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2019年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷(A卷)
理科数学
本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合,, 则
A. B. C. D.
2.已知，且，则
A. B. C. D.
3.执行如右图所示的程序框图，最后输出结果为
A. B. C. D.
4. 函数在上的图像大致为
A B C D
5.从位女生，位男生中选人参加科技比赛，则至多有位女生入选的方法种数为
A. B. C. D.
6.如图1是某省2019年14月快递业务量统计图，图2是该省2019年14月快递业务收入统计图，其中同比增长率指和去年同期相比较的增长率.下列对统计图理解错误的是
A．月业务量中，3月份最高，2月份最低，差值接近2000万件
B．月收入同比增长率中，3月份最高
C．同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
D．月业务收入同比增长率逐月增长
7．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为.某检验员从该生产线上随机抽检个零件，设其中优等品零件的个数为.若，，则
A. B. C. D.
8.将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像关于原点对称，则的最小值为
A. B. C. D.
9.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”（又称“物不知数题”），后来我国南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决.“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.后传入西方，被称为“中国剩余定理”.现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被除余且被除余的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第项为
A. B. C. D.
10.已知为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，为的中点，为原点.若是以为底边的等腰三角形，则的斜率为
A. B. C. D.
11.在正方体中，分别为棱的中点，为侧面内一点.若平面，则与平面所成角正弦值的最大值为
A. B. C. D.
12.已知双曲线的左、右焦点分别为，以线段为直径的圆与的渐近线在第一象限的交点为，且.设的离心率为，则=
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若向量，且三点共线，则________.
14.若满足约束条件则的最小值是________.
15.已知,且函数若方程至多有两个不等实数根，则的取值范围为________.
16.对于,数列都有（为常数）成立，则称数列具有性质.若数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围是________.
三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题60分.
17.（12分）
的内角的对边分别是.已知.
（1）求；
（2）若边上的中线的长为，求面积的最大值．
18.（12分）
如图，以为顶点的五面体中，,平面,
，，是的中点.
（1） 求证：平面；
（1） 求二面角的余弦值.
19. （12分）
某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额
（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①，②，其中均为常数，为自然对数的底数．
现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．
令，经计算得如下数据：
（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；
（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；
（ii）若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？
附：①相关系数，
回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，；
② 参考数据：，，．
20. （12分）
已知抛物线的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是周长为的正三角形．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与抛物线相交于两点，抛物线在点处的切线与交于点，求面积的最小值.
21．（12分）
已知函数的导函数为，且.
（1）求的值；
（2）若有唯一极值点，且极值为，求的值.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)写出的普通方程和的直角坐标方程；
(2)设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数.
(1)若不等式的解集为，求的值；
(2)设函数.若，求的取值范围.
2019年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷(A卷)
理科数学参考答案及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分60分.
1．B 2.D 3.B 4.A 5.B 6.D
7．C 8.A 9.C 10.A 11.D 12.B
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分20分.
13． 14. 15. 16..
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.本小题主要考查正弦定理、三角形的面积公式、两角和与差的三角函数公式、诱导公式等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分12分.
解：(1)因为,
所以由正弦定理得，, 1分
因为,
代入得,
所以, 2分
即, 3分
所以. 4分
因为,
所以, 5分
又因为为三角形内角，
所以. 6分
（2）因为为边上的中线,
所以, 7分
设,则.由正弦定理得，
=，, 8分
则 9分
, 10分
因为,
所以当时，面积的最大值为, 11分
所以面积的最大值为. 12分
18.本小题主要考查直线与平面垂直的判定与性质、二面角、空间向量等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性. 满分12分.
解：（1）因为平面，平面，所以.
因为，是的中点，
所以. 1分
又，
所以，从而. 2分
因为平面，且，
所以四边形为直角梯形.
又是的中点，，
所以与均为等腰直角三角形，
所以. 3分
设，则，
所以. 4分
又，平面，
所以平面. 5分
（2）由（1）知.设的中点为，连接，
则∥，从而.
以为原点，分别为轴，轴，轴
正方向建立如图所示空间直角坐标系.
由题意得，
6分
则 7分
设平面的法向量为，
由得 8分
令，得，
所以为平面的一个法向量. 9分
因为平面，
所以为平面的一个法向量. 10分
因为， 11分
且由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为 12分
19. 本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识,考查统计与概率思想、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养,体现基础性、综合性与应用性．满分12分．
解：（1）， 2分
， 4分
则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好． 5分
（2）（i）先建立关于的线性回归方程.
由，得，即． 6分
由于， 8分
9分
所以关于的线性回归方程为，
所以，则 10分
（ii）下一年销售额需达到90亿元，即，
代入得，，
又，所以， 11分
所以，
所以预测下一年的研发资金投入量约是亿元 12分
20.本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性.满分12分.
解：（1）由是周长为12的等边三角形，得，
又由抛物线的定义可得. 1分
设准线与轴交于，则，从而． 2分
在中，，即. 3分
所以抛物线的方程为. 4分
（2）依题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为：，
联立消去可得，.
设，则. 5分
所以
. 6分
由，得，
所以过点的切线方程为， 7分
又，
所以切线方程可化为. 8分
令，可得,
所以点, 9分.
所以点到直线的距离， 10分
所以，当时，等号成立. 11分
所以面积的最小值为4. 12分
21.
本小题主要考查函数的求导法则、函数的极值点与极值的概念等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想，考查数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养,体现综合性、应用性与创新性．满分12分．
解：（1）因为，
所以， 1分
所以，. 2分
又因为，
所以， 3分
解得.
所以的值为. 4分
（2）由（1）可得，，.
设唯一极值点为，则 5分
由②①得，. 6分
令，则，
所以.
又在上单调递增，且， 7分
所以当时，，从而单调递减，
当时，，从而单调递增，
故，从而在上单调递增， 8分
又因为，
所以. 9分
代入①可得，. 10分
当时，，，
因为是的唯一零点，且，， 11分
又，
，
所以是唯一极值点，且极值为，满足题意.
所以. 12分
22.选修4-4：极坐标与参数方程
本小题主要考查直角坐标与极坐标互化、椭圆的参数方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想,考查数学运算核心素养等，体现基础性与综合性.满分10分.
解：（1）由曲线的参数方程（为参数）消去参数得，
，
即的普通方程为：. 2分
曲线的极坐标方程为可化为：
. .3分
由,可得的直角坐标方程为直线. .5分
（2）设, 6分
则点到直线的距离为 7分
8分
当时,的最小值为 9分
此时可取,故． 10分
23.选修4-5：不等式选讲
本小题主要考查绝对值不等式,考查运算求解能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想,考查数学运算、逻辑推理等核心素养等，体现基础性与综合性.满分10分.
解：（1）因为,,
所以, 1分
即,
所以, 2分
解得, 3分
因为不等式的解集为,
所以,即. 5分
（2）因为,
所以,. 6分
当且仅当时等号成立. 7分
因为恒成立,所以,
即 ① 8分
当时,①等价于，成立.
当时,①等价于，解得. 9分
综上所述的取值范围是． 10分
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