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蚌埠市 ２０１９届高三年级第三次教学质量检查考试
数 学（理工类）
（试卷分值：１５０分 考试时间：１２０分钟）
注意事项：
１答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
２回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
一、选择题：本大题共 １２小题，每小题 ５分，共 ６０分 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的
１ｉ是虚数单位，复数 ３＋ｉ
１－３ｉ＝
Ａ１ Ｂｉ Ｃ－１ Ｄ－ｉ
２已知集合 Ａ＝ ｘ槡ｘ≤{ }３，集合 Ｂ＝ ｘｘ２≤{ }９，则 Ａ∩Ｂ＝
Ａ［－３，３］ Ｂ［－３，９］ Ｃ［０，３］ Ｄ［０，９］
３函数 ｆ（ｘ）＝ｅ｜ｘ｜－ｘ２的图象是
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
４我市高三年级第二次质量检测的数学成绩 Ｘ近似服从正态分布 Ｎ（８２，σ２），且 Ｐ（７４＜Ｘ＜
８２）＝０４２已知我市某校有 ８００人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于 ９０分的
人数为
Ａ６４ Ｂ８１ Ｃ１００ Ｄ１２１
５已知双曲线 Ｃ∶ｘ２
ａ２ －ｙ２
ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左、右焦点分别为 Ｆ１，Ｆ２，以 Ｆ１Ｆ２ 为直径的圆与
双曲线 Ｃ的渐近线在第一象限的交点坐标为（２，１），则双曲线 Ｃ的方程为
Ａｘ２
２－ｙ２＝１ Ｂｘ２
４－ｙ２＝１ Ｃｘ２－ｙ２
２＝１ Ｄｘ２－ｙ２
４＝１
６执行如图程序框图所示的程序，若输出的 ｘ的值为 ９，则输入的 ｘ为
Ａ１ Ｂ２ Ｃ３ Ｄ４
７如图，网格纸上小正方形的边长均为 １，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体
积为
Ａ４π
３ ＋４ Ｂ４π
３ ＋８ Ｃ８π
３ ＋４ Ｄ８π
３ ＋８
）页４共（页１第卷试）理（学数级年三高市埠蚌８若二项式 ｘ６－ １
槡( )ｘ ｘ
ｎ
的展开式中含有常数项，则 ｎ的值可以是
Ａ８ Ｂ９ Ｃ１０ Ｄ１１
第 ６题图 第 ７题图 第 １０题图
９已知函数 ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎ（ωｘ＋φ） ω＞０，｜ω｜＜π( )２ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 π
２，将
函数 ｆ（ｘ）的图象向左平移 π
３个单位长度后，得到函数 ｇ（ｘ）的图象．若函数 ｇ（ｘ）为偶函数，
则函数 ｆ（ｘ）在区间 －π
６，π[ ]６ 上的值域是
Ａ －１，[ ]１
２ Ｂ（－２，１） Ｃ －１，( )１
２ Ｄ［－２，１］
１０如图，在四棱锥 Ｐ－ＡＢＣＤ中，ＢＣ∥ＡＤ，ＡＤ＝２ＢＣ，点 Ｅ是棱 ＰＤ的中点，ＰＣ与平面 ＡＢＥ交
于 Ｆ点，设 ＰＦ＝λＦＣ，则 λ＝
Ａ１ Ｂ２ Ｃ３ Ｄ４
