2018年衡阳市八中高二3月份六科联赛试题
理科数学
命题人:徐五洲、刘 喜 审题人:彭 韬
请注意:时量120分钟,满分100分
一、单选题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.命题“,”的否定是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
3.已知非零实数、满足,则下列不等式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
4.以平面直角坐标系的坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的圆心的平面直角坐标是( )
A. B. C. D.
5.直线(为参数)的倾斜角为( )
A. B. C. D.
6.“” 是“方程表示双曲线”的( )条件
A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要
7.参数方程(为参数)的曲线必过点( )
A. B. C. D.
8.命题“已知为实数,若,则中至少有一个等于”,在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )
A. B. C. D.
9.已知,则的最小值为( )
A. B. C. D.
10.若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.用数学归纳法证明,则当时,左端应在的基础上加上( )
A. B.
C. D.
12.已知为正实数,①若,则;②若,则;
③若,则;④若,则;上述命题中正确的是( )
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上)
13.若不等式的解集为,则实数的值为__________.
14.椭圆的离心率是__________.
15.已知是圆上的一个动点,则的最大值是__________.
16.已知集合,若对于任意,存在,使得成立,则称集合是“好集合”. 给出下列个集合:
①;②;③; ④. 其中所有“好集合”的序号是:_______________.
三、解答题(本大题共52分,解答题应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分8分)已知集合,,分别求适合下列条件的的值.
(1);
(2).
18.(本小题满分8分)在直角坐标系中,以原点为极点,以轴正半轴为极轴,
圆的极坐标方程为.
(1)将圆的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)过点作斜率为的直线,直线与圆交于两点,试求的值.
19.(本小题满分8分)设命题实数满足,其中;命题实数满足.
(1)若,且为真,求实数的取值范围;
(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
20.(本小题满分8分)设函数.
(1)解关于的不等式;
(2)若实数满足,求的最小值.
21.(本小题满分10分)以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度. 已知圆的参数方程是(为参数),直线的极坐标方程是.
(1)求圆的极坐标方程;
(2)过圆上任意一点作与夹角为的直线,交于点,求的最大值与最小值.
22.(本小题满分10分)已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若对恒成立,求实数的取值范围.