河北省唐山市2018届高三年级第一次模拟考试数学（理）试题Word版含答案.doc

www.ks5u.com 唐山市2017-2018学年度高三年级第一次模拟考试 理科数学试卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2.设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.两个单位向量，的夹角为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.用两个，一个，一个，可组成不同四位数的个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是（ ）‎ A．求 B．求 C．求 D．求 ‎8.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知为双曲线：的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点.若，则的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 已知函数，则下列关于的表述正确的是（ ）‎ A．的图象关于轴对称 B．，的最小值为 C．有个零点 D．有无数个极值点 ‎12.已知，，，是半径为的球面上的点，，，点在上的射影为，则三棱锥体积的最大值是（ ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 设，满足约束条件，则的最小值是 ．‎ ‎14.的展开式中，二项式系数最大的项的系数是 ．（用数字作答）‎ ‎15. 已知为抛物线上异于原点的点，轴，垂足为，过的中点作轴的平行线交抛物线于点，直线交轴于点，则 ．‎ ‎16.在中，角，，的对边分别为，，，边上的高为，若，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.已知数列为单调递增数列，为其前项和，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若，为数列的前项和，证明：.‎ ‎18.某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤元，成本为每公斤元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失元.根据以往的销售情况，按，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于公斤，而另一天日销售量低于公斤的概率；‎ ‎（2）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值.‎ ‎（i）求日需求量的分布列；‎ ‎（ii）该经销商计划每日进货公斤或公斤，以每日利润的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货公斤还是公斤？‎ ‎19.如图，在三棱柱中，平面平面，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若是正三角形，，求二面角的大小.‎ ‎20.已知椭圆：的左焦点为，上顶点为，长轴长为，为直线：上的动点，，.当时，与重合.‎ ‎（1）若椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线交椭圆于，两点，若，求的值.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）设，求的最小值；‎ ‎（2）证明：当时，总存在两条直线与曲线与都相切.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆：，圆：.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求，的极坐标方程；‎ ‎（2）设曲线：（为参数且），与圆，分别交于，，求的最大值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设函数的最大值为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若正实数，满足，求的最小值.‎ 唐山市2017—2018学年度高三年级第一次模拟考试 理科数学参考答案 一．选择题：‎ A卷：DCBDA DCCAB DB B卷：ACBDD DCAAB DB 二．填空题：‎ ‎（13）－5 （14）－160 （15） （16）[2，2]‎ 三．解答题：‎ ‎（17）解：‎ ‎（Ⅰ）当n＝1时，2S1＝2a1＝a＋1，所以(a1－1)2＝0，即a1＝1，‎ 又{an}为单调递增数列，所以an≥1． …2分 由2Sn＝a＋n得2Sn＋1＝a＋n＋1，所以2Sn＋1－2Sn＝a－a＋1，‎ 整理得2an＋1＝a－a＋1，所以a＝(an＋1－1)2．‎ 所以an＝an＋1－1，即an＋1－an＝1，‎ 所以{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an＝n． …6分 ‎（Ⅱ）bn＝＝＝－ …9分 所以Tn＝(－)＋(－)＋…＋[－]‎ ‎＝－＜． …12分 ‎（18）解：‎ ‎（Ⅰ）由频率分布直方图可知，‎ 日销售量不低于350公斤的概率为(0.0025＋0.0015)×100＝0.4，‎ 则未来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率P＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192． …3分 ‎（Ⅱ）（ⅰ）X可取100，200，300，400，500，‎ P(X＝100)＝0.0010×10＝0.1； P(X＝200)＝0.0020×10＝0.2；‎ P(X＝300)＝0.0030×10＝0.3； P(X＝400)＝0.0025×10＝0.25；‎ P(X＝500)＝0.0015×10＝0.15；‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ ‎500‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎ …6分 ‎（ⅱ）当每日进货300公斤时，利润Y1可取－100，700，1500，‎ 此时Y1的分布列为：‎ Y1‎ ‎－100‎ ‎700‎ ‎1500‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.7‎ 此时利润的期望值E(Y1)＝－100×0.1＋700×0.2＋1500×0.7＝1180； …8分 当每日进货400公斤时，利润Y2可取－400，400，1200，2000，‎ 此时Y2的分布列为：‎ Y2‎ ‎－400‎ ‎400‎ ‎1200‎ ‎2000‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ 此时利润的期望值E(Y2)＝－400×0.1＋400×0.2＋1200×0.3＋2000×0.4‎ ‎＝1200； …10分 因为E(Y1)＜E(Y2)，‎ 所以该经销商应该选择每日进货400公斤． …12分 ‎（19）解：‎ ‎（Ⅰ）过点B1作A1C的垂线，垂足为O，‎ 由平面A1B1C⊥平面AA1C1C，平面A1B1C∩平面AA1C1C＝A1C，‎ 得B1O⊥平面AA1C1C，‎ 又AC平面AA1C1C，得B1O⊥AC．‎ 由∠BAC＝90°，AB∥A1B1，得A1B1⊥AC．‎ 又B1O∩A1B1＝B1，得AC⊥平面A1B1C．‎ 又CA1平面A1B1C，得AC⊥CA1． …4分 ‎（Ⅱ）以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系C-xyz．‎ 由已知可得A(1，0，0)，A1(0，2，0)，B1(0，1，)．‎ 所以＝(1，0，0)，＝(－1，2，0)，＝＝(0，－1，)． …6分 设n＝(x，y，z)是平面A1AB的法向量，则 A A1‎ B C C1‎ B1‎ x y z O 即 可取n＝(2，，1)． …8分 设m＝(x，y，z)是平面ABC的法向 量，则 即 可取m＝(0，，1)． …10分 则cosán，mñ＝＝．‎ 又因为二面角A1-AB-C为锐二面角，‎ 所以二面角A1-AB-C的大小为． …12分 ‎（20）解：‎ ‎（Ⅰ）依题意得A(0，b)，F(－c，0)，当AB⊥l时，B(－3，b)，‎ 由AF⊥BF得kAF·kBF＝·＝－1，又b2＋c2＝6.‎ 解得c＝2，b＝．‎ 所以，椭圆Γ的方程为＋＝1． …4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得A(0，)，依题意，显然m≠0，所以kAM＝－，‎ 又AM⊥BM，所以kBM＝，所以直线BM的方程为y＝(x－m)，‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．‎ y＝(x－m)与＋＝1联立得(2＋3m2)x2－6m3x＋3m4－12＝0，‎ x1＋x2＝，x1x2＝． …7分 ‎|PM|·|QM|＝(1＋)|(x1－m)(x2－m)|‎ ‎＝(1＋)|x1x2－m(x1＋x2)＋m2|‎ ‎＝(1＋)· ‎＝，‎ ‎|AM|2＝2＋m2， …9分 由AP⊥AQ得，|AM|2＝|PM|·|QM|，‎ 所以＝1，解得m＝±1． …12分 ‎（21）解：‎ ‎（Ⅰ）F¢(x)＝(x＋1)ex－1，‎ 当x＜－1时，F¢(x)＜0，F(x)单调递减；‎ 当x＞－1时，F¢(x)＞0，F(x)单调递增，‎ 故x＝－1时，F(x)取得最小值F(－1)＝－． …4分 ‎（Ⅱ）因为f¢(x)＝ex－1，‎ 所以f(x)＝ex－1在点(t，et－1)处的切线为y＝et－1x＋(1－t)et－1； …5分 因为g¢(x)＝，‎ 所以g(x)＝lnx＋a在点(m，lnm＋a)处的切线为y＝x＋lnm＋a－1， …6分 由题意可得则(t－1)et－1－t＋a＝0． …7分 令h(t)＝(t－1)et－1－t＋a，则h¢(t)＝tet－1－1‎ 由（Ⅰ）得t＜－1时，h¢(t)单调递减，且h¢(t)＜0；‎ 当t＞－1时，h¢(t)单调递增，又h¢(1)＝0，t＜1时，h¢(t)＜0，‎ 所以，当t＜1时，h¢(t)＜0，h(t)单调递减；‎ 当t＞1时，h¢(t)＞0，h(t)单调递增． …9分 由（Ⅰ）得h(a－1)＝(a－2)ea－2＋1≥－＋1＞0， …10分 又h(3－a)＝(2－a)e2－a＋2a－3＞(2－a)(3－a)＋2a－3＝(a－)2＋＞0， …11分 h(1)＝a－1＜0，所以函数y＝h(t)在(a－1，1)和(1，3－a)内各有一个零点，‎ 故当a＜1时，存在两条直线与曲线f(x)与g(x)都相切． …12分 ‎（22）解：‎ ‎（Ⅰ）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得，‎ C1：ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρcosθ＋1＝1，所以ρ＝2cosθ；‎ C2：ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－6ρcosθ＋9＝9，所以ρ＝6cosθ． …4分 ‎（Ⅱ）依题意得|AB|＝6cosα－2cosα＝4cosα，－＜α＜，‎ C2(3，0)到直线AB的距离d＝3|sinα|，‎ 所以S△ABC2＝×d×|AB|＝3|sin2α|，‎ 故当α＝±时，S△ABC2取得最大值3． …10分 ‎（23）解：‎ ‎（Ⅰ）f(x)＝|x＋1|－|x|＝ ‎ 由f(x)的单调性可知，当x≥1时，f(x)有最大值1．‎ 所以m＝1． …4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a＋b＝1，‎ ＋＝(＋)[(b＋1)＋(a＋1)]‎ ‎＝[a2＋b2＋＋]‎ ‎≥(a2＋b2＋2)‎ ‎＝(a＋b)2‎ ‎＝．‎ 当且仅当a＝b＝时取等号．‎ 即＋的最小值为． …10分 ‎ ‎