１１设抛物线 Ｃ∶ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点为 Ｆ，点 Ｍ在抛物线 Ｃ上，｜ＭＦ｜＝２，若以 ＭＦ为直径
的圆过点（０，１），则抛物线 Ｃ的焦点到准线距离为
Ａ２ Ｂ２或 ４ Ｃ８ Ｄ８或 １６
１２已知函数 ｆ（ｘ）＝ｘ＋ａ
２ｘ，过点（１，０）作曲线 ｆ（ｘ）的两条切线，切点为 Ａ（ｘ１，ｆ（ｘ１）），
Ｂ（ｘ２，ｆ（ｘ２）），其中 ０＜ｘ１＜ｘ２．若在区间（ｘ１，ｘ２）中存在唯一整数，则 ａ的取值范围是
Ａ（－∞，－２） Ｂ［－１，－２） Ｃ －８
３，[ )－２ Ｄ －８
３，( )－１
二、填空题：本大题共 ４小题，每小题 ５分，共 ２０分
１３已知向量ａ＝（ｘ，２），ｂ＝（－１，１），若｜ａ－ｂ｜＝｜ａ＋ｂ｜，则 ｘ的值为 ．
１４在△ＡＢＣ中，角 Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为 ａ，ｂ，ｃ，若 ２ｓｉｎ２Ａ＋ｃ（ｓｉｎＣ－ｓｉｎＡ）＝２ｓｉｎ２Ｂ，且
△ＡＢＣ的面积 Ｓ＝１
４ａｂｃ则角 Ｂ＝
）页４共（页２第卷试）理（学数级年三高市埠蚌１５回收 １吨废纸可以生产出 ０８吨再生纸，可能节约用水约 １００吨，节约用煤约 １２吨，回收
１吨废铅蓄电池可再生铅约 ０６吨，可节约用煤约 ０８吨，节约用水约 １２０吨，回收每吨废
铅蓄电池的费用约 ０９万元，回收 １吨废纸的费用约为 ０２万元 现用于回收废纸和废铅
蓄电池的费用不超过 １８万元，在保证节约用煤不少于 １２吨的前提下，最多可节约用水约
吨
１６已知球 Ｄ的半径为 ３，圆 Ａ与圆 Ｃ为该球的两个小圆，ＭＮ为圆 Ａ与圆 Ｃ的公共弦，ＭＮ＝
槡２５，若点 Ｂ是弦 ＭＮ的中点，则四边形 ＡＢＣＤ的面积的最大值为
三、解答题：本大题共 ６小题，共 ７０分 解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤 第
１７～２１题为必考题，每个试题考生都必须作答 第 ２２，２３题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共 ６０分
１７（１２分）
已知数列｛ａｎ｝中，ａ１＝３，且 ｎ（ｎ＋１）（ａｎ－ａｎ＋１）＝２，其中 ｎ∈Ｎ
（１）求数列｛ａｎ｝的通项公式；
（２）设 ｂｎ＝ａ１·ａ２·…·ａｎ
（ｎ＋１）·２ｎ ，求数列｛ｂｎ｝的前 ｎ项和 Ｓｎ
１８（１２分）
如图，在以 Ｐ为顶点，母线长为槡２的圆锥中，底面圆 Ｏ的直径 ＡＢ长为 ２，Ｃ是圆 Ｏ所在平
面内一点，且 ＡＣ是圆 Ｏ的切线，连接 ＢＣ交圆 Ｏ于点 Ｄ，
连接 ＰＤ，ＰＣ
（１）求证：平面 ＰＡＣ⊥平面 ＰＢＣ；
（２）若 Ｅ是 ＰＣ的中点，连接 ＯＥ，ＥＤ，当二面角 Ｂ－ＰＯ－Ｄ
的大小为 １２０°时，求平面 ＰＡＣ与平面 ＤＯＥ所成锐二
面角的余弦值
１９（１２分）
已知点 Ｅ（－２，０），Ｆ（２，０），Ｐ（ｘ，ｙ），是平面内一动点，Ｐ可以与点 Ｅ，Ｆ重合 当 Ｐ不与
Ｅ，Ｆ重合时，直线 ＰＥ与 ＰＦ的斜率之积为 －１
４
（１）求动点 Ｐ的轨迹方程；
（２）一个矩形的四条边与动点 Ｐ的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围
