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高考模拟考试
文科数学
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.若命题“或”与命题“非”都是真命题，则（ ）
A．命题与命题都是真命题
B．命题与命题都是假命题
C．命题是真命题，命题是假命题
D．命题是假命题，命题是真命题
3.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4.下列曲线中离心率为的是（ ）
A． B． C． D．
5.若，，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
6.已知变量，满足约束条件，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则（ ）
A．为奇函数，在上单调递减 B．为偶函数，在上单调递增
C．周期为，图象关于点对称 D．最大值为1，图象关于直线对称
8.如图，在正方体中，为的中点，则在该正方体各个面上的正投影可能是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
9.函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
10.执行如图所示的程序框图，当输入时，输出的结果为（ ）
A．-1008 B．1009 C．3025 D．3028
11.已知双曲线：的两条渐近线是，，点是双曲线上一点，若点到渐近线距离是3，则点到渐近线距离是（ ）
A． B．1 C． D．3
12. 设，分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，满足，，，则 ．
14.如图，茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员的5次训练成绩（单位：环），则成绩较为稳定的那位运动员成绩的方差为 ．
15.在平面四边形中，，，，，则线段的长度为 ．
16.一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.记为数列的前项和，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，分别为线段，的中点.
（1）证明：平面；
（2）若平面，，求四面体的体积.
19. 2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品.图1是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.
表1：设备改造后样本的频数分布表
质量指标值
频数
4
36
96
28
32
4
（1）完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；
设备改造前
设备改造后
合计
合格品
不合格品
合计
（2）根据图1和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；
（3）根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利180元，一件不合格品亏损 100元，用频率估计概率，则生产1000件产品企业大约能获利多少元？
附：
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
20.如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线：上，直线：与抛物线交于，两点，且直线，的斜率之和为-1.
（1）求和的值；
（2）若，设直线与轴交于点，延长与抛物线交于点，抛物线在点处的切线为，记直线，与轴围成的三角形面积为，求的最小值.
21.设函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记的最小值为，证明：.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线相交于，两点，求的值.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
2018年济南市高三教学质量检测
文科数学参考答案
一、选择题
1-5: CDCDB 6-10: ADBCB 11、12：AD
二、填空题
13. 14. 2 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）由，得
当时，；
当时，.
所以.
（2），
所以
.
18.（1）证明：连接、，交于点，
∵为线段的中点，，，∴，
∴四边形为平行四边形，
∴为的中点，又是的中点，
∴，
又平面，平面，
∴平面.
（2）解法一：由（1）知，四边形为平行四边形，∴，
∵四边形为等腰梯形，，，
∴，∴三角形是等边三角形，∴，
做于，则，
∵平面，平面，∴平面平面，
又平面平面，，平面，
∴平面，∴点到平面的距离为，
又∵为线段的中点，∴点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，即，又，
∴.
解法二：，平面，平面，∴平面，
∴点到平面的距离等于点到平面的距离，
做于点，由，知三角形是等边三角形，∴，
∵平面，平面，∴平面平面，
又平面平面，，平面，
∴平面，∴点到平面的距离为，
又为线段的中点，∴，
∴.
18.如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，分别为线段，的中点.
（1）证明：平面；
（2）若平面，，求四面体的体积.
19.解：（1）根据图1和表1得到列联表：
设备改造前
设备改造后
合计
合格品
172
192
364
不合格品
28
8
36
合计
200
200
400
将列联表中的数据代入公式计算得：
.
∵，
∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.
（2）根据图1和表1可知，设备改造后产品为合格品的概率约为，设备改造前产品为合格品的概率约为；即设备改造后合格率更高，因此，设备改造后性能更好.
（3）用频率估计概率，1000件产品中大约有960件合格品，40件不合格品，
，所以该企业大约获利168800元.
20.解：（1）将点代入抛物线：，得，
，得，
设，，则，，
解法一：，
由已知得，所以，.
解法二：，
由已知得.
（2）在直线的方程中，令得，，
直线的方程为：，即，
由，得，
解得：，或，所以，
由，得，，切线的斜率，
切线的方程为：，即，
由，得直线、交点，纵坐标，
在直线，中分别令，得到与轴的交点，，
所以，，，
当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；
∴当时，最小值为.
21.解：（1）的定义域为，
，
当时，，在上单调递增；
当时，当，，单调递减；
当，，单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，，
即.
解法一：，，
∴单调递减，
又，，所以存在，使得，
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
∴，又，即，，
∴，令，则在上单调递增，
又，所以，∴.
解法二：要证，即证，即证：，
令，则只需证，
，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
所以，即.
22.【解析】
（1）由已知得：，消去得，
∴化为一般方程为：，
即：：.
曲线：得，，即，整理得，
即：：.
（2）把直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程中得：
，即，
设，两点对应的参数分别为，，则，
∴
.
23.【解析】
（1）当时，，∴，故；
当时，，∴，故；
当时，，∴，故；
综上可知：的解集为.
（2）由（1）知：，
【解法一】
如图所示：作出函数的图象，
由图象知，当时， ，解得：，
∴实数的取值范围为.
【解法二】
当时，恒成立，∴，
当时，恒成立，∴，
当时，恒成立，∴，
综上，实数的取值范围为.
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