一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
复数．
故选：D
2．已知集合，,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
∵A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{﹣1，1}；
∴∁AB＝{0，2，3}．
故选：C．
3．函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，定义域为，，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除两个选项.，排除D选项，故选A.
4．已知向量与向量的模均为2，若，则它们的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
∵，
∴，∴，
故选A.
5．已知点为双曲线上一点，则它的离心率为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
将的坐标代入双曲线方程得，解得，故，所以离心率为，故选B.
6．在中，分别是所对的边，若，，，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由余弦定理知， ，即，由正弦定理知 解得,因为，所以， ，故选D.
7．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就.“更相减损术”便出自其中，原文记载如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.”其核心思想编译成如示框图，若输入的，分别为45，63，则输出的为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．9
【答案】D
【解析】
通过阅读可以知道，这是利用更相减损术求45，63的最大公约数，63，45的最大公约数是9.也可以按照循环结构来求解，如下表：
循环次数
a
b
初始
45
63
第一次
45
18
第二次
27
18
第三次
9
18
第四次
9
9
第五次
输出a=9
因此本题选D.
8．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．记这5部专著分别为，其中产生于汉、魏、晋、南北朝时期．从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有，共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为．故选D．
9．已知函数的图象向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍得函数的图象，则下列区间为的单调递增区间的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
函数，向左平移个单位长度，
可得
再把所得图象上每个点横坐标伸长为原来的2倍得函数的图象，
，
令2kπ≤2kπ，k∈Z，
当k＝0时，函数y＝g（x）的一个单调递增区间为：[，]．
故选：A．
10．已知高为3的正三棱柱的每个顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设三棱柱的底面边长为a，则此三棱柱的外接球的半径，
又由已知有，
所以，
联立得：，
分别取BC、、的中点E、F、G，
连接GF、EF、EG，
因为，，
则或其补角为异面直线与所成角，
又易得：，，
在中，由余弦定理得：
，又为锐角
即异面直线与所成角的余弦值为，
故选：B．
11．已知抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|=2，过点P作抛物线准线的垂线交准线于点Q，则|FQ|=（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】
不妨设点P在x轴的上方，设P（x1，y1），∵|PF|=2，∴x1+=2，∴x1=
∴y1=，∴Q（-，），∵F（，0），∴|FQ|==2，
故选：B．
12．若函数，函数有两个零点，则k的值是（ ）
A．0或 B．0或 C．0或1 D．
【答案】C
【解析】
由得，当时，，
则当时，，
，
，，则，此时为减函数，且，
当时，，
作出函数的图象如图，要使与有两个不同的交点，则或1，
故选：C．
非选择题部分（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.
13．曲线在处的切线方程是_____________
【答案】
【解析】
求导函数可得y，
当时，y，
∴曲线在点 处的切线方程为
即答案为．
14．若满足约束条件，则的最大值是_____．
【答案】5
【解析】
作出约束条件表示的可行域如图，
化目标函数z＝x+2y为，
联立 ，解得A（1，2），
由图可知，当直线z＝x+2y过点（1，2）时，z取得最大值5．
故答案为：5．
15．已知，满足，，则等于__________.
【答案】
【解析】
,又，可得，即，
则
故答案为：
16．已知圆锥的顶点为，底面圆周上的两点、满足为等边三角形，且面积为，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的表面积为_____________.
【答案】
【解析】
因为等边面积为，所以，
因为轴截面的面积为8，所以，
从而圆锥的表面积为
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17．已知等比数列的各项均为正数，且，，数列的前项和为.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）设等比数列的公比
即，
解得：或 ，
又的各项为正，，故
（Ⅱ）设，数列前n项和为.
由解得.
.,
.
18．一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货.今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，云南空运来的百合花每支进价1.6元，本地供应商处百合花每支进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的需求量（单位：支）依次为：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.
（Ⅰ）求今年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；
（Ⅱ）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，百合花进货价格与售价均不变，请根据（Ⅰ）中频率分布直方图判断（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率），微店每天从云南固定空运250支，还是255支百合花，四月后20天百合花销售总利润会更大？
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）四月后20天总利润更大
【解析】
（Ⅰ）四月前10天订单中百合需求量众数为255，
平均数
频率分布直方图补充如下：
（Ⅱ）设订单中百合花需求量为（支），由（Ⅰ）中频率分布直方图，
可能取值为235，245，255，265，相应频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，
∴20天中相应的天数为2天，6天，8天，4天.
①若空运250支
，当日利润为，
，当日利润为，
，当日利润为，
，当日利润为，
20天总利润为元.
②若空运255支
，当日利润为，
，当日利润为，
，当日利润为，
，当日利润为，
20天总利润为元.
∵，∴每天空运250支百合花四月后20天总利润更大.
19．如图，正方体的棱长为2，分别是和的中点．
（1）求证：平面．
（2）求M到平面的距离．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）证明：连接，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又平面，平面，
∴平面．
（2）解：连接，
则，
又，
∴，∴．
∴，
设M到平面的距离为d，则，
∴．即M到平面的距离为．
20.已知点在椭圆上，，是长轴的两个端点，且．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知点，过点的直线与椭圆的另一个交点为，若点总在以为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
（Ⅰ）由已知可得，解得，
又点在椭圆上，即，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）设，当直线垂直于轴时，点在以为直径的圆上，不合题意，
因此设直线的方程为，
代入椭圆方程消去得，
则有，即，，
且判别式，即，又点总在以为直径的圆内，
所以必有，即有，
将，代入得，解得，
所以满足条件的直线的斜率的取值范围是．
21．设函数.
(1)若是的极值点，求的值.
(2)已知函数，若在区间（0,1）内有零点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1），，
因为是的极值点，所以，解得
(2)，
.
①当时，
恒成立，单调递减，又
因此函数在区间内没有零点.
②当时，单调递增
时，单调递减
又，因此要使函数在区间内有零点，必有，
所以
解得，舍去
③当时，，，单调递减
又，因此要使函数在区间内有零点，必有，
解得满足条件
综上可得，的取值范围是（-）
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为：.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线相交于，两点，当到直线的距离最大时，求.
【答案】（1）；（2）16.
【解析】
（1）曲线：，
即：.
∴曲线的标准方程为：.
（2）设，当到直线的距离最大时，，故.
∴的参数方程为（为参数），
将直线的参数方程代入得：.
∴，
∴.
23．已知函数的最小值为.
（1）求；
（2）若正实数，，满足，求证：.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
（1），
由于函数y=,是减函数，y=,是减函数，y=，是增函数，
故当时，取得最小值.
（2）
.
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