２０（１２分）
某地种植常规稻 α和杂交稻 β，常规稻 α的亩产稳定为 ４８５公斤，今年单价为 ３７０元／公
斤，估计明年单价不变的可能性为 １０％，变为 ３９０元／公斤的可能性为 ７０％，变为 ４００的
可能性为 ２０％．统计杂交稻 β的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如图①统计近 １０
年杂交稻 β的单价（单位：元／公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的 １０组数据记
为（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ＝１，２，…，１０），并得到散点图如图②．
）页４共（页３第卷试）理（学数级年三高市埠蚌（１）根据以上数据估计明年常规稻 α的单价平均值；
（２）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻 β的亩产平均值；以频率
作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻 β的亩产超过 ７９５公斤的概率；
（３）①判断杂交稻 β的单价 ｙ（单位：元／公斤）与种植亩数 ｘ（单位：万亩）是否线性相关？
若相关，试根据以下的参考数据求出 ｙ关于 ｘ的线性回归方程；
②调查得知明年此地杂交稻 β的种植亩数预计为 ２万亩．若在常规稻 α和杂交稻 β中
选择，明年种植哪种水稻收入更高？
统计参考数据：ｘ＿＝１６０，ｙ＿＝２８２，Σ
１０
ｉ＝１
（ｘｉ－ｘ＿）（ｙｉ－ｙ＿）＝－０５２，Σ
１０
ｉ＝１
（ｘｉ－ｘ＿）２＝０６５，
附：线性回归方程 ｙ＾＝ｂｘ＋ａ，ｂ＝
Σ
ｎ
ｉ＝１
（ｘｉ－ｘ＿）（ｙｉ－ｙ＿）
Σ
ｎ
ｉ＝１
（ｘｉ－ｘ＿）２
．
２１（１２分）
已知函数 ｆ（ｘ）＝ａｘ
ｅｘ ＋１
２ｘ２－ｘ，其中 ａ≥１．
（１）求函数 ｆ（ｘ）的单调区间；
（２）讨论函数 ｆ（ｘ）的零点个数．
（二）选考题：请考生在第 ２２，２３题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分
２２（１０分）［选修 ４—４：坐标系与参数方程］
在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，曲线 Ｃ的参数方程为 ｘ＝４＋３ｃｏｓα
ｙ＝３ｓｉｎ{ α （α为参数），直线 ｌ的参数
方程为 ｘ＝ｔｃｏｓβ
ｙ＝ｔｓｉｎ{ β（ｔ为参数，０≤β＜π），以坐标原点 Ｏ为极点，ｘ轴的非负半轴为极轴建立
极坐标系
（１）求曲线 Ｃ的极坐标方程；
（２）已知直线 ｌ与曲线 Ｃ相交于 Ａ，Ｂ两点，且｜ＯＡ｜－｜ＯＢ 槡｜＝２５，求 β．
２３（１０分）［选修 ４－５不等式证明选讲］
已知：ａ２＋ｂ２＝１，其中 ａ，ｂ∈Ｒ．
（１）求证：｜ａ－ｂ｜
｜１－ａｂ｜≤１；
（２）若 ａｂ＞０，求（ａ＋ｂ）（ａ３＋ｂ３）的最小值
）页４共（页４第卷试）理（学数级年三高市埠蚌蚌埠市 ２０１９届高三年级第三次教学质量检查考试
数学（理工类）参考答案及评分标准
一、选择题
题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２
