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理科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知单元素集合，则（ ）
A． 0 B． -4 C． -4或1 D．-4或0
2. 某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（ ）
A．6种 B． 12种 C．18种 D．24种
3. 已知函数，若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4.在平行四边形中，点为的中点，与的交点为，设，则向量 （ ）
A． B． C. D．
5.已知抛物线，过点的直线与相交于两点，为坐标原点，若，则的取值范围是 （ ）
A． B． C. D．
6.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵中，，则阳马的外接球的表面积是 （ ）
A． B． C. D．
7. 若满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
8. 执行如图所示的程序框图，如果输入的是10，则与输出结果的值最接近的是（ ）
A． B． C. D．
9.在中，点为边上一点，若，则的面积是（ ）
A． B． C. D．
10.某市1路公交车每日清晨6：30于始发站A站发出首班车，随后每隔10分钟发出下一班车.甲、乙二人某日早晨均需从A站搭乘该公交车上班，甲在6：35-6：55内随机到达A站候车，乙在6：50-7：05内随机到达A站候车，则他们能搭乘同一班公交车的概率是 （ ）
A． B． C. D．
11.如图，中，，若其顶点在轴上运动，顶点在轴的非负半轴上运动.设顶点的横坐标非负，纵坐标为，且直线的倾斜角为，则函数的图象大致是 （ ）
A． B．
C. D．
12. 定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）
A． -1 B． C. D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13.在复平面内，复数对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是 ．
14.已知，则 ．
15.过双曲线的右焦点，且斜率为2的直线与的右支有两个不同的公共点，则双曲线离心率的取值范围是 ．
16.一个正方体的三视图如图所示，若俯视图中正六边形的边长为1，则该正方体的体积是 ．
三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 已知等比数列中，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：
包裹重量（单位：）
1
2
3
4
5
包裹件数
43
30
15
8
4
公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：
包裹件数范围
包裹件数（近似处理）
50
150
250
350
450
天数
6
6
30
12
6
以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.
（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在之间的概率；
（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？
19.如图，在多面体中，四边形为菱形，，且平面平面.
（1）求证：；
（2）若，求二面角的余弦值.
20.已知椭圆过点，且两个焦点的坐标分别为.
（1）求的方程；
（2）若为上的三个不同的点，为坐标原点，且，求证：四边形的面积为定值.
21. 已知函数.
（1）当时，若函数恰有一个零点，求的取值范围；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数，
），将曲线经过伸缩变换：得到曲线.
（1）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，求的极坐标方程；
（2）若直线（为参数）与相交于两点，且，求的值.
23. 【选修4-5：不等式选讲】
已知函数.
（1）若的最小值不小于3，求的最大值；
（2）若的最小值为3，求的值.
试卷答案
一、选择题
1-5: DBDCB 6-10: BABCA 11、12：AC
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）设等比数列的公比为，则，
因为，所以，
因为，解得，
所以；
（2），
设，则，
.
18.解：（1）样本中包裹件数在之间的天数为48，频率，
故可估计概率为，
显然未来3天中，包裹件数在之间的天数服从二项分布，
即，故所求概率为；
（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：
包裹重量（单位：）
1
2
3
4
5
快递费（单位：元）
10
15
20
25
30
包裹件数
43
30
15
8
4
故样本中每件快递收取的费用的平均值为（元），
故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.
②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加（元），
将题目中的天数转化为频率，得
包裹件数范围
包裹件数（近似处理）
50
150
250
350
450
天数
6
6
30
12
6
频率
0.1
0.1
0.5
0.2
0.1
若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数（近似处理）
50
150
250
350
450
实际揽件数
50
150
250
350
450
频率
0.1
0.1
0.5
0.2
0.1
故公司平均每日利润的期望值为（元）；
若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数（近似处理）
50
150
250
350
450
实际揽件数
50
150
250
300
300
频率
0.1
0.1
0.5
0.2
0.1
故公司平均每日利润的期望值为（元）
因，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.
19.（1）证明：
连接，由四边形为菱形可知，
∵平面平面，且交线为，
∴平面，∴，
又，∴，
∵，∴平面，
∵平面，∴；
（2）解：设，过点作的平行线，
由（1）可知两两互相垂直，
则可建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
所以，
设平面的法向量为，则，即，
取，则为平面的一个法向量，
同理可得为平面的一个法向量.
则，
又二面角的平面角为钝角，则其余弦值为.
20.解：（1）由已知得，
∴，则的方程为；
（2）当直线的斜率不为零时，可设代入得：
，
设，则，
，
设，由，得
，
∵点在椭圆上，∴，即，∴，
，
原点到直线的距离为.
∴四边形的面积：.
当的斜率为零时，四边形的面积，
∴四边形的面积为定值.
21.解：（1）函数的定义域为，
当时，，所以，
①当时，时无零点，
②当时，，所以在上单调递增，
取，则，
因为，所以，此时函数恰有一个零点，
③当时，令，解得，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
要使函数有一个零点，则即，
综上所述，若函数恰有一个零点，则或；
（2）令，根据题意，当时，恒成立，又，
①若，则时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符题意.
②若，则时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符题意.
③若，则时，恒有，故在上是减函数，于是“对任意，都成立”的充要条件是，即，解得
，故.
综上，的取值范围是.
22.解：（1）的普通方程为，
把代入上述方程得，，
∴的方程为，
令，
所以的极坐标方程为；
（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，
由，得，
由，得，
而，∴，
而，∴或.
23.解：（1）因为，所以，解得，即；
（2），
当时，，所以不符合题意，
当时，，即，
所以，解得，
当时，同法可知，解得，
综上，或-4.
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