2018年聊城市高考模拟试题
理科数学（一）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.设复数，则（ ）
A．4 B．2 C． D．1
3.设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（ ）
A． B． C． D．
5.设等比数列的各项均为正数，其前项和为，则“”是“数列是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.已知直线与抛物线：相交于，两点，若线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7.已知函数，不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8.已知双曲线：的右焦点到渐近线的距离为4，且在双曲线上到的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线的左焦点的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1.5，则输入的值应为（ ）
A．4.5 B．6 C．7.5 D．9
10.在中，边上的中线的长为2，点是所在平面上的任意一点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．-2 D．-1
11.如图是某几何体的三视图，其中俯视图为等边三角形，正视图为等腰直角三角形，若该几何体的各个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积与该几何体的体积的比为（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.设，满足约束条件，则的最大值为 ．
14.某工厂从生产的一批产品中随机抽出一部分，对这些产品的一项质量指标进行了检测，整理检测结果得到如下频率分布表：
质量指标分组
频率
0.1
0.6
0.3
据此可估计这批产品的此项质量指标的方差为 ．
15.的展开式中常数项为 ．
16.若函数在开区间内，既有最大值又有最小值，则正实数的取值范围为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17.已知数列满足，.
（Ⅰ）证明：是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和.
18.
某教育培训中心共有25名教师，他们全部在校外住宿.为完全起见，学校派专车接送教师们上下班.这个接送任务承包给了司机王师傅，正常情况下王师傅用34座的大客车接送教师.由于每次乘车人数不尽相同，为了解教师们的乘车情况，王师傅连续记录了100次的乘车人数，统计结果如下：
乘车人数
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
频数
2
4
4
10
16
20
16
12
8
6
2
以这100次记录的各乘车人数的频率作为各乘车人数的概率.
（Ⅰ）若随机抽查两次教师们的乘车情况，求这两次中至少有一次乘车人数超过18的概率；
（Ⅱ）有一次，王师傅的大客车出现了故障，于是王师傅准备租一辆小客车来临时送一次需要乘车的教师.可供选择的小客车只有20座的型车和22座的型车两种，型车一次租金为80元，型车一次租金为90元.若本次乘车教师的人数超过了所租小客车的座位数，王师傅还要付给多出的人每人20元钱供他们乘出租车.以王师傅本次付出的总费用的期望值为依据，判断王师傅租哪种车较合算？
19.如图，四棱锥中，为等边三角形，且平面平面，，，.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值.
20.已知圆经过椭圆：的两个焦点和两个顶点，点，，是椭圆上的两点，它们在轴两侧，且的平分线在轴上，.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）证明：直线过定点.
21.已知函数.
（Ⅰ）讨论函数在内的单调性；
（Ⅱ）若存在正数，对于任意的，不等式恒成立，求正实数的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的普通方程为.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
（Ⅰ）写出圆的参数方程和直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与轴和轴的交点分别为、，为圆上的任意一点，求的取值范围.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数，.
（Ⅰ）若对于任意，都满足，求的值；
（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
2018年聊城市高考模拟
理科数学（一）答案
一、选择题
1-5: ACBDC 6-10: DADBC 11、12：CA
二、填空题
13. 4 14. 144 15. 672 16.
三、解答题
17.解：（Ⅰ）∵，∴，
∵，∴，
∴，∴是以2为首项，2为公比的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ），可知，∴.
∴
.
∴.
18.解：（Ⅰ）由题意得，在一次接送中，乘车人数超过18的概率为0.8.
记“抽查的两次中至少有一次乘车人数超过18”为事件，则
.
即抽查的两次中至少有一次乘车人数超过18的概率为0.96.
（Ⅱ）设表示租用型车的总费用（单位：元），则的分布列为
80
100
120
140
160
180
0.56
0.16
0.12
0.08
0.06
0.02
.
设表示租用型车的总费用（单位：元），则的分布列为
90
110
130
150
0.84
0.08
0.06
0.02
.
因此以王师傅本次付出的总费用的期望值为依据，租型车较合算.
19.证明：（Ⅰ）取的中点为，连接，，
∵为等边三角形，∴.
底面中，可得四边形为矩形，∴，
∵，∴平面，
∵平面，∴.
又，所以.
（Ⅱ）由面面，，∴平面，
可得，，两两垂直，又直线与平面所成角为，即，
由，知，得.
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，
设平面的一个法向量为.
∴，令，则，
设平面的一个法向量为，
∴，令，则，
，
∵二面角为钝角，∴二面角的余弦值为.
20.解：（Ⅰ）圆与轴交点即为椭圆的焦点，圆与轴交点即为椭圆的上下两顶点，所以，.从而，
因此椭圆的方程为：.
（Ⅱ）设直线的方程为.
由，消去得.
设，，则，.
直线的斜率；
直线的斜率.
.
由的平分线在轴上，得.又因为，所以，
所以.
因此，直线过定点.
21.解：（Ⅰ），，
当时，因为，所以，这时在内单调递增.
当时，令得；令得.
这时在内单调递减，在内单调递增.
综上，当时，在内单调递增，
当时，在内单调递减，在内单调递增.
（Ⅱ）①当时，因为在内单调递增，且，所以对于任意的，.这时可化为，即.
设，则，
令，得，因为，所以在单调递减.又因为，所以当时，，不符合题意.
②当时，因为在内单调递减，且，所以存在，使得对于任意的都有.这时可化为，
即.
设，则.
（i）若，则在上恒成立，这时在内单调递减，
又因为，所以对于任意的都有，不符合题意.
（ii）若，令，得，这时在内单调递增，又因为，所以对于任意的，都有，
此时取，对于任意的，不等式恒成立.
综上，的取值范围为.
22.解：（Ⅰ）圆的参数方程为（为参数）.
直线的直角坐标方程为.
（Ⅱ）由直线的方程可得点，点.
设点，则.
.
由（Ⅰ）知，则.
因为，所以.
23.解：（Ⅰ）因为，，所以的图象关于对称.
又的图象关于对称，所以，所以.
（Ⅱ）等价于.
设，
则.
由题意，即.
当时，，，所以；
当时，，，所以，
综上.
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