答 案 Ｂ Ｃ Ａ Ａ Ｂ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ
二、填空题：
１３２ １４π
３ １５９０００ １６２
三、解答题：
１７（１２分）
解：（１）（方法一）由题意知，ａｎ－ａｎ＋１ ＝ ２
ｎ（ｎ＋１）＝２（１
ｎ－ １
ｎ＋１）， ２分…………………………
∴ａｎ－１ －ａｎ＝２（ １
ｎ－１－１
ｎ），ａｎ－２ －ａｎ－１ ＝２（ １
ｎ－２－ １
ｎ－１），…，ａ１ －ａ２ ＝２（１
１－１
２），
相加得：ａ１ －ａｎ＝２（１－１
ｎ），其中 ｎ≥２． ４分………………………………………………
又 ａ１ ＝３，∴ａｎ＝１＋２
ｎ
而 ａ１ ＝３符合上式，故ｎ∈Ｎ ，ａｎ＝１＋２
ｎ． ６分…………………………………………
（方法二）由题意知，ａｎ－ａｎ＋１ ＝ ２
ｎ（ｎ＋１）＝２（１
ｎ－ １
ｎ＋１）， ３分…………………………
∴ａｎ＋１ － ２
ｎ＋１＝ａｎ－２
ｎ，
进而 ａｎ－２
ｎ＝ａｎ－１ － ２
ｎ－１＝… ＝ａ１ －２
１＝１，
∴ａｎ＝１＋２
ｎ． ６分……………………………………………………………………………
（２）（方法一）由（１），ａｎ＝１＋２
ｎ＝ｎ＋２
ｎ ，
∴ａ１ａ２…ａｎ＝３
１· ４
２·…·ｎ＋１
ｎ－１·ｎ＋２
ｎ ＝（ｎ＋１）（ｎ＋２）
２ ，
于是 ｂｎ＝ ａ１ａ２…ａｎ
（ｎ＋１）·２ｎ＝ｎ＋２
２ｎ＋１， ８分…………………………………………………………
∴Ｓｎ＝３
２２ ＋４
２３ ＋５
２４ ＋… ＋ｎ＋１
２ｎ ＋ｎ＋２
２ｎ＋１，
１
２Ｓｎ＝３
２３ ＋４
２４ ＋… ＋ｎ＋１
２ｎ＋１ ＋ｎ＋２
２ｎ＋２，
相减得：１
２Ｓｎ＝３
２２ ＋（１
２３ ＋１
２４ ＋… ＋ １
２ｎ＋１）－ｎ＋２
２ｎ＋２ １０分…………………………………
＝３
４＋
１
２３（１－（１
２）ｎ－１）
１－１
２
－ｎ＋２
２ｎ＋２ ＝１－ １
２ｎ＋１ －ｎ＋２
２ｎ＋２ ＝１－ｎ＋４
２ｎ＋２
故 Ｓｎ＝２－ｎ＋４
２ｎ＋１． １２分………………………………………………………………………
（方法二）由（１），ａｎ＝１＋２
ｎ＝ｎ＋２
ｎ ，
）页４共（页１第准标分评及案答考参）类工理（学数级年三高市埠蚌∴ａ１ａ２…ａｎ＝３
１· ４
２……ｎ＋１
ｎ－１·ｎ＋２
ｎ ＝（ｎ＋１）（ｎ＋２）
２ ，
于是 ｂｎ ＝ ａ１ａ２…ａｎ
（ｎ＋１）·２ｎ＝ｎ＋２
２ｎ＋１ ８分…………………………………………………………
＝ｎ＋３
２ｎ －ｎ＋４
２ｎ＋１， １０分………………………………………………………………
∴Ｓｎ＝（４
２１ －５
２２）＋（５
２２ －６
２３）＋… ＋（ｎ＋３
２ｎ －ｎ＋４
２ｎ＋１）＝２－ｎ＋４
２ｎ＋１． １２分…………………
１８（１２分）
解：（１）∵ＡＢ是圆 Ｏ的直径，ＡＣ与圆 Ｏ切于点 Ａ，∴ＡＣ⊥ＡＢ
∵ＰＯ⊥底面圆 Ｏ，∴ＰＯ⊥ＡＣ
∵ＰＯ∩ＡＢ＝Ｏ，∴ＡＣ⊥平面 ＰＡＢ，∴ＡＣ⊥ＰＢ ３分………………………………………
又∵在△ＰＡＢ中，ＰＡ＝ＰＢ＝槡２
２ＡＢ，∴ＰＡ⊥ＰＢ
∵ＰＡ∩ＡＣ＝Ａ，∴ＰＢ⊥平面 ＰＡＣ，从而平面 ＰＡ⊥平面 ＰＢＣ ６分………………………
（２）∵ＯＢ⊥ＰＯ，ＯＤ⊥ＰＯ，∴∠ＢＯＤ为二面角 Ｂ－ＰＯ－Ｄ的平面角，
