一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z=（i是虚数单位），则复数z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
复数z=
复数的虚部为．故选：A．
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由题，求得集合，所以
故选D
3．某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如图所示的折线图年收入的各种用途占比统计如图所示的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为
A．100000元 B．95000元 C．90000元 D．85000元
【答案】D
【解析】
由已知得，2017年的就医费用为元，
年的就医费用为元，
该教师2018年的家庭总收入元．
故选：D．
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=3S2，a7=15，则{an}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
根据题意，设等差数列的公差为，
由题意得，即，解得．
故选B．
5．已知点在曲线上移动，设曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意，函数，则，
因为，所以，即，
又因为，结合正切函数的图象与性质，可得，故选C.
6．已知是两个单位向量，且夹角为，则与数量积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意：
当时，最小值为：
本题正确选项：
7．《九章算木》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形，该“阳马”的体积为，若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由正视图，侧视图可知，底面长方形的长，宽分别为4，2，
故四棱锥的高为，
所以外接球的直径为，
所以．
故选：D．
8．已知抛物线：的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，若，的中点在轴上的射影分别为，，且，则抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设AF,FB的中点分别为D,E,则|AB|=2|DE|,
由题得|DE|=所以|DE|=8,所以|AB|=16，
设，则，
联立直线和抛物线的方程得，
所以，
所以抛物线的准线方程为x=-3.
故选：C
9．已知函数，且，则不等式的解集为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
函数，可知时，，
所以，可得解得．
不等式即不等式，
可得：或，
解得：或，即
故选：C．
10．我国魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰写《九章算术注》．这篇注记内提出了数学史上著名的“割圆术”．在“割圆术”中，用到了下图（圆内接一个正六边形），如果我们在该圆中任取一点，则该点落在弓形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设圆的半径为R，则，
，
设事件A为“在该圆中任取一点，则该点落在弓形内“，
由几何概型中的面积型可得：
，
故选：D．
11．已知双曲线的焦距为，若点与点到直线的距离之和为，且，则离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
直线l的方程为是，即bx-ay﹣ab＝0．
由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离 ，
同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离．，S＝+．
由S，即得•a≥2c2．
于是得4e4﹣25e2+25≤0．
解不等式，得 ．
由于e＞1，
所以e的取值范围是 e∈．
故选：D．
12．棱长为4的正方体的顶点在平面内，平面与平面所成的二面角为，则顶点到平面的距离的最大值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图所示，AC的中点为O，C1O⊥α，
垂足为E，则C1E为所求，∠AOE＝30°
由题意，设CO＝x，则AO＝4x，
C1O，OEOA＝2x，
∴C1E2x，
令y2x，
则y′0，可得x，
∴x，顶点C1到平面α的距离的最大值是2（）．
故选：B．
非选择题部分（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.
13．设变量，满足约束条件，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
画出可行域，如图阴影部分所示:
表示（x,y）与A（-2，0）连线的斜率，由题可知当经过点B时斜率最大，此时点B为方程组的解，，解得B（1，2），故的最大值为
故答案为
14．已知等比数列的前项和为，且，，则______．
【答案】
【解析】
等比数列的前n项和为，且，，
由等比数列的性质得：
，
解得，
．
故答案为：．
15．若二项式展开式的常数项为，则实数的值为__________．
【答案】
【解析】
二项式展开式的通项为，
，
令，得，
常数项为，
，得，故答案为.
16．已知函数在上恰有一个最大值点和两个零点，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
由题意，函数，；
由，得；
又在上恰有一个最大值点和两个零点，
则，解得，所以的取值范围是
故答案为：
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17．已知在中，内角的对边分别为，为锐角，且满足.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若,的面积为，求.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）∵， ∴
由∴
∵为锐角， ∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∵的面积为，∴ （1）
由余弦定理得：
∴ （2）
由（1）、（2）解得
18．如图所示，在等腰梯形ABCD中，，，E，F为AB的三等分点，且将和分别沿DE、CF折起到A、B两点重合，记为点P．
证明：平面平面PEF；
若，求PD与平面PFC所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
，，四边形CDEF是平行四边形，，
≌，，，
，，，，
，面PEF，
面PFC，平面平面PEF．
在平面PEF内作，垂足为O，取CD的中点M，
由知平面PEF，故FC，平面CDEF，，，
，，，，，OF，OM两两垂直，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，是等边三角形，
0，，0，，2，，2，，
0，，2，，2，，
设y，是平面PFC的法向量，
则，取，得0，，
设PD与平面PFC所成角为，
则，
与平面PFC所成角的正弦值为．
19．为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记X表示学生的考核成绩，并规定X≥85为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图．
（1）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
（2）从图中考核成绩满足X[70，79]的学生中任取3人，设Y表示这3人重成绩满足≤10的人数，求Y的分布列和数学期望．
【答案】（1）（2），分布列见解析
【解析】
（1）设该名学生考核成绩优秀为事件，由茎叶图中的数据可以知在30名同学的成绩中，优秀的为：85,89,90,90,91,92,93，共有7名同学，
所以，
所以可估计这名学生考核优秀的概率为．
（2）由题意可得的所有可能取值为，
因为成绩的学生共有8人，其中满足的学生有人，
所以，
，
，
．
所以随机变量的分布列为
所以，
即数学期望为．
20．已知椭圆的离心率为，下顶点为，为椭圆的左、右焦点，过右焦点的直线与椭圆交于两点，且的周长为.
（I）求椭圆的方程；
(II)经过点的直线与椭圆交于不同的两点 (均异于点)，试探求直线与的斜率之和是否为定值，证明你的结论.
【答案】（I）；(II) 证明见解析.
【解析】
（Ⅰ）由题设知，
由椭圆的定义知：的周长为，解得.
故因此，所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）由题设知，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，
此时，则.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，得.
由题意知，因此设，
则，
故有直线的斜率之和为
即直线的斜率之和为定值2.
21．已知函数，且时有极大值.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若为的导函数，不等式（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值.（注：）.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.
【解析】
（Ⅰ）由，因为在时f(x)有极大值，
所以，从而得或，
时，，此时，当时，，当时，
，∴在时f(x)有极小值，不合题意，舍去；
时，，此时，符合题意.
∴所求的.
（Ⅱ）由（1）知，所以等价于等价于
，即，
记，则,
由，得x＞k+1，所以在(0,k+1)上单调递减，在(k+1,+∞)上单调递增，
所以，
对任意正实数恒成立，等价于，
即，
记因为在(0,+∞)上单调递减，又，，∵，∴k=1,2,3,4， 故k的最大值为4.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于两点，求；若点M是曲线C的动点，求面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）,
【解析】
（1）由得，可得．
（2）将代入到
得，
设对应的参数分别为，
∴，
∴．
又因为直线l的普通方程为，设，
点M到直线的距离，
∴．
23．已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）当时，，
即=，
不等式即为或或，
即有或或，
则为或，
所以不等式的解集为{ 或}；
（2）
又
若恒成立，则
即或
解得： 或
∴实数的取值范围是.
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