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洛阳市2017—2018学年高中三年级第二次统一考试
数学试卷（理）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
2. 若复数满足为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
3. 在中，“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4. 若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．且，则 B．且，则
C．且，则 D．且，则
5. 在展开式中，含项的系数是（ ）
A． B． C． D．
6.数学家发现的“猜想”是指：任取一个自然数，如果它是欧式，我们就把除以2，如果它是奇数，我们就是它乘以3在加上1，在这样一个变换下，我们就得到一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的，则输出的结果为 （ ）
A． B． C． D．
7. 若满足约束条件，则的最小值于最大值的和为（ ）
A． B． C． D．
8. 如果一个三位数的各位数字互不相同，且各数字之和等于10，则称此三位数为“十全十美三位数”（如），任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
9. 设函数，已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10. 若锐角满足，则函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
11. 已知分别为双曲线的左右焦点，以为直径为圆与双曲线右支上的一个交点为，线段与双曲线的左支交于点，若点恰好平分线，则双曲线离心率为（ ）
A． B． C． D．
12. 已知函数，若成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若，则向量在向量 方向上的投影为 ．
14.已知的三个内角的对边分别为，面积为，若，
且，则的最大值为 ．
15.某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为 ．
16.已知直线与抛物线交于两点，过线段的中点作轴的垂线，交抛物线于点，若，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知等差数列的公差，且 成等比数列。
（1）求数列的通项公式；
（2）设是数列的前项和，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围。
18. 如图，在三棱锥中，为的中点。
（1）求证：；
（2）若，求二面角的余弦值。
19.某超市计划月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本每桶5元，售价每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部成立完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关，如果最高气温不低于25，需求量600桶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频数代替最高气温位于该区间的概率。
（1）六六月份这种冰激凌一天需求量X（单位：桶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种冰激凌的利润为Y（单位：元），当六月份这种冰激凌一天的进货量（单位：桶）为多少时，Y的数学期望取得最大值？
20. 如图，已知圆是椭圆的内接的内切圆，其中A为椭圆的左顶点，且。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作圆的两条切线角椭圆于两点，试判断直线与圆的位置关系并说明理由。
21.已知函数 。
（1）若曲线与直线相切，求实数的值；
（2）若函数有两个零点，证明。
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同，曲线的方程是，直线的参数方程为为参数，），设，直线与曲线交于两点。
（1）当时，求的长度；
（2）求的取值范围。
23.已知函数。
（1）若不等式恒成立，求实数的最大值；
（2）当时，函数有零点，求实数的取值范围。
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