2019 北京市压轴卷数学试题（理科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知，则的值为（）
A. B. C. D.
2．下列函数中，值域为R的偶函数是（ ）
A．y=x2+1 B．y=ex﹣e﹣x C．y=lg|x| D．
3．若变量满足约束条件,则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的值为1，则输出的值为（）
A. B. C.D.
5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）
A．27 B．30 C．32D．36
6. “”是直线与直线平行的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知点及抛物线上一动点，则的最小值是（）
A． B．1 C．2 D． 3
8.设函数的定义域，如果存在正实数，使得对任意，都有，则称为上的“型增函数”，已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（）．若为上的“20型增函数”，则实数的取值范围是（）
A． B．C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分.把答案填在题中的横线上．）
9.函数的最小正周期是 ，最小值是 ．
10．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是__________．
11. 如果平面直角坐标系中的两点，关于直线对称，那么直线的方程为 ．
12.的二项展开式中项的系数为_________．（用数字作答）
13.若，，，，则，，有小到大排列为 ．
14.数列满足：，给出下述命题：
①若数列满足：，则成立；
②存在常数，使得成立；
③若，则；
④存在常数，使得都成立．
上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题满分13分）
在中，已知，
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求边上的中线的长.
16.（本小题满分13分）
自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：
20以下
70以上
使用人数
3
12
17
6
4
2
0
未使用人数
0
0
3
14
36
3
0
（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；
（2）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学期望；
（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．
17． （本小题满分13分）
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；
（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：ME∥平面PAB；
（Ⅲ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值．
18. （本小题满分14分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的极小值；
（Ⅱ）当时，讨论的单调性；
（Ⅲ）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.
19.（本小题满分14分）
已知圆的切线与椭圆相交于，两点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求证：；
（3）求面积的最大值.
20.（本小题共13分）
已知曲线的方程为：.
（1）分别求出时，曲线所围成的图形的面积;
（2）若表示曲线所围成的图形的面积，求证：关于是递增的;
（3）若方程，，没有正整数解，求证：曲线上任一点对应的坐标，不能全是有理数.
1.【答案】A
【解析】试题分析：因为（1+bi）i=i+bi2=-b+i=-1+i，所以，．
2．【答案】C
【解析】试题分析：y=x2+1是偶函数，值域为：[1，+∞）．y=ex﹣e﹣x是奇函数．y=lg|x|是偶函数，值域为：R．的值域：[0，+∞）．
故选：C
3．【答案】D
【解析】作出约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，是直线的纵截距，向上平移直线，增大，当直线过点时，为最大值．故选D．
4.【答案】C
【解析】由题知：a=1，i=1，a=2-1=1，i=2，否；a=3，i=3，否；a=6-3=3，i=4，是，
则输出的a为3．
5.【答案】A.
【解析】四棱锥的底面是边长为3的正方形，侧面是两个直角边长为3，4的直角三角形，
两个直角边长为3，5的直角三角形，∴该四棱锥的侧面积是，故选A.
6．【答案】B
【解析】时，直线与直线不平行，所以直线与直线平行的充要条件是，即且，所以“”是直线与直线平行的必要不充分条件．故选B．
7.【答案】C.
【解析】由抛物线的定义知：，∴，
∴，即当，，三点共线时，值最小，故选C.
8.【答案】B.
【解析】若：当时，，又∵是定义在上的奇函数，∴，符合题意；若：当时，，
又∵是定义在上的奇函数，∴大致的函数图象如下图所示，根据题意可知对于任意恒成立，∴问题等价于将的图象向左平移20个单位后得到的新的函数图象恒在图象上方，根据图象可知，即，综上实数的取值范围是，故选B.
9.【答案】.
【解析】，最小值是，故填：.
10．【答案】
【解析】，，恒成立，且，
=
因为恒成立，
．
11.【答案】
【解析】直线斜率为，所以斜率为1，设直线方程为，
由已知直线过点，所以，即所以直线方程为
12.【答案】
【解析】展开式通项为，令，，所以项的系数为．
13.【答案】
【解析】取特殊值，令，，则，，，则，即
14.【答案】①④.
【解析】试题分析：对①；因为，所以，由已知，
所以，即，正确
对②；假设存在在常数，使得，则有，所以应有最大值，错，
对③，因为，，所以假设
，则应有，即原数列应为递增数列，错，
对④，不妨设，，则，若存在常数，使得，应有，显然成立，正确，所以正确命题的序号为①④．
15. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由，，所以.
由正弦定理得，，即. .……… 6分
（Ⅱ）在中，.
由余弦定理得，,
所以.
所以.