∴∠ＢＯＤ＝１２０°，
如图建立空间直角坐标系，易知 ＯＢ＝１，
则 Ａ（０，－１，０），Ｂ（０，１，０），Ｄ 槡３
２，－１
２，( )０
Ｃ 槡２３
３ ，－１，( )０，Ｐ（０，０，１），Ｅ 槡３
３，－１
２，( )１
２ ，
由（１）知ｍ ＝ＢＰ ＝（０，－１，１）为平面 ＰＡＣ的一个法向
量， ９分…………………………………………………
设平面 ＯＤＥ的法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），
ＯＥ ＝ 槡３
３，－１
２，( )１
２ ，ＯＤ ＝ 槡３
２，－１
２，( )０，
∵ｎ⊥ＯＥ，ｎ⊥ＯＤ，∴ｎ·ＯＥ ＝０，ｎ·ＯＤ ＝０，
∴
槡３
３ｘ－１
２ｙ＋１
２ｚ＝０
槡３
２ｘ－１
２ｙ{ ＝０
，即 ２ｘ 槡－ ３ｙ 槡＋ ３ｚ＝０
槡３ｘ－ｙ{ ＝０
故平面 ＯＤＥ的一个法向量为ｎ＝（槡３，３，１），
∴ｃｏｓ＜ｍ，ｎ＞＝ ｍ·ｎ
｜ｍ｜·｜ｎ｜＝－槡２６
１３ １１分……………………………………………
∴平面 ＰＡＣ与平面 ＤＯＥ所成锐二面角的余弦值为 槡２６
１３ １２分…………………………
１９（本小题满分 １２分）
解：（１）当 Ｐ与点 Ｅ，Ｆ不重合时，
ｋＰＥ·ｋＰＦ ＝－１
４，得 ｙ
ｘ＋２· ｙ
ｘ－２＝－１
４，即ｘ２
４＋ｙ２ ＝１（ｙ≠０）， ３分………………………
当 Ｐ与点 Ｅ，Ｆ重合时，Ｐ（－２，０）或 Ｐ（２，０）．
综上，动点 Ｐ的轨迹方程为ｘ２
４＋ｙ２ ＝１ ５分………………………………………………
（２）记矩形面积为 Ｓ，
当矩形一边与坐标轴平行时，易知 Ｓ＝８． ６分……………………………………………
当矩形各边均不与坐标轴平行时，
根据对称性，设其中一边所在直线方程为 ｙ＝ｋｘ＋ｍ，则对边方程为 ｙ＝ｋｘ－ｍ
另一边所在的直线为 ｙ＝－１
ｋｘ＋ｎ，则对边方程为 ｙ＝－１
ｋｘ－ｎ，
联立： ｘ２ ＋４ｙ２ ＝４
ｙ＝ｋｘ＋{ ｍ ，得（１＋４ｋ２）ｘ２ ＋８ｋｍｘ＋４（ｍ２ －１）＝０， ８分…………………………
）页４共（页２第准标分评及案答考参）类工理（学数级年三高市埠蚌则 Δ＝０，即 ４ｋ２ ＋１＝ｍ２
矩形的一边长为 ｄ１ ＝ ｜２ｍ｜
ｋ２
槡 ＋１
，
同理：４
ｋ２ ＋１＝ｎ２，矩形的另一边长为 ｄ２ ＝ ｜２ｎ｜
１
ｋ２槡 ＋１
， １０分………………………………
Ｓ＝ｄ１·ｄ２ ＝ ｜２ｍ｜
ｋ２
槡 ＋１
· ｜２ｎ｜
１
ｋ２槡 ＋１
＝｜４ｍｎｋ｜
ｋ２ ＋１ ＝４· （４ｋ２ ＋１）（ｋ２ ＋４）
（ｋ２ ＋１）槡 ２
＝４· ４ｋ４ ＋１７ｋ２ ＋４
（ｋ２ ＋１）槡 ２ ＝４· ４＋ ９ｋ２
（ｋ２ ＋１）槡 ２ ＝４· ４＋ ９
ｋ２ ＋１
ｋ２槡 ＋２
∈（８，１０］，
综上：Ｓ∈［８，１０］ １２分……………………………………………………………………
２０（本小题满分 １２分）
解：（１）设明年常规稻 α的单价为 ξ，则 ξ的分布列为
ξ ３７０ ３９０ ４００
Ｐ ０１ ０７ ０２
Ｅ（ξ）＝３７×０１＋３９×０７＋４×０２＝３９，
估计明年常规稻 α的单价平均值为 ３９（元 ／公斤）； ３分…………………………………
（２）杂交稻 β的亩产平均值为：
