≥ ０． ８分…………………………………………… 令 Ｆ（ｘ）＝ １ ｅｘｅｘ －ｌｎｘ－ｘ，则 Ｆ′（ｘ）＝（ｘ＋１）（ｅｘ－１ －１ ｘ）， 记 ｈ（ｘ）＝ｅｘ－１ －１ ｘ，则 ｈ（ｘ）在（０，＋∞）单调递增且 ｈ（１）＝０， 所以当 ｘ∈ （０，１）时，ｈ（ｘ）＜０，从而 Ｆ′（ｘ）＜０；当 ｘ∈ （１，＋∞）时，ｈ（ｘ）＞０， 从而 Ｆ′（ｘ）＞０，即 Ｆ（ｘ）在（０，１）单调递减，在（１，＋∞）单调递增， １０分…… Ｆ（ｘ）≥ Ｆ（１）＝０ 所以当 ａ≥ １ ｅ时，ｆ（ｘ）≥ ｇ（ｘ）． １２分……………………………………………… （方法三）当 ａ≥ １ ｅ时，ａｅｘ≥ １ ｅ·ｅｘ＝ｘ，ｃｅｘ≥ ｅｘ证明（略） ∴ 只须证 ｘ－１≥ ｌｎｘ ｘ（以下略） ２２（１０分） 解：（１）由曲线 Ｃ的参数方程可得普通方程为（ｘ－４）２ ＋ｙ２ ＝９， 即 ｘ２ ＋ｙ２ －８ｘ＋７＝０， ２分……………………………………………………… 所以曲线 Ｃ的极坐标方程为 ρ２ －８ρｃｏｓθ＋７＝０ ５分………………………… （２）由直线 ｌ的参数方程可得直线的极坐标方程为 θ＝β（ρ∈ Ｒ）， ６分…………… 因为直线 ｌ与曲线 Ｃ相交于 Ａ，Ｂ两点，所以设 Ａ（ρ１，β），Ｂ（ρ２，β）， 联立 ρ２ －８ρｃｏｓθ＋７＝０ θ＝{ β ，可得 ρ２ －８ρｃｏｓβ＋７＝０， ７分……………………… 因为 Δ ＝６４ｃｏｓ２β－２８＞０，即 ｃｏｓ２β＞ ７ １６， ８分………………………………… 所以 ｜ＯＡ｜－｜ＯＢ｜＝｜ρ１ －ρ２｜＝ （ρ１ ＋ρ２）２ －４ρ１ρ槡 ２ ＝ ６４ｃｏｓ２β－槡 ２８＝ 槡２５， 解得 ｃｏｓβ＝±槡３ ２，所以 β＝ π ６或５π ６ １０分……………………………………… ２３（１０分） 解：（１）所证不等式等价于 ｜ａ－ｂ｜≤｜１－ａｂ｜，即（ａ－ｂ）２≤ （１－ａｂ）２， 也就是（ａ２ －１）（１－ｂ２）≤ ０， ∵ａ２ ＋ｂ２ ＝１，∴ａ２≤ １，ｂ２≤ １ ∴（ａ２ －１）（１－ｂ２）≤ ０，故原不等式成立  ５分………………………………… （２）（ａ＋ｂ）（ａ３ ＋ｂ３）＝ａ４ ＋ａｂ３ ＋ａ３ｂ＋ｂ４≥ ａ４ ＋２ ａｂ３·ａ３槡 ｂ＋ｂ４ ＝（ａ２ ＋ｂ２）２ ＝１ ∴ 当且仅当 ａ＝ｂ＝槡２ ２或 ａ＝ｂ＝－槡２ ２时， （ａ＋ｂ）·（ａ３ ＋ｂ３）取到最小值 １ １０分………………………………………… （以上答案仅供参考，其它解法请参考以上评分标准酌情赋分） ）页４共（页４第准标分评及案答考参）类史文（学数级年三高市埠蚌