秘密★启用前
数学（文科）测试试题卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名考号填写在答题卡上；
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效；
3.考试结束后，将答题卡交回。
一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则=( )
A． B． C． D．
2.已知复数满足（是虚数单位），则=( )
A． B． C． D．
3.“为真命题”是“为真命题”( ) 的条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
4.若，，，则实数的大小关系为（ ）
A. B． C． D．
5.已知直线，直线为，若则( )
A．或 B． C． D．或
6.轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
7.设函数，则（ ）
A.为的极大值点 B．为的极小值点
C.为的极大值点 D．为的极小值点
8.设实数满足约束条件，则的取值范围是( )
A. B． C. D．
9.执行右面的程序框图，若输出的的值为63，则判断框中可以填入的关于的判断条件是（ ）
A． B． C． D．
10.将函数图像向左平移个单位后图像关于点中心对称，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
11.直线是抛物线在点处的切线，点是圆上的动点，则点 到直线的距离的最小值等于( )
A. B. C. D.
12. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是( ）
A. B. C. D.
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.双曲线的渐近线方程是 .
14.平面向量的夹角为，且，则____
15.已知是等差数列，，且．若，则的前项和 .
16.给出下列4个命题：
①若函数在在上有零点，则一定有；
②函数既不是奇函数又不是偶函数；
③若函数的值域为，则实数的取值范围是；
④若函数满足条件则的最小值为．
其中正确命题的序号是： . (写出所有正确命题的序号)
三．解答题：本大题共6小题，共70分.
17.（本小题满分12分）中，内角对应的边分别为，满足.
（Ⅰ）已知求与的值；
（Ⅱ）若且求.
18.（本小题满分12分）改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图表示体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．
（Ⅰ）从2007年至2016年这十年中随机选出一年，求该年体育产业年增加值比前一年多亿元以
上的概率；
（Ⅱ）从2007年至2011年这五年中随机选出两年，求至少有一年体育产业年增长率超过25%的概率；
（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）
19.（本小题满分12分）如图，是边长为的等边三角形，四边形为正方形，平面⊥平面.点分别为棱上的点，且，为棱上一点，且.
（Ⅰ）当时，求证：∥平面；
（Ⅱ）已知三棱锥的体积为，求的值.
20.（本小题满分12分）如图，是离心率为的椭圆的左、右顶点，是该椭圆的左、右焦点，是直线上两个动点，连接和，它们分别与椭圆交于点两点，且线段恰好过椭圆的左焦点. 当时，点恰为线段的中点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）判断以为直径的圆与直线位置关系，并加以证明．
21.（本小题满分12分）设函数，对于，都有成立.
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）证明：（其中是自然对数的底数）.
选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程.
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线,.
（Ⅰ）求与交点的直角坐标；
（Ⅱ）若直线与曲线,分别相交于异于原点的点,求的最大值.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲.
设函数.
（Ⅰ）若存在，使得，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若是中的最大值，且正数满足，证明：.
答案
一．选择题。
1-5 CBAAA 6-10 CDDCB 11-12CA
二． 填空题。
16.④
三． 解答题
17.解：，因为，且，
所以，所以..……………（4分）
（Ⅰ）因为，，所以
，
....……………（6分）
由正弦定理知：，即..……………（8分）
（Ⅱ）因为，所以，所以，所以..……（12分）
18.解：（Ⅰ）设表示事件“从2007年至2016年这十年中随机选出一年，该年体育产业年增加值比前一年多亿元以上”．
根据题意，． ..……………（3分）
（Ⅱ）从2007年至2011年这五年中有两年体育产业年增长率超过25%，设这两年为，，其它三年设为，，，从五年中随机选出两年，共有10种情况：
，，，，，，，，，，其中至少有一年体育产
业年增长率超过25%有７种情况，所以所求概率为. ..……………（8分）
（Ⅲ）从年或年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．..…（10分）
从年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． ..……………（12分）
19.解：（Ⅰ）连接，当时，，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵，∴，∵，，
∴平面平面，又平面，∴平面..……………（6分）（Ⅱ）取的中点为，连接，则，
∵平面平面，∴平面.
过点作于点，连接，则平面,则...……………………（8分）
...……………………（10分） ...……………………（12分）
20.解：（Ⅰ）∵当时，点恰为线段的中点，
∴，又，联立解得：，，，……………（3分）
∴椭圆的方程为.………………………………（4分）
（Ⅱ）由题意可知直线不可能平行于轴，设的方程为：，（）、（），
联立得：
∴，
∴……（*） ………………………………（6分）
又设，由A、E、D三点共线得，
同理可得. ……………（8分）
∴. ………………………………（10分）
设中点为，则坐标为（）即（），
∴点到直线的距离.
故以为直径的圆始终与直线相切. ………………………………（12分）
21.解：（Ⅰ）∵，
∴当时，由，得，由，得，∴在上单调递增，在上单调递减..…………………………（3分）
∵，都成立，∴.
由（Ⅰ）知，当时，，由，得.∴.∴的取值范围是..………………………………（5分）
（Ⅱ）当时，，即.
∴.∴当时，.
令，则.且时，..…………………………（8分）
∴，∴..………（10分）
恒成立..………………（12分）
22.解：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为曲线的直角坐标方程为.由解得或 故与交点的直角坐标为，.………………………………（5分）
（Ⅱ）不妨设，点的极坐标分别为
所以…………………………7分
所以当时，取得最大值.………………………………10分
23.解：（Ⅰ）
存在，使得
.………………………………（5分）
（Ⅱ）由知:
当且仅当时取“=”.………………………………（10分）
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