东北三省三校2018届高三数学一模试卷(理科带答案)
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资料简介
www.ks5u.com 哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学 ‎2018年高三第一次联合模拟考试 理科数学试卷 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数的模为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知集合,,若,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.从标有1、2、3、4、5的五张卡片中,依次抽出2张,则在第一次抽到奇数的情况下,第二次抽到偶数的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.中心在原点,焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点,则它的离心率为( )‎ A. B.2 C. D.‎ ‎6.展开式中的常数项是( )‎ A. B. C.8 D.‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的的值是( )‎ A. B. C.1 D.3 ‎ ‎8.已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是,则该函数的一个单调增区间为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.辗转相除法是欧几里德算法的核心思想,如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法,若输入,,则输出的值为( )‎ A.148 B.37 C.333 D.0‎ ‎10.底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图,半球内有一内接正四棱锥,该四棱锥的侧面积为,则该半球的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知抛物线,直线与抛物线交于,两点,若以为直径的圆与轴相切,则的值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.在,,,是边上的两个动点,且,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.在中,,,,则______________.‎ ‎14.若满足约束条件,则的最大值为______________.‎ ‎15.甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科、、,已知:‎ ‎①甲不在哈尔滨工作,乙不在长春工作;②在哈尔滨工作的教师不教学科;‎ ‎③在长春工作的教师教学科;④乙不教学科.‎ 可以判断乙教的学科是______________.‎ ‎16.已知函数,是函数的极值点,给出以下几个命题:‎ ‎①;②;③;④;‎ 其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号)‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17.已知正项数列满足:,其中为数列的前项和.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎18.某商场按月订购一种家用电暖气,每销售一台获利润200元,未销售的产品返回厂家,每台亏损50元,根据往年的经验,每天的需求量与当天的最低气温有关,如果最低气温位于区间,需求量为100台;最低气温位于区间,需求量为200台;最低气温位于区间,需求量为300台。公司销售部为了确定11月份的订购计划,统计了前三年11月份各天的最低气温数据,得到下面的频数分布表:‎ 最低气温(℃)‎ 天数 ‎11‎ ‎25‎ ‎36‎ ‎16‎ ‎2‎ 以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率.‎ (1) 求11月份这种电暖气每日需求量(单位:台)的分布列;‎ (2) 若公司销售部以每日销售利润(单位:元)的数学期望为决策依据,计划11月份每日订购200台或250台,两者之中选其一,应选哪个?‎ ‎19.如图,四棱锥中,平面平面,且,底面为矩形,点、、分别为线段、、的中点,是上的一点,.直线与平面所成的角为.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)设,求二面角的余弦值.‎ ‎20.已知椭圆过抛物线的焦点,,分别是椭圆的左、右焦点,且.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若直线与抛物线相切,且与椭圆交于,两点,求面积的最大值.‎ ‎21.已知函数,,.‎ ‎(1)当时,若对任意均有成立,求实数的取值范围;‎ ‎(2)设直线与曲线和曲线相切,切点分别为,,其中.‎ ‎①求证:;‎ ‎②当时,关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎22.已知曲线的极坐标方程为:,以极点为坐标原点,以极轴为轴 的正半轴建立直角坐标系,曲线的参数方程为:(为参数),点.‎ ‎(1)求出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程;‎ ‎(2)设曲线与曲线相交于,两点,求的值.‎ ‎23.已知不等式.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若不等式的解集为,求的范围. ‎ ‎2018年三省三校一模考试(数学理科)答案 一.选择题:CABBA BDABD CA 二.填空题:‎ ‎13.1 14. 15.C 16. ①③‎ 三.解答题:‎ ‎17. (本题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)令,得,且,解得. ‎ 当时,,即, ‎ 整理得,,, ‎ 所以数列是首项为3,公差为2的等差数列,‎ 故. ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知:, ‎ ‎. ‎ ‎18.