相似三角形的判定
一课一练·基础闯关
题组一 利用两角分别相等判定两个三角形相似
1.如图,下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )
世纪金榜导学号67994040
A.∠ABD=∠ACB
B.∠ADB=∠ABC
C.AB2=AD·AC
D.=
【解析】选D.在△ADB和△ABC中,∠A是它们的公共角,那么当=时,才能使△ADB∽△ABC,不是=.
2.如图,在三角形ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,DE∥BC,那么△ABC中相似的三角形有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
【解析】选D.∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ACB.
又∵∠A=36°,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=72°.
又∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=36°,
∴△ABC∽△BDC,
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∴△BDC∽△AED.
又∠EDB=∠A=36°,
∴∠ABD=∠DBE,
∴△ABD∽△DBE,故共有4对相似的三角形.
3.(2017·深圳中考)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,在Rt△MPN中,∠MPN=90°,点P在AC上,PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时,AP=________. 世纪金榜导学号67994041
【解析】如图,作PQ⊥AB于点Q,PR⊥BC于点R,
由等量代换,易得∠QPE=∠RPF,∴△QPE∽△RPF.
∵PE=2PF,∴PQ=2PR=2BQ,
显然△AQP∽△ABC,
∴AQ∶QP∶AP=AB∶BC∶AC=3∶4∶5,
记PQ=4x,则AQ=3x,AP=5x,PR=BQ=2x,
AB=AQ+BQ=3x+2x=5x=3,解得x=,
∴AP=5x=5×=3.
答案:3
4.如图,△ABC内接于☉O,AD是△ABC的边BC上的高,AE是☉O的直径,连接BE,△ABE与△ADC相似吗?请证明你的结论. 世纪金榜导学号67994042
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【解析】△ABE与△ADC相似.证明如下:
在△ABE与△ADC中,
∵AE是☉O的直径,∴∠ABE=90°.
∵AD是△ABC的边BC上的高,
∴∠ADC=90°,∴∠ABE=∠ADC.
又∵同弧所对的圆周角相等,∴∠BEA=∠DCA.
∴△ABE∽△ADC.
【变式训练】
如图,弦AB和CD相交于☉O内一点P,求证:PA·PB=PC·PD.
【证明】连接AC,BD,
∴∠C=∠B,∠A=∠D,
∴△ACP∽△DBP,
∴=,∴PA·PB=PC·PD.
【知识归纳】证明等积式的思路
1.先把等积式转化成比例式.
2.应用三点定形法确定所需证明相似的三角形:
(1)横向定形:观察比例式的分子和分母,根据各自两条线段中不同的三个字母确定要证的三角形.
(2)纵向定形:等号左右两边的分子、分母所包含的不同的三个字母进行定形.
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(3)若出现四个字母或三个字母所表示的点在同一条直线上,则考虑通过相等的线段进行转化.
3.证明所确定的三角形相似.
5.(2017·宿迁中考)如图,在△ABC中,AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B,C重合),满足∠DEF=∠B,且点D,F分别在边AB,AC上. 世纪金榜导学号67994043
(1)求证:△BDE∽△CEF.
(2)当点E移动到BC的中点时,求证:FE平分∠DFC.
【证明】(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB,∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB,∵∠DEF=∠B,∴∠BDE=∠CEF,
∴△BDE∽△CEF.
(2)∵△BDE∽△CEF,∴=,
∵点E是BC的中点,∴BE=CE,
∴=,∵∠DEF=∠B=∠C,∴△DEF∽△ECF,
∴∠DFE=∠CFE,∴FE平分∠DFC.
题组二 直角三角形相似的判定
1.在△ABC和△A1B1C1中,∠A=∠A1=90°,添加下列条件不能判定两个三角形相似的是( )
A.∠B=∠B1 B.=
C.= D.=
【解析】选D.选项A,具备两角分别相等;选项B,具备两边成比例且夹角相等;选项C,具备斜边和一条直角边对应成比例;而选项D中,AB与B1C1不是对应边.
2.如图,已知∠ACB=∠CBD=90°,BC=a,AC=b,要使△CDB∽△ABC,则CD的长度为
( )
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A. B.
C. D.
【解析】选D.∵∠ACB=∠CBD=90°,
∴若使△CDB∽△ABC,须=,
∴=,∴CD=.
