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赤峰二中2015级高三下学期第二次月考
理科数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数是纯虚数，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
3．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
4．已知锐角的内角的对边分别为，若，，的面积，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数的大致图象为（ ）
A B C D
6．已知等差数列的前项和为，且，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
7．运行如图所示的程序框图，若输出的n的值为5，则判断框中可以填（ ）
A． B．
C． D．
8．已知平面向量满足，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知直线与函数的图象的三个相邻交点的横坐标分别为，，，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
10．当地时间2018年1月19日晚，美国参议院投票否决了一项旨在避免政府停摆的临时拨款法案，美国联邦政府非核心部门工作因此陷入停滞状态．某国家与美国计划进行6个重点项目的洽谈，考虑到停摆的现状，该国代表对项目洽谈的顺序提出了如下要求：重点项目甲必须排在前三位，且项目丙、丁必须排在一起，则这六个项目的不同安排方案共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
11．如图，已知抛物线，圆:，过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为
A． B． C． D．
12．已知，，若存在，，使得，则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“度零点函数”，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知点在不等式组表示的平面区域内，、，则面积的最大值为.
14．已知函数的图象恒过点，若双曲线的对称轴为两坐标轴，一条渐近线与垂直，且点在双曲线上，则双曲线的离心率等于_____________.
15某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为__________.
16．2017年吴京执导的动作、军事电影《战狼2》上映三个月，以56.8亿震撼世界的票房成绩圆满收官，该片也是首部跻身全球票房TOP100的中国电影．小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《战狼2》，并把标识分别为A,B,C,D的四张电影票放在编号分别为1,2,3,4的四个不同盒子里，让四位好朋友进行猜测：
甲说：第1个盒子里面放的是B，第3个盒子里面放的是C；
乙说：第2个盒子里面放的是B，第3个盒子里面放的是D；
丙说：第4个盒子里面放的是D，第2个盒子里面放的是C；
丁说：第4个盒子里面放的是A，第3个盒子里面放的是C.
小明说：“四位朋友，你们都只说对了一半．”
可以推测，第4个盒子里面放的电影票为.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知数列中，其前项和为，且对任意，都有．等比数列中，，．
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
随着雾霾的日益严重，中国部分省份实施 “煤改气”来改善空气质量. 2017年支撑我国天然气市场消费增长的主要资源是国产常规气和进口天然气，资源每年的增量不足以支撑天然气市场300亿立方米的年增量. 进口液化天然气和进口管道气受到接收站、管道能力和进口气价的制约. 未来，国产常规气产能释放的红利将会逐步减弱，产量增量将维持在80亿立方米以内.为了测定某市是否符合实施煤改气计划的标准，某监测站点于2017年8月某日起连续200天监测空气质量指数，数据统计如下：
（I）根据上图完成下表：
空气质量指数
天数
（II）若按照分层抽样的方法，从空气质量指数在以及的等级中抽取14天进行调研，再从这14天中任取4天进行空气颗粒物分析，记这4天中空气质量指数在的天数为X，求X的分布列；
（III）以频率估计概率，根据上述情况，若在一年365天中随机抽取5天，记空气质量指数在以上（含150）的天数为Y，求Y的数学期望.
19．（本小题满分12分）
如图，在矩形中，，为的中点，现将与折起，使得平面平面，平面平面．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的上顶点为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程及其离心率；
（Ⅱ）斜率为的直线与椭圆交于两个不同的点，当直线的斜率之积为定值时，求此时的面积的最大值．
21．（本小题满分12分）
已知函数,为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若在时恒成立，求实数的取值范围．
请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为（为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线与曲线交于两点，求.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若正数满足，求的最小值.
理数答案
1-5 CABAD 6-10 BDBBD 11-12 CB
(13) 1 （14） （15） （16）A或D
19
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