2018年衡阳市八中高二下学期3月份六科联赛
数学（文科）试题
命题人：吕建设 审题人：彭源
请注意：本试卷总分100分，时量120分钟；附加题23,24为479班学生必做题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题的四个选项中只有一个是符合题目要求）
1．已知集合，则
A. B. C. D.
2．函数的定义域为
A． B． C． D．
3．已知，且，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
4．函数的值域为
A． B． C． D．
5．同时满足下列三个条件的函数为
①在上是增函数；②为上的奇函数；③最小正周期为．
A． B． C． D．
6．设，则
A． B． C． D．
7．不等式组所围成的平面区域的面积为
A． B． C． D．
8．已知三个实数满足，则实数的大小关系为
A． B． C． D．
9.函数的图象可能是
A. B. C. D.
10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为
A. B. C. D.
11.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为
A. B. C. D.
12． 设函数是定义在上的偶函数，且，当时， ，若在区间内关于的方程有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
非选择题部分
二、 填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分. 将答案填写在题中横线上)
13．已知向量， ， ，若，则实数的值为
14.的值是
15．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦
图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直
角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率
为
16.已知.对任意的时，不等式恒成立，则
三、解答题(本大题共6个小题，共52分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题8分)
已知集合， ， ，全集为实数集．
（）求和．
（）若，求实数的范围．
18.(本小题8分)
下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分）.已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75.
（）求的值；（直接写出结果，不必写过程）
（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率.
19．(本小题8分)
如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，、分别为、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
20.(本小题9分)
已知数列满足：，.
（1）求及通项；
（2）设是数列的前项和，则数列，，，…中哪一项最小？并求出这个最小值.
21．(本小题9分)
已知圆以坐标原点为圆心且过点，为平面上关于原点对称的两点，已知的坐标为，过作直线交圆于两点.
（1） 求圆的方程;
（2） 求面积的取值范围.
22.(本小题10分)
已知函数.
（1）解不等式；
（2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
（3）若函数，其中为奇函数， 为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
2018年衡阳市八中高二下学期3月份
数学（文科）试题
命题人：吕建设 审题人：彭源
请注意：本试卷总分100分，时量120分钟；附加题23,24为479班学生必做题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题的四个选项中只有一个是符合题目要求）
1．已知集合，则
A. B. C. D.
2．函数的定义域为
A． B． C． D．
3．已知，且，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
4．函数的值域为
A． B． C． D．
5．同时满足下列三个条件的函数为
①在上是增函数；②为上的奇函数；③最小正周期为．
A． B． C． D．
6．设，则
A． B． C． D．
7．不等式组所围成的平面区域的面积为
A． B． C． D．
8．已知三个实数满足，则实数的大小关系为
A． B． C． D．
9.函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为
A. B. C. D.
11.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为
A. B. C. D.
12． 设函数是定义在上的偶函数，且，当时，
，若在区间内关于的方程有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
D
A
A
B
C
C
D
D
D
非选择题部分
二、 填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分. 将答案填写在题中横线上)
13．已知向量， ， ，若，则实数的值为 -5
14.的值是 0
15．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦
图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直
角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率
为
16.已知.对任意的时，不等式恒成立，则 1
三、解答题(本大题共6个小题，共52分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题8分)
已知集合， ， ，全集为实数集．
（）求和．
（）若，求实数的范围．
）， ， ，
所以， ,
则.
（），所以．
18.(本小题8分)
下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分）.已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75.
(1)求的值；（直接写出结果，不必写过程）
(2)若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率.
(1) ；
(2)甲队中成绩不低于80的有 80，82，88；乙队中成绩不低于80的有 80，86，88，89，甲尧乙两队各随机抽取一名袁基本事件总数为，其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有.条件总数为，所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为.
19．(本小题9分)
如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，、分别为、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
（2）取中点为，连，由于且，所以四边形是平行四边形，故平面，所以平面；（3）因为，所以。
20.(本小题9分)
已知数列满足：，.
（1）求及通项；
（2）设是数列的前项和，则数列，，，…中哪一项最小？并求出这个最小值.
解析： 数列 满足： ， ，即数列 为等差数列且公差为 ， 通项 （II）令 可解得 ， 数列 的前 项为负值，从第 项开始为正数， 数列 中 最小
21.(本小题9分)
已知函数.
（1）解不等式；
（2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
（3）若函数，其中为奇函数， 为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
（1）原不等式即为，
设t=2x，则不等式化为t﹣t2＞16﹣9t，
即t2﹣10t+16＜0，解得2＜t＜8，
即2＜2x＜8，
∴1＜x＜3
∴原不等式的解集为（1，3）．
（2）函数在上有零点，
所以在上有解，
即在有解．
设，
∵，
∴，
∴当时， ；当时， ．
∴．
∵在有解
∴
故实数m的取值范围为．
（3）由题意得，
解得．
由题意得，即
对任意恒成立，
令，则．
则得对任意的恒成立，
∴对任意的恒成立，
因为在上单调递减，
∴．
所以．
∴实数的取值范围．
22．(本小题9分)
已知圆以坐标原点为圆心且过点，为平面上关于原点对称的两点，已知的坐标为，过作直线交圆于两点.
（1） 求圆的方程;
（2） 求面积的取值范围.
(1）因为圆心坐标为且圆过，所以圆的半径，所以圆的方程为.……………4分
（2）因为关于坐标原点对称所以
当垂直轴时，三点构不成三角形所以斜率一定存在
设，所以到的距离
……8分
.…………12分
23.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).
(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.
解(1)曲线C的普通方程为+y2=1.
当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.
由解得
从而C与l的交点坐标为(3,0),.
(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cosθ,sinθ)到l的距离为d=.
当a≥-4时,d的最大值为.由题设得,所以a=8;
当a
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