3.如图,在正方形ABCD中,点E是BC的中点,点F是CD上一点,且CF=CD,下列结论:①∠BAE=30°;
②△ABE∽△AEF;③AE⊥EF;
④△ADF∽△ECF.其中正确结论的个数为 世纪金榜导学号67994044( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.∵E为BC的中点,四边形ABCD为正方形,
∴BE=AB,∴∠BAE=30°错误.
∵∠B=∠C=90°,==,
∴△ABE∽△ECF,∴==,
∴∠BAE=∠CEF,
又∵∠BAE+∠BEA=90°,∴∠CEF+∠BEA=90°,
∴∠AEF=90°,∴△ABE∽△AEF,故②正确,③正确.
∵=,=.
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∴≠,∴④错误.
4.如图,AC⊥AB,BE⊥AB,AB=10,AC=2,用一块直角三角板进行如下操作:将直角顶点P在线段AB上滑动,一直角边始终经过点C,另一直角边与BE相交于点D,若BD=8,则AP的长为________. 世纪金榜导学号67994045
【解析】∵AC⊥AB,BE⊥AB,∴∠A=∠B=90°,
又∵∠CPD=90°,
∴∠APC+∠BPD=90°,而∠APC+∠ACP=90°,
∴∠BPD=∠ACP,∴△ACP∽△BPD,
∴=,设AP=x,则BP=10-x,∴=,
∴x1=2,x2=8.
答案:2或8
【变式训练】如图,在矩形ABCD中,AB=,AD=5,在AD上是否存在一点P,使
∠BPC=90°?如果存在,试求出AP的长;若不存在,请说明理由.
【解析】在AD上存在一点P,使∠BPC=90°.理由如下:
∵∠A=∠D=90°,当=时,△ABP∽△DPC,
∴∠APB=∠DCP,而∠DPC+∠DCP=90°,
∴∠APB+∠DPC=90°,∴∠BPC=90°,
设AP=x,则PD=5-x,∴=,∴x1=2,x2=3,
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∴当AP=2或3时,∠BPC=90°.
5.如图,在Rt△ACB和Rt△ADC中,∠B=∠ACD=90°,AD=8,AB=2,BC=2. 世纪金榜导学号67994046
求证:Rt△ACB∽Rt△ADC.
【证明】在Rt△ACB中,∠B=90°,AB=2,BC=2,
由勾股定理,得AC===4.
∵==,==,
∴=.
∴Rt△ACB∽Rt△ADC.
【知识归纳】关于图形的四个常用结论
(1)△ACD∽△ABC⇒=⇒AC2=AD·AB.
(2)△BCD∽△BAC⇒=⇒BC2=BD·BA.
(3)△ACD∽△CBD⇒=⇒CD2=AD·BD.
(4)⇒AC·BC=AB·CD.
在△ABC中,P为边AB上一点.
如图1,若∠ACP=∠B,求证:AC2=AP·AB.
世纪金榜导学号67994047
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【解析】∵∠ACP=∠B,∠CAP=∠BAC,∴△ACP∽△ABC,∴AC∶AB=AP∶AC,
∴AC2=AP·AB.
【母题变式】若M为CP的中点,AC=2,
①如图2,若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的长;
②如图3,若∠ABC=45°,∠A=∠BMP=60°,写出BP的长.
【解析】①如图,作CQ∥BM,交AB延长线于点Q,设BP=x,则PQ=2x.
∵BM∥CQ,∴∠PBM=∠Q,又∵∠PBM=∠ACP,
∴∠ACP=∠Q,又∵∠PAC=∠CAQ,
∴△APC∽△ACQ,∴=,
即AC2=AP·AQ,所以22=(3-x)(3+x),∴x=,
即BP=.
②如图,作CQ⊥AB于点Q,作CP0=CP交AB于点P0,
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∵AC=2,∴AQ=1,CQ=BQ=,设AP0=a,则P0Q=PQ=1-a,BP=-1+a,∵∠BPM=∠CP0A,∠BMP=∠CAP0,
∴△AP0C∽△MPB,∴=,∴MP·P0C=P0C2==AP0·BP=a(-1+a),解得a=-,∴BP=-1+-=-1.
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