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2018年安庆市高三模拟考试（二模）
数学试题（理）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足：，其中是虚数单位，则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3．三内角的对边分别为,则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
4．如图，四边形是边长为2的正方形，曲线段所在的曲线方程为，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的值为（ ）
A．0 B．1 C．16 D．32
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．12 B．16 C． D．24
7．函数（）的图象的大致形状是（ ）
8．已知函数（）图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（ ）
A. 关于点对称 B. 关于点对称
C. 关于直线对称 D. 关于直线对称
9．在中，点是边上任意一点，是线段的中点，若存在实数和，使得，则（ ）
A． B．2 C．2 D．
10．在锐角中，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知实数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，是图象上任意一点，过点作直线和轴的垂线，垂足分别为，又过点作曲线的切线，交直线和轴于点.给出下列四个结论：①是定值；②是定值；③（是坐标原点）是定值；④是定值.
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是 .
14．设抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足，若，则的值为 .
15．已知由样本数据点集合求得的回归直线方程为，且.现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，那么，当时，的估计值为 .
16
．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型.设某双曲线型冷却塔是曲线与直线，和所围成的平面图形绕轴旋转一周所得，如图所示.试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为 .
三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知公差不为0的等差数列的首项，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，是数列的前项和，求使成立的最大的正整数.
18．如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面上的射影恰好落在边上.
（1）求证：平面平面；
（2）当时，求二面角的余弦值.
19．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同.
（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；
（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过（）次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以表示，求的分布列和数学期望.
20．已知直线：，：，动点分别在直线，上移动，，是线段的中点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设不经过坐标原点且斜率为的直线交轨迹于点，点满足，若点在轨迹上，求四边形的面积.
21．已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求和实数的值；
（2）设，分别是函数的两个零点，求证.
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
已知在极坐标系中，点，，是线段的中点，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是（为参数）.
（1）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；
（2）设直线过点交曲线于两点，求的值.
23．选修4-5：不等式选讲
已知，不等式的解集是.
（1）求集合；
（2）设，证明：.
2018年安庆市高三模拟考试（二模）
数学试题（理）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
D
B
C
A
B
B
C
A
B
D
C
C
1．【解析】因为，所.故选D.
2．【解析】. ，所以的共轭复数为.故选B.
3.【解析】根据二倍角公式、正弦定理可得
第4题图
.故选C.
4.【解析】根据条件可知，，阴影部分的面积为，
所以，豆子落在阴影部分的概率为.故选A.
第6题图
5.【解析】；；；.故选B.
6.【解析】该几何体的直观图如图所示，其体积为（）.故选B.
7.【解析】 故选C.
8.【解析】由函数图象相邻两条对称轴之间的距离为可知其周期为，所以
，
所以.将函数的图象向左平移个单位后，得到函数
数学试题（理）参考答案（共11页）第1页
图象.因为得到的图象关于轴对称，所以，，即，.
又，所以，所以，其图象关于点对称. 故选A.
9. 【解析】因为点在边上，所以存在，使得.
因为是线段的中点，所以
第9题图
又，所以，，
所以. 故选B.
10.【解析】 .
因为是锐角三角形，所以
得.所以.故选D.
第11题图
11. 【解析】 作可行域，如图阴影部分所示.
表示可行域内的点与点连线的斜率. 易知，，.
当直线与曲线相切时，，切点为，所以切点位于点、之间.
因此根据图形可知，的最大值为.故选C.
数学试题（理）参考答案（共11页）第2页
拓展：思考：如何求的取值范围呢？答案：
更一般地，当直线，的交点不在可行域内时，的取值范围均能求出。
12． 【解析】① 设，则，为定值，所以①正确；②因为四边形四点共圆，所以，又由①知，
所以，为定值，故②正确；
③ 因为，所以过点的曲线的切线方程为，所以，，所以，为定值，故③正确；.
④，不是定值，
故④不正确, 故选C.
拓展：①从以上证明不难看出： 为定值。而且 ，
的面积也均为定值。
②如果是图象上任意一点，过点作直线和轴的平行线，交轴和直线分别为、，则是定值；是定值；、、平行四边形OAPB的面积也为定值 。
③以上结论在标准双曲线中也成立。
数学试题（理）参考答案（共11页）第3页
二、填空题
13．-189； 14．； 15．； 16． .
13. 【解析】令，得展开式中各项系数之和为.由，得，所以展开式的通项为.
由，得，展开式中的系数是.
14. 【解析】设，.
因为抛物线x2=4y的焦点为，准线为，
所以由，得，所以，x12=4y1=2.