(本题满分12分)‎ 解:(1)由已知X的可能取值为100,200,300‎ ‎ X的分布列为 X ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ P ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎ ‎ ‎(2) 由已知 ‎①当订购200台时,‎ E((元)‎ ‎② 当订购250台时,‎ E(‎ ‎(元)‎ 综上所求,当订购台时,Y的数学期望最大,11月每日应订购250台。‎ ‎19.(本题满分12分)‎ ‎.解:(Ⅰ)取中点,连接,交于点,连接,则.‎ 因为平面平面,所以平面,,.‎ 方法一:因为,,所以,所以.‎ 又,,所以,所以∽,‎ 所以,所以.且,所以平面.‎ 方法二:取中点,连接,交于点,连接,则.‎ 因为平面平面,所以平面,,.‎ 又因为,,所以,所以.‎ 以点为原点,射线、、方向为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系.‎ 设,,则,,,,‎ 于是,.‎ 所以,所以,且,所以平面 ‎ ‎(Ⅱ)取中点,连接,交于点,连接,则.‎ 因为平面平面,所以平面,‎ ‎,.‎ 以点为原点,射线、、方向为轴、轴、轴的正方向,‎ 建立空间直角坐标系.‎ 设,则,,‎ ‎,,,‎ 于是,,.‎ 设平面的一个法向量为,则,‎ 从而,令,得.‎ 而平面的一个法向量为.‎ 所以 ‎ ‎20.(本题满分12分)‎ ‎.解: (Ⅰ),又,.又,‎ 椭圆的标准方程为. ‎ ‎(Ⅱ)设直线与抛物线相切于点,则,即,‎ 联立直线与椭圆,消去,整理得.‎ 由,得.‎ 设,则:. ‎ 则 原点到直线的距离.‎ 故面积,‎ 当且仅当,即取等号,‎ 故面积的最大值为1. ‎ ‎21.(本题满分12分)‎ 解(Ⅰ):当时:‎ 由知:‎ 依题意:对恒成立 设 当时;当时, ‎ 设 当时;当时,‎ 故:实数k的取值范围是 ‎ ‎(Ⅱ)由已知:,‎ ‎①:由得:‎ ‎ 由得:‎ ‎ 故 ‎,,,故:‎ ‎ ‎ ‎②:由①知:,且 由得:,‎ 设 在为减函数,‎ 由得:‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ 22.解:(本小题满分10分)‎ ‎(Ⅰ)‎ 的直角坐标方程为:‎ 的普通方程为 ‎(Ⅱ)将 得:‎ ‎ ‎ 由的几何意义可得:‎ ‎23.(本小题满分10分)‎ ‎(Ⅰ)当时:不等式为:‎ 等价于:: ‎ 解得::‎ 所以:不等式的解集为: ‎ ‎(Ⅱ)设函数=‎ 设函数过定点(0,-1)‎ 画出的图像, ‎ ‎(,6)‎ ‎(,6)‎ ‎ ‎ ‎(0,-1)‎ 由数形结合得的范围是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2018年三省三校一模考试(数学理科)答案 一.选择题:CABBA BDABD CA 二.填空题:‎ ‎13.1 14. 15.C 16. ①③‎ 三.解答题:‎ ‎17. (本题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)令,得,且,解得. ……1分 当时,,即, ‎ 整理得,,, ……4分 所以数列是首项为3,公差为2的等差数列,‎ 故. …….6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知:, ……9分 ‎. ……12分 ‎18.(本题满分12分)‎ 解:(1)由已知X的可能取值为100,200,300‎ ‎ X的分布列为 X ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ P ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎ …….4分 ‎(2) 由已知 ‎ ①当订购200台时,‎ ‎ E((元)‎ ‎ …….7分 ‎ ② 当订购250台时,‎ ‎ E(‎ ‎ (元)‎ ‎ …….11分 综上所求,当订购台时,Y的数学期望最大,11月每日应订购250台。‎ ‎ …….12分 ‎19.(本题满分12分)‎ ‎.解:(Ⅰ)取中点,连接,交于点,连接,则.‎ 因为平面平面,所以平面,,.‎ 方法一:因为,,所以,所以.‎ 又,,所以,所以∽,‎ 所以,所以.且,所以平面.‎ 方法二:取中点,连接,交于点,连接,则.‎ 因为平面平面,所以平面,,.‎ 又因为,,所以,所以.‎ 以点为原点,射线、、方向为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系.‎ 设,,则,,,,‎ 于是,.‎ 所以,所以,且,所以平面 ……6分.‎ ‎(Ⅱ)取中点,连接,交于点,连接,则.‎ 因为平面平面,所以平面,‎ ‎,.‎ 以点为原点,射线、、方向为轴、轴、轴的正方向,‎ 建立空间直角坐标系.‎ 设,则,,‎ ‎,,,‎ 于是,,. ……8分.‎ 设平面的一个法向量为,则,‎ 从而,令,得.‎ 而平面的一个法向量为. ……10分. ‎ 所以 ……12分. ‎ ‎20.(本题满分12分)‎ ‎.解: (Ⅰ),又,.又 ‎,‎ ‎ 椭圆的标准方程为. ……3分 ‎(Ⅱ)设直线与抛物线相切于点,则,即,‎ 联立直线与椭圆,消去,整理得.‎ 由,得. ‎ 设,则:. ……6分 则 ……8分 原点到直线的距离. ……9分 故面积,‎ 当且仅当,即取等号,‎ 故面积的最大值为1. ……12分 ‎21.(本题满分12分)‎ 解(Ⅰ):当时:‎ 由知:‎ 依题意:对恒成立 ……1分 设 当时;当时, ……3分 设 ……5分 当时;当时, ‎ 故:实数k的取值范围是 ……6分 ‎(Ⅱ)由已知:,‎ ‎①:由得:‎ ‎ 由得:‎ ‎ 故 ……8分 ‎,,,故: ……9分 ‎ ‎ ‎②:由①知:,且 ‎ 由得:,‎ ‎ 设 ‎ ‎ ‎ 在为减函数,‎ ‎ ……11分 ‎ 由得:‎ ‎ ‎ ‎ 又 ……12分 ‎ 22.解:(本小题满分10分)‎ ‎(Ⅰ)‎ 的直角坐标方程为: ……3分 的普通方程为 ……5分 ‎(Ⅱ)将 得:‎ ‎ ……8分 由的几何意义可得: ……10分 ‎23.(本小题满分10分)‎ ‎(Ⅰ)当时:不等式为:‎ 等价于:: ……3分 解得::‎ 所以:不等式的解集为: ……5分 ‎(Ⅱ)设函数= ‎ ‎ ‎ 设函数过定点(0,-1) ……7分 画出的图像, ……8分 ‎(,6)‎ ‎(,6)‎ ‎ ‎ ‎(0,-1)‎ 由数形结合得的范围是 ……10分 ‎ ‎

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