［（７５０＋８１０＋８２０）×０００５＋（７６０＋８００）×００１＋（７７０＋７９０）×００２＋７８０×００２５］×
１０＝７８２×１０＝７８２． ５分……………………………………………………………………
依题意知杂交稻 β的亩产超过 ７９５公斤的概率 ｐ＝０１＋０５×２＝０２，
则将来三年中至少二年，杂交稻 β的亩产超过 ７９５公斤的概率为：
Ｃ２
３ ×０２２ ×（１－０２）＋０２３ ＝０１０４． ７分…………………………………………………
（３）①∵散点图中各点大致分布在一条直线附近，
∴可以判断杂交稻 β的单价 ｙ与种植亩数 ｘ线性相关， ８分……………………………
由题中提供的数据得：ｂ＝－０５２
０６５ ＝－０８，
由 ｙ＿ ＝ｂｘ＿ ＋ａ得 ａ＝ｙ＿ －ｂｘ＿ ＝２８２＋０８×１６０＝４１０，
∴线性回归方程为 ｙ＾＝－０８×２＋４１０， １０分……………………………………………
②估计明年杂交稻 β的单价 ｙ＾＝－０８×２＋４１０＝２５０元 ／公斤；
估计明年杂交稻 β的每亩平均收入为 ７８２×２５０＝１９５５元／亩，
估计明年常规稻 α的每亩平均收入为 ４８５×Ｅ（ξ）＝４８５×３９＝１８９１５元／亩，
∵１９５５＞１８９１５，∴明年选择种杂交稻 β收入更高． １２分……………………………
２１（本小题满分 １２分）
解：（１）ｆ′（ｘ）＝ａ－ａｘ
ｅｘ ＋ｘ－１＝（ｘ－１）（ｅｘ－ａ）
ｅｘ ，ｘ∈Ｒ
令 ｆ′（ｘ）＝０得 ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝ｌｎａ， ２分………………………………………………………
①当 ｌｎａ＝１，即 ａ＝ｅ时，ｆ′（ｘ）≥０恒成立，∴ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）上增；
②当 ｌｎａ＜１，即 １≤ａ＜ｅ时，令 ｆ′（ｘ）＞０，得 ｘ＞１或 ｘ＜ｌｎａ，
令 ｆ′（ｘ）＜０，得 ｌｎａ＜ｘ＜１，
∴ｆ（ｘ）在（－∞，ｌｎａ）上增，在（ｌｎａ，１）上减，在（１，＋∞）上增；
③当 ｌｎａ＞１即 ａ＞ｅ时，令 ｆ′（ｘ）＞０，得 ｘ＞ｌｎａ或 ｘ＜１，
令 ｆ′（ｘ）＜０，得 １＜ｘ＜ｌｎａ，
∴ｆ（ｘ）在（－∞，１）上增，在（１，ｌｎａ）上减，在（ｌｎａ，＋∞）上增；
综上，当 ａ≤０时，函数 ｆ（ｘ）的减区间为（－∞，１），增区间为（１，＋∞）；
当 ａ＝ｅ时，ｆ（ｘ）的单调增区间为（－∞，＋∞）；
当 ０＜ａ＜ｅ时，ｆ（ｘ）的单调增区间为（－∞，ｌｎａ），（１，＋∞），单调减区间为（ｌｎａ，１）；
当 ａ＞ｅ时，ｆ（ｘ）的单调增区间为（－∞，１），（ｌｎａ，＋∞），单调减区间为（１，ｌｎａ）
６分
……
………………………………………………………………………………………
（２）（方法一）（ｉ）由（１）知，当 ａ＝ｅ时，ｆ（ｘ）单调递增，又 ｆ（０）＝０，故 １个零点； ７分………
）页４共（页３第准标分评及案答考参）类工理（学数级年三高市埠蚌（ｉｉ）当 ａ＞ｅ或 １≤ａ＜ｅ时，ｆ（ｌｎａ）＝ａｌｎａ
ａ ＋１
２ｌｎ２ａ－ｌｎａ＝１
２ｌｎ２ａ，
①当 ａ＝１时，ｆ（ｘ）在（－∞，０）上增，在（０，１）上减，在（１，＋∞）上增，
∵ｆ（０）＝０，ｆ（１）＝１
ｅ－１
２＜０，ｆ（２）＝２
ｅ２ ＞０，此时 ２个零点； ８分………………………