由 得 即
因为x22=4y2，所以. 解得或（舍）.
注：若知抛物线的焦点弦的如下性质：，可更快地求出结果。
15. 【解析】：将代入得. 所以样本中心点为，由数据点
(1.1,2.1)和(4.9,7. 9)知：，，故去除这两个数据点后，样本中心点不变.
设新的回归直线方程为，将样本中心点坐标代入得：，
所以，当时，的估计值为.
16. 【解析】设点，则，所以圆环的面积为.
因为，所以，所以圆环的面积为.
数学试题（理）参考答案（共11页）第4页
根据祖暅原理可知，该双曲线型冷却塔挖出一个以渐近线为母线的圆锥后的几何的体积等于底面半径为、高为的圆柱的体积，所以冷却塔的体积为：.
三、解答题
17．【解析】（Ⅰ）设数列的公差为，则，.
由 ，，成等比数列，得， ………………2分
即，得（舍去）或. ……………… 4分
所以数列的通项公式为，. ………………6分
（Ⅱ）因为， ………………8分
所以 .
由，即，得. ………………10分
所以使成立的最大的正整数. ………………12分
18．【解析】（I）设点在平面上的射影为点，连接
则平面，所以.
因为四边形是矩形，所以，所以平面，
所以.
数学试题（理）参考答案（共11页）第5页
又，所以平面，而平面，
所以平面平面.
………………M
M
E
第18题图
5分
（II）方法1：在矩形中，过点作的垂线，垂足为，连结.
因为平面，又DM∩DE=D
所以平面，
所以为二面角的平面角. ………………8分
设，则.
在中，易求出，.
在中，，
所以. ……………… 12分
方法2：以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示. ……………… 6分
设，则，所以，.
由（I）知，又，所以°，°，那么，，，
所以，所以，. ………8分
设平面的一个法向量为，则即
数学试题（理）参考答案（共11页）第6页
取，则，，所以. ………………10分
因为平面的一个法向量为，
所以.
所以求二面角的余弦值为. ……………… 12分
19．【解析】：(I) 因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为，
用表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则服从二项分布，即～，
所以抽取的5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率. …………4分
(II) ξ的可能取值为：0，1，2，…，. ………………5分
，，，
……， ， . ………………7分
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
……
……
…………8分
的数学期望为：
， (1)
. (2)
数学试题（理）参考答案（共11页）第7页
(1)－(2)得：
…………10分
，
.
所以. ………………12分
20.【解析】（I）根据条件可设，，由，得:
. ………………2分
设，则得
将①和②代入中并化简得： .
所以点的轨迹的方程为. ………………5分
（II）设直线的方程为，，，.
将代入，整理得 .
则 ，. ………………6分
数学试题（理）参考答案（共11页）第8页
.
因为，则有：，. …… 7分
因为在椭圆上，，
化简得：. ………………8分
所以，，
因为
. ……………… 9分
又点到的距离为. ………………10分
由，可知四边形为平行四边形，
. ……………… 12分
拓展: 此题结论可推广到更一般情形:
第(Ⅰ))题中, 直线、只要不垂直,轨迹均为椭圆, 、垂直时,轨迹为圆;
第(Ⅱ)题中结论可推广到更一般情形:
设不经过坐标原点且斜率为的直线交椭圆:于点、，点满足. 若点在椭圆上，则四边形OPRQ(或)的面积为定值。
21．【解析】（I）由，得，，，所以曲线在点处的切线方程（*）.
数学试题（理）参考答案（共11页）第9页
将方程（*）与比较，得
解得 ，. ………………5分
（II） .
因为，分别是函数的两个零点，所以
两式相减，得，
所以. ……………… 7分
因为， 所以..
要证，即证.
因，故又只要证.
令，则即证明.
令，，则.
这说明函数在区间上单调递减，所以，
即成立.
由上述分析可知成立. ……………… 12分
22.【解析】（Ⅰ）将点，的极坐标化为直角坐标，得和.
所以点的直角坐标为. ………………3分
将消去参数，得，即为曲线的普通方程. ………5分
数学试题（理）参考答案（共11页）第10页
（Ⅱ）解法一：直线的参数方程为 （为参数，为直线的倾斜角）
代入，整理得：.
设点、对应的参数值分别为、.则，
. ……………… 10分
解法二：过点作圆：的切线，切点为，
连接，因为点由平面几何知识得：
，
所以 . ———— 10分
23.【解析】（Ⅰ）当时，.
由，得，所以.
当时，.
由，得，所以.
综上，. ………………5分
（Ⅱ）因为，，所以，， 即，.
所以
，所以. ………………10分
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