2018年普通高等学校招生全国统一考试
（包头市第一次模拟考试）
理科数学
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
3.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则该竹子最上面一节的容积为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
4.若，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5.已知，则（ ）
A． B． C． D．
6.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7.若双曲线：的离心率为，一条渐近线的倾斜角为，则的值（ ）
A．大于 B．等于
C．小于 D．不能确定，与，的具体值有关
8.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）
A． B． C． D．
9.现有张牌（1）、（2）、（3）、（4），每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母。现在规定：当牌的一面为字母时，它的另一面必须写数字.你的任务是：为检验下面的张牌是否有违反规定的写法，你翻且只翻看哪几张牌就够了（ ）
A．翻且只翻（1）（4） B．翻且只翻（2）（4）
C．翻且只翻（1）（3） D．翻且只翻（2）（3）
10.如图，在正方形中，，分别是，的中点，是的中点，沿，，将正方形折起，使，，重合于点，构成四面体，则在四面体中，给出下列结论：①平面；②；③平面；④；⑤平面平面.其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．②④⑤
11.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.已知是圆的直径，是圆的弦上一动点，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.某人随机播放甲、乙、丙、丁首歌曲中的首，则甲、乙首歌曲至少有首被播放的概率是 ．
14.设函数，，为图象的对称轴，为的零点，且的最小正周期大于，则 ．
15.设数列的前项和为，若，，，则 ．
16.在平面直角坐标系中，双曲线的左支与焦点为的抛物线交于，两点.若，则该双曲线的离心率为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17.在中，内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求的值；
（2）若，，求的面积.
18.如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
19.某地区对一种新品种小麦在一块试验田进行试种.从试验田中抽取株小麦，测量这些小麦的生长指标值，由测量结果得如下频数分布表：
生长指标值分组
频数
（1）在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；
（2）求这株小麦生长指标值的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）由直方图可以认为，这种小麦的生长指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
①利用该正态分布，求；
②若从试验田中抽取株小麦，记表示这株小麦中生长指标值位于区间的小麦株数，利用①的结果，求.
附：.
若，则，
.
20.已知，是椭圆：的左右两个焦点，，长轴长为，又，分别是椭圆上位于轴上方的两点，且满足.
（1）求椭圆的方程；
（2）求四边形的面积.
21.已知函数，.
（1）若时，求函数的最小值；
（2）若，证明：函数有且只有一个零点；
（3）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22题和第23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）若时，求与的交点坐标；
（2）若上的点到距离的最大值为，求.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数，.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集包含，求的取值范围.
2018年普通高等学校招生全国统一考试
（包头市第一次模拟考试）
数学（理科）参考答案
一、选择题
1-5: ADCDB 6-10: CBBAC 11、12：DD
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）由正弦定理，设，
则.
由题设条件，得，
整理得.
又，
所以，即.
（2）由余弦定理，可知
，①
由（1）可知，②
由，再联立①②求得，，
，，
所以.
18.解：（1）由已知得，
取的中点，连接，，
由为的中点知，，
又，故，
所以四边形为平行四边形，于是，
平面，平面，
所以平面.
（2）取的中点，连接.
由得，从而，
且.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意知，，，，，
，，.
设为平面的法向量，则，
即，可取.
设为平面的法向量，
则，即，可取.
于是，
.
所以二面角的正弦值为.
19.解：（1）画图.
（2）抽取小麦的生长指标值的样本平均数和样本方差分别为
，
.
（3）①由（1）知，从而
.
②由①知，一株小麦的生长指标值位于区间的概率为，
依题意知，
所以.
20.解：（1）由题意知，，所以，.
所以，椭圆的方程为.
（2）设，，又，，
所以，，
由，得，.
延长交椭圆于，
因为，所以，且.
所以线段为的中位线，即为线段的中点，
所以.
设直线的方程为，
代入椭圆方程得，，即.
所以，，
消去，得，依题意取.
.
21.解：（1）当时，，
所以.
令，得，当时，；
当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，有最小值.
（2）由，得，
所以当时，，
函数在上单调递减，所以当时，在上最多有一个零点.
因为当时，，，
所以当时，函数在上有零点.
综上，当时，函数有且只有一个零点.
（3）由（2）知，当时，在上最多有一个零点.
因为有两个零点，所以.
由，得.
令，
因为，，所以在上只有一个零点，
设这个零点为，
当时，，；
当时，，；
所以函数在上单调递减；在上单调递增.
要使函数在上有两个零点，只需要函数的极小值，即.
因为，
所以
，
可得，
又因为在上是增函数，且，
所以，，
由，得，
所以，即.
以下验证当时，函数有两个零点.
当时，，，
所以.
因为，且，
所以函数在上有一个零点.
又因为（因）.
且，所以在上有一个零点.
所以当时，函数在内有两个零点.
综上，实数的取值范围是.
22.解：（1）曲线的普通方程为，
当时，直线的普通方程为，
由，解得，或，
从而与的交点坐标为，.
（2）直线的普通方程为，
设的参数方程为（为参数），
则上的点到的距离为
.
当时，的最大值为，
由题设得，所以，
当时，的最大值为，
由题设得，所以，
综上，或.
23.解：（1）当时，不等式等价于，①
当时，①式化为，无解；
当时，①式化为，得；
当时，①式化为，得.
所以的解集为.
（2）当时，，
所以的解集包含，等价于时.
又在上的最大值为.
所以，即，得.
所以的取值范围为.
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