②当 ａ＞ｅ时，ｆ（ｘ）在（－∞，１）上增，在（１，ｌｎａ）上减，在（ｌｎａ，＋∞）上增；
ｆ（ｌｎａ）＝ａｌｎａ
ａ ＋１
２ｌｎ２ａ－ｌｎａ＝１
２ｌｎ２ ＞０，又 ｆ（０）＝０，此时 １个零点； ９分………………
③当 １＜ａ＜ｅ时，
ｆ（ｘ）在（－∞，ｌｎａ）上增，在（ｌｎａ，１）上减，在（１，＋∞）上增；
ｆ（ｌｎａ）＝ａｌｎａ
ａ ＋１
２ｌｎ２ａ－ｌｎａ＝１
２ｌｎ２ａ＞０，ｆ（２）＝２ａ
ｅ２ ＞０，
ｆ（ｘ）＝ａｘ
ｅｘ ＋１
２ｘ２ －ｘ＝ｘ（ａ
ｅｘ ＋１
２ｘ－１），ｆ（０）＝０
∵ｆ（１）＝ａ
ｅ－１
２，
∴当 ｅ
２＜ａ＜ｅ时，ｆ（１）＝ａ
ｅ－１
２＞０，有 １个零点；
当 ａ＝ｅ
２时，ｆ（１）＝ａ
ｅ－１
２＝０，有 ２个零点；
当 １＜ａ＜ｅ
２时，ｆ（１）＝ａ
ｅ－１
２＜０，有 ３个零点； １１分…………………………………
综上所述：当 ａ＞ｅ
２时，有 １个零点；当 ａ＝１或 ａ＝ｅ
２时，有 ２个零点；
当 １＜ａ＜ｅ
２时，有 ３个零点 １２分………………………………………………………
（方法二）显然 ｘ＝０是 ｙ＝ｆ（ｘ）的一个零点．
当 ｘ≠０时，ｆ（ｘ）＝０ａ＝ｅｘ（１－ｘ
２），记 ｇ（ｘ）＝ｅｘ（１－ｘ
２），（以下略）
２２（１０分）
解：（１）由曲线 Ｃ的参数方程可得普通方程为（ｘ－４）２ ＋ｙ２ ＝９，
即 ｘ２ ＋ｙ２ －８ｘ＋７＝０， ２分…………………………………………………………………
所以曲线 Ｃ的极坐标方程为 ρ２ －８ρｃｏｓθ＋７＝０ ５分……………………………………
（２）由直线 ｌ的参数方程可得直线的极坐标方程为 θ＝β（ρ∈Ｒ）， ６分……………………
因为直线 ｌ与曲线 Ｃ相交于 Ａ，Ｂ两点，所以设 Ａ（ρ１，β），Ｂ（ρ２，β），
联立 ρ２ －８ρｃｏｓθ＋７＝０
θ＝{ β ，可得 ρ２ －８ρｃｏｓβ＋７＝０， ７分……………………………………
因为 Δ＝６４ｃｏｓ２β－２８＞０，即 ｃｏｓ２β＞７
１６， ８分………………………………………………
所以｜ＯＡ｜－｜ＯＢ｜＝｜ρ１ －ρ２｜＝ （ρ１ ＋ρ２）２ －４ρ１ρ槡 ２ ＝ ６４ｃｏｓ２β槡 槡－２８＝２５，
解得 ｃｏｓβ＝±槡３
２，所以 β＝π
６或５π
６ １０分…………………………………………………
２３（１０分）
解：（１）所证不等式等价于｜ａ－ｂ｜≤｜１－ａｂ｜，即（ａ－ｂ）２≤（１－ａｂ）２，
也就是（ａ２ －１）（１－ｂ２）≤０，
∵ａ２ ＋ｂ２ ＝１，∴ａ２≤１，ｂ２≤１
∴（ａ２ －１）（１－ｂ２）≤０，故原不等式成立 ５分…………………………………………
（２）（ａ＋ｂ）·（ａ３ ＋ｂ３）＝ａ４ ＋ａｂ３ ＋ａ３ｂ＋ｂ４≥ａ４ ＋２ ａｂ３·ａ３
槡 ｂ＋ｂ４ ＝（ａ２ ＋ｂ２）２ ＝１
当且仅当 ａ＝ｂ＝槡２
２或 ａ＝ｂ＝－槡２
２时，
（ａ＋ｂ）·（ａ３ ＋ｂ３）取到最小值 １ １０分…………………………………………………
（以上答案仅供参考，其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）
）页４共（页４第准标分评及案答考参）类工理（学数级年三高市埠蚌
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