一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
复数．
故选：D
2．已知集合，，若，则实数的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由，，所以，因为,，
所以,
故选D.
3．函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，定义域为，
，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除两个选项.，排除D选项，故选A.
4．已知向量与向量的模均为2，若，则它们的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
∵，
∴，∴，
故选A.
5．已知点为双曲线上一点，则它的离心率为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
将的坐标代入双曲线方程得，解得，故，所以离心率为，故选B.
6．在中，角的对边分别为，已知，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由正弦定理得，由于，故上式化简得，由于是三角形内角，故.由余弦定理得，故，所以三角形的面积为.故选B.
7．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就.“更相减损术”便出自其中，原文记载如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.”其核心思想编译成如示框图，若输入的，分别为45，63，则输出的为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．9
【答案】D
【解析】
通过阅读可以知道，这是利用更相减损术求45，63的最大公约数，63，45的最大公约数是9.也可以按照循环结构来求解，如下表：
循环次数
a
b
初始
45
63
第一次
45
18
第二次
27
18
第三次
9
18
第四次
9
9
第五次
输出a=9
因此本题选D.
8．中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则名同学所有可能的选择有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】D
【解析】
(1)若甲选《春秋》，则有种情况；
(2)若甲不选《春秋》，则有种情况；
所以名同学所有可能的选择有种情况.
故选D
9．已知函数的图象向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍得函数的图象，则下列区间为的单调递增区间的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
函数，向左平移个单位长度，
可得
再把所得图象上每个点横坐标伸长为原来的2倍得函数的图象，
，
令2kπ≤2kπ，k∈Z，
当k＝0时，函数y＝g（x）的一个单调递增区间为：[，]．
故选：A．
10．已知高为3的正三棱柱的每个顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设三棱柱的底面边长为a，则此三棱柱的外接球的半径，
又由已知有，
所以，
联立得：，
分别取BC、、的中点E、F、G，
连接GF、EF、EG，
因为，，
则或其补角为异面直线与所成角，
又易得：，，
在中，由余弦定理得：
，又为锐角
即异面直线与所成角的余弦值为，
故选：B．
11．若函数，函数有两个零点，则k的值是（ ）
A．0或 B．0或 C．0或1 D．
【答案】C
【解析】
由得，当时，，
则当时，，
，
，，则，此时为减函数，且，
当时，，
作出函数的图象如图，要使与有两个不同的交点，则或1，
故选：C．
12．已知直线l：x-y+3=0和点A（0，1），抛物线y=x2上一动点P到直线l和点A的距离之和的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图所示，过点P作PB⊥l，垂足为点B，
过点P作PC垂直于抛物线的准线m：x=-1，垂足为点C，
易知抛物线的焦点为点A（0，1），
则点P到A的距离等于点P到抛物线的准线m：x=-1的距离，及|PA|=|PC|，
则|PA|+|PB|=|PC|+|PB|，
将直线l的方程与抛物线的方程联立，消去y得，x2-4x-12=0，解得 或，
则直线l交抛物线于点M（-2，1）和点N（6，9）．
问题为求|PB|+|PC|的最小值，当点P位于点M时，
|PB|+|PC|取得最小值，且最小值为点M到直线m的距离为2．
故选：A．
非选择题部分（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.
13．若曲线在处切线的斜率为2，则实数的值为____.
【答案】
【解析】
由题意，函数的导数为，
当时，，令，解得.
故答案为.
14．若满足约束条件，则的最大值是_____．
【答案】5
【解析】
作出约束条件表示的可行域如图，
化目标函数z＝x+2y为，
联立 ，解得A（1，2），
由图可知，当直线z＝x+2y过点（1，2）时，z取得最大值5．
故答案为：5．
15．在平面直角坐标系中,角的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边交单位圆于点,且,则的值是______.
【答案】
【解析】
∵在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆O于点P（a，b），
∴由任意角的三角函数的定义得，sinα＝b，cosα＝a．
∵，可得：sinα+cosα，
∴两边平方可得：sin2α+cos2α+2sinαcosα，可得：1+2sinαcosα，解得：2sinαcosα，
∴sin2α＝﹣2sinαcosα．
故答案为：．
16．已知圆锥的顶点为，底面圆周上的两点、满足为等边三角形，且面积为，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的表面积为_____________.