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）2200．
【解析】（1）在随机抽取的100名顾客中，年龄在且未使用自由购的共有
人，所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率为．
（2）所有的可能取值为1，2，3，
；；．
所以的分布列为
1
2
3
所以的数学期望为．
（3）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为．
17．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）证明AB⊥AC．EF⊥AC．推出PA⊥底面ABCD，即可说明PA⊥EF，
然后证明EF⊥平面PAC．
（Ⅱ）证明MF∥PA，然后证明MF∥平面PAB，EF∥平面PAB．即可证明平面MEF∥平面PAB，从而证明ME∥平面PAB．
（Ⅲ）以AB，AC，AP分别为x轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面ABCD的法向量，平面PBC的法向量，利用直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，列出方程求解即可
试题解析：
（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB=AC，∠BCD=135°，∠ABC=45°．
所以AB⊥AC．
由E，F分别为BC，AD的中点，得EF∥AB，
所以EF⊥AC．
因为侧面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，
所以PA⊥底面ABCD．又因为EF⊂底面ABCD，
所以PA⊥EF．又因为PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
所以EF⊥平面PAC．
（Ⅱ）证明：因为M为PD的中点，F分别为AD的中点，
所以MF∥PA，
又因为MF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
所以MF∥平面PAB．同理，得EF∥平面PAB．
又因为MF∩EF=F，MF⊂平面MEF，EF⊂平面MEF，
所以平面MEF∥平面PAB．又因为ME⊂平面MEF，
所以ME∥平面PAB．
（Ⅲ）解：因为PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，所以AP，AB，AC两两垂直，故以AB，AC，AP
分别为x轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣2，2，
0），E（1，1，0），
所以，，，
设，则，
所以M（﹣2λ，2λ，2﹣2λ），，
易得平面ABCD的法向量=（0，0，1）．
设平面PBC的法向量为=（x，y，z），
由，，得
令x=1，得=（1，1，1）．
因为直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，
所以，即，
所以，
解得，或（舍）．
18.（本小题满分14分）
解：(Ⅰ)当时：，令解得，
又因为当，，函数为减函数；
当，，函数为增函数.
所以，的极小值为.
（Ⅱ）.
当时，由，得或.
(ⅰ)若，则.故在上单调递增；
（ⅱ）若，则.故当时，；
当时，.
所以在，单调递增，在单调递减.
(ⅲ)若，则.故当时，；
当时，.
所以在，单调递增，在单调递减.
（Ⅲ）(1)当时，，令，得.因为当时，，
当时，，所以此时在区间上只有一个零点.
(2)当时：
（ⅰ）当时，由（Ⅱ）可知在上单调递增，且，，此时在区间上有且只有一个零点.
（ⅱ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合，又，
只需讨论的符号：
当时，，在区间上有且只有一个零点；
当时，，函数在区间上无零点.
(ⅲ)当时，由（Ⅱ）的单调性结合，，，此时在区间上有且只有一个零点.
综上所述，.
19.（本小题满分14分）
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.
【解析】
试题分析：（1）根据题意以及椭圆中，，满足的关系式即可求解；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示即可得证；（3）建立的函数关系式，将问题转化为求函数最值.
试题解析：（1）由题意可知，，∴，∴
，∴椭圆的离心率为；
（2）若切线的斜率不存在，则，在中令得，不妨设，
，则，∴，同理，当时，也有
，若切线的斜率存在，设，依题意，即，由，得．显然，设，,则
，
，∴，
∴
，
∴，综上所述，总有成立；（3）∵直线与圆相切，则圆半径即为的高，
当的斜率不存在时，由（2）可知，则，当的斜率存在时，由（2）可知，
，
∴
（当且仅当
时，等号成立），
∴，此时，综上所述，当且仅当时，面积的最大值为．
20.（本小题共13分）
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析．
【解析】
试题分析：（1）画出对应的取值的图形，根据图形即可求解；
（2）由于曲线具有对称性，只需证明曲线在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增，再根据式子推导；
（3）根据条件中给出的结论利用反证法推导．
试题解析：（1）当时，由图可知，；（2）要证是关于递增的，只需证明：，由于曲线具有对称性，只需证明曲线在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增，现在考虑曲线与，因为（1）
因为，在(1)和(2)中令，，当，存在，使得，成立，此时必有，因为当时，
所以，两边同时开次方有，.（指数函数单调性）这就得到了，
从而是关于递增的；（3）由于可等价转化为，
反证：若曲线上存在一点对应的坐标，，全是有理数，
不妨设，，，且互质，互质，则由
可得，
，即，这时，，就是
的一组解，
这与方程，，没有正整数解矛盾，
所以曲线上任一点对应的坐标，不能全是有理数.
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