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文科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.下列命题正确的是（ ）
A．命题“若，则”的逆否命题为真命题
B．命题“若，则”的逆命题为真命题
C．命题“”的否定是“”
D．“”是“”的充分不必要条件
3.已知，则（ ）
A．-3 B． C． D．3
4.已知向量在向量方向上的投影为2，且，则 （ ）
A．-2 B．-1 C. 1 D．2
5.若点为圆上的一个动点，点为两个定点，则的最大值是 （ ）
A．2 B． C. 4 D．
6.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵中，，则阳马的外接球的表面积是 （ ）
A． B． C. D．
7.完成下列表格，据此可猜想多面体各面内角和的总和的表达式是（ ）
多面体
顶点数
面数
棱数
各面内角和的总和
三棱锥
4
6
四棱锥
5
5
五棱锥
6
（说明：上述表格内，顶点数指多面体的顶点数.）
A． B． C. D．
8. 甲、乙二人约定7:10在某处会面，甲在7：00-7：20内某一时刻随机到达，乙在7：05-7：20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是（ ）
A． B． C. D．
9.执行如图所示的程序框图，如果输入的是10，则与输出结果的值最接近的是（ ）
A． B． C. D．
10.在中，点为边上一点，若，则的面积是（ ）
A． B． C. D．
11.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是（ ）
A． B． C. D．
12.若对于，且，都有，则的最大值是（ ）
A． B． C. 0 D．-1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13.若复数，则复数的模是 ．
14.已知是定义在上周期为4的函数，且，当时，，则 ．
15.如图，点在轴的非负半轴上运动，点在轴的非负半轴上运动.且.设点位于轴上方，且点到轴的距离为，则下列叙述正确的个数是_________.
①随着的增大而减小；
②的最小值为，此时；
③的最大值为，此时；
④的取值范围是.
16.若双曲线的左焦点为，右顶点为，为的左支上一点，且，则的离心率是 ．
三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 已知等比数列中，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.如图，在多面体中，四边形为菱形，，且平面平面.
（1）求证：；
（2）若，求多面体的体积.
19.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）需再收5元.
该公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：
包裹件数范围
包裹件数（近似处理）
50
150
250
350
450
天数
6
6
30
12
6
（1）某人打算将三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；
（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？
20.已知椭圆过点，且两个焦点的坐标分别为.
（1）求的方程；
（2）若（点不与椭圆顶点重合）为上的三个不同的点，为坐标原点，且，求所在直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值.
21. 已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若不等式对于任意成立，求正实数的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数，），将曲线经过伸缩变换：得到曲线.
（1）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，求的极坐标方程；
（2）若直线（为参数）与相交于两点，且，求的值.
23. 【选修4-5：不等式选讲】
已知函数.
（1）若的最小值不小于3，求的最大值；
（2）若的最小值为3，求的值.
试卷答案
一、选择题
1-5: CADDB 6-10: BACBA 11、12：BC
二、填空题
13. 2 14. -1 15. 2 16. 4
三、解答题
17.解：（1）设等比数列的公比为，则，
因为，所以，
因为，解得，
所以；
（2），
设，则，
.
18. （1）证明：
连接，由四边形为菱形可知，
∵平面平面，且交线为，
∴平面，∴，
又，∴，
∵，∴平面，
∵平面，∴；
（2）解：，由（1）知平面，又，∴平面，
则，
取的中点，连接，则，
由（1）可知，∴平面，
则，
所以，即多面体的体积为.
19.解：（1）由题意，寄出方式有以下三种可能：
情况
第一包裹
第二个包裹
甲支付的总快递费
礼物
重量（）
快递费（元）
礼物
重量（）
快递费（元）
1
0.3
10
3.3
25
35
2
1.8
15
1.8
15
30
3
1.5
15
2.1
20
35
所有3种可能中，有1种可能快递费未超过30元，根据古典概型概率计算公式，所示概率为；
（2）将题目中的天数转化为频率，得
包裹件数范围
包裹件数（近似处理）
50
150
250
350
450
天数
6
6
30
12
6
频率
0.1
0.1
0.5
0.2
0.1
若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数（近似处理）
50
150
250
350
450
实际揽件数
50
150
250
350
450
频率
0.1
0.1
0.5
0.2
0.1
平均揽件数
故公司平均每日利润的期望值为（元）；
若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数（近似处理）
50
150
250
350
450
实际揽件数
50
150
250
300
300
频率
0.1
0.1
0.5
0.2
0.1
平均揽件数
故公司平均每日利润的期望值为（元）
故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.
20.解：（1）由已知得，
∴，则的方程为；
（2）设代入得
，
设，则，
，
设，由，得
，
∵点在椭圆上，∴，即，∴，
在中，令，则，令，则.
∴三角形面积，
当且仅当时取得等号，此时，
∴所求三角形面积的最小值为.
21.解：（1）函数的定义域为，
，
若，则
当或时，单调递增；
当时，单调递减，
若，则
当时，单调递减；
当时，单调递增.
综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增.
（2）原题等价于对任意，有成立，
设，所以，
，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
为与中的较大值，
设，
则，
所以在上单调递增，故，所以，
从而，
所以，即，
设，则，
所以在上单调递增，
又，所以的解为，
因为，所以正实数的取值范围为.
22.解：（1）的普通方程为，
把代入上述方程得，，
∴的方程为，
令，
所以的极坐标方程为；
（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，
由，得，
由，得，
而，∴，
而，∴或.
23.解：（1）因为，所以，解得，即；
（2），
当时，，所以不符合题意，
当时，，即，
所以，解得，
当时，同法可知，解得，
综上，或-4.
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