【答案】
【解析】
因为等边面积为，所以，
因为轴截面的面积为8，所以，
从而圆锥的表面积为
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17．已知等比数列的各项均为正数，且，，数列的前项和为.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）设等比数列的公比
即，
解得：或 ，
又的各项为正，，故
（Ⅱ）设，数列前n项和为.
由解得.
.,
.
18．一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货.今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，云南空运来的百合花每支进价1.6元，本地供应商处百合花每支进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的需求量（单位：支）依次为：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.
（Ⅰ）求今年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；
（Ⅱ）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，百合花进货价格与售价均不变，请根据（Ⅰ）中频率分布直方图判断（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率），微店每天从云南固定空运250支，还是255支百合花，四月后20天百合花销售总利润会更大？
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）四月后20天总利润更大
【解析】
（Ⅰ）四月前10天订单中百合需求量众数为255，
平均数
频率分布直方图补充如下：
（Ⅱ）设订单中百合花需求量为（支），由（Ⅰ）中频率分布直方图，
可能取值为235，245，255，265，相应频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，
∴20天中相应的天数为2天，6天，8天，4天.
①若空运250支
，当日利润为，
，当日利润为，
，当日利润为，
，当日利润为，
20天总利润为元.
②若空运255支
，当日利润为，
，当日利润为，
，当日利润为，
，当日利润为，
20天总利润为元.
∵，∴每天空运250支百合花四月后20天总利润更大.
19．已知点在椭圆上，，是长轴的两个端点，且．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知点，过点的直线与椭圆的另一个交点为，若点总在以为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
（Ⅰ）由已知可得，解得，
又点在椭圆上，即，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）设，当直线垂直于轴时，点在以为直径的圆上，不合题意，
因此设直线的方程为，
代入椭圆方程消去得，
则有，即，，
且判别式，即，又点总在以为直径的圆内，
所以必有，即有，
将，代入得，解得，
所以满足条件的直线的斜率的取值范围是．
20．如图，三棱柱中，，，，且平面⊥平面.
（1）求三棱柱的体积.
（2）点在棱上，且与平面所成角的余弦值为（），求的长．
【答案】（1）1；（2）
【解析】
（1）如图，在平面内过作与交于点，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，所以为与平面所成角，
由公式，解得，
所以，，
又的面积为，所以三棱柱的体积为.
（2）由（1）得在中，为中点，连接，
由余弦定理得，解得，
所以，（或者利用余弦定理求）
以为坐标原点，以分别为轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以
设，设平面的法向量为，
则，即，不妨令，则，即.
，
又因为与平面所成角的余弦值为，
所以，
解得或，
又因为，所以.
21．已知函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性；
(Ⅱ)设，若对任意的，恒成立，求的取值范围.
【答案】(Ⅰ) (1)若，在上单调递增；(2)若，在上单调递增；在上单调递减； (Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ) ,
(1)若，则，函数在上单调递增；
(2)若，由得；由得
函数在上单调递增；在上单调递减.
(Ⅱ)由题设，对任意的恒成立
即对任意的恒成立
即对任意的恒成立 ,
由(Ⅰ)可知，
若，则，不满足恒成立,
若，由(Ⅰ)可知，函数在上单调递增；在上单调递减.
，又恒成立
，即,
设，则
函数在上单调递增，且，
，解得
的取值范围为 .
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为：.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线相交于，两点，当到直线的距离最大时，求.
【答案】（1）；（2）16.
【解析】
（1）曲线：，
即：.
∴曲线的标准方程为：.
（2）设，当到直线的距离最大时，，故.
∴的参数方程为（为参数），
将直线的参数方程代入得：.
∴，
∴.
23．已知函数的最小值为.
（1）求；
（2）若正实数，，满足，求证：.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
（1），
由于函数y=,是减函数，y=,是减函数，y=，是增函数，
故当时，取得最小值.
（2）
.
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