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绝密★启封前
2018江苏省高考压轴卷
数 学
数学I
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求
1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．
4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
参考公式：
球体的体积公式：V＝，其中为球体的半径．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．全集，集合则═ ．
2．已知是虚数单位，若，则＝ ．
3．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽 人．
4．如图是一个算法的流程图，则输出y的取值范围是 ．
5．已知函数，若f（m）＝﹣6，则f（m﹣61）＝ ．
6．已知f（x）＝sin（x﹣1），若p∈{1，3，5，7}，则f（p）≤0的概率为 ．
7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（）的值为 ．
8．已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P（3，4）为C上一点，则△PAB的外接圆的标准方程为 ．
9．已知f（x）是R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝|x2﹣3x|，则不等式f（x﹣2）≤2的解集为 ．
10．若函数f（x）＝a1nx，（a∈R）与函数g（x）＝，在公共点处有共同的切线，则实数a的值为 ．
11．设A，B在圆x2+y2＝4上运动，且，点P在直线3x+4y﹣15＝0上运动．则的最小值是 ．
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝，∠ABC的平分线交AC于点D，BD＝1，则a+c的最小值为 ．
13．如图，点D为△ABC的边BC上一点，，En（n∈N）为AC上一列点，且满足：，其中实数列{an}满足4an﹣1≠0，且a1＝2，则+++…+＝ ．
14．已知函数，其中e是自然对数的底数．若集合{x∈Z|x（f（x）﹣m）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m的个数为 ．
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）
15．(本小题满分14分) 如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知点M为棱BC上异于B，C的一点．
（1）若M为BC中点，求证：A1C∥平面AB1M；
（2）若平面AB1M⊥平面BB1C1C，求证：AM⊥BC．
16.（本小题满分14分）已知
（1）求的值；
（2）求的值．
17．(本小题满分14分)
学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知△ABC中，∠C＝，∠CBA＝θ，BC＝a．在它的内接正方形DEFG中建房，其余部分绿化，假设△ABC的面积为S，正方形DEFG的面积为T．
（1）用a，θ表示S和T；
（2）设f（θ）＝，试求f（θ）的最大值P；
18.(本小题满分16分) 已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）如图，经过椭圆左项点A且斜率为k（k≠0）直线l与C交于A，B两点，交y轴于点E，点P为线段AB的中点，若点E关于x轴的对称点为H，过点E作与OP（O为坐标原点）垂直的直线交直线AH于点M，且△APM面积为，求k的值．
19．(本小题满分16分) 已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）设函数在处的切线方程为，若函数是上的单调增函数，求的值；
（3）是否存在一条直线与函数的图象相切于两个不同的点？并说明理由．
20．(本小题满分16分) 已知集合A＝a1，a2，a3，…，an，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．
（Ⅰ）设集合P＝2，4，6，8，Q＝2，4，8，16，分别求l（P）和l（Q）；
（Ⅱ）若集合A＝2，4，8，…，2n，求证：；
（Ⅲ）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？
数学Ⅱ（附加题）
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1． 本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将答题卡交回。
2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。
3． 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，已知为半圆的直径，点为半圆上一点，过点作半圆的切线，过点作于点. 求证：．
B．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵，，且，求矩阵．
C．选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，极轴与x轴的非负半轴重合），圆C的方程为，求直线l被圆C截得的弦长．
D．选修4—5：不等式选讲
已知正实数，满足，求的最小值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分） 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．
（1）求异面直线AP与BC所成角的余弦值．
（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
23．（本小题满分10分）在集合1，2，3，4，…，中，任取（，，N*）元素构成集合．若的所有元素之和为偶数，则称为的偶子集，其个数记为；若的所有元素之和为奇数，则称为的奇子集，其个数记为．令．
（1）当时，求，，的值；
（2）求．
2019 江苏省高考压轴卷 数学
1．【答案】{1，2，4，5}
【解析】解：A∩B＝{3}，
则∁U（A∩B）＝{1，2，4，5}，
故答案为：{1，2，4，5}，
2．【答案】1．
【解析】解：∵（1﹣i）（a+i）＝（a+1）+（1﹣a）i＝2，
∴，即a＝1．
故答案为：1．
3．【答案】60．
【解析】解：由题意可知，抽样比为．故北乡应抽8100×＝180，南乡应抽5400×＝120，
所以180﹣120＝60，
即北乡比南乡多抽60人，
故答案为：60
4．【答案】．
【解析】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是计算并输出变量的值，
由于当x＞0时，，
当x≤0时，y＝3x∈（0，1]，
则输出y的取值范围是．
故答案为：．
5．【答案】-4．
【解析】解：∵函数，f（m）＝﹣6，
∴当m＜3时，f（m）＝3m﹣2﹣5＝﹣6，无解；
当m≥3时，f（m）＝﹣log2（m+1）＝﹣6，
解得m＝63，
∴f（m﹣61）＝f（2）＝32﹣2﹣5＝﹣4．
故答案为：﹣4．
6．【答案】．
【解析】解：∵f（x）＝sin（x﹣1），p∈{1，3，5，7}，
f（1）＝sin0＝0，
f（3）＝sin2＞0，
f（5）＝sin4＜0，
f（7）＝sin6＜0，
∴f（p）≤0的概率为p＝．
故答案为：．
7．【答案】1．
【解析】解：根据函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得，∴ω＝2，
再根据五点法作图可得，求得，∴函数f（x）＝2sin（），
∴f（）＝2sin（）＝2sin＝2sin＝1，
故答案为：1．
8．【答案】x2+（y﹣3）2＝10．
【解析】解：P（3，4）为C上的一点，
所以，解得m＝1，
所以A（﹣1，0）B（1，0），
设△PAB的外接圆的圆心（0，b），
则1+b2＝32+（b﹣4）2，解得b＝3，
则△PAB的外接圆的标准方程为x2+（y﹣3）2＝10．
故答案为：x2+（y﹣3）2＝10．
9．【答案】{x|﹣3≤x≤1或0≤x≤或﹣≤x≤﹣4}．
【解析】解：根据题意，当x≥0时，f（x）＝|x2﹣3x|，
此时若有f（x）≤2，即，解可得0≤x≤1或2≤x≤，即此时f（x）≤2的解集为{x|0≤x≤1或2≤x≤}，
又由f（x）为偶函数，则当x≤0时，f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤0或﹣≤x≤﹣2}，
综合可得：f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤1或2≤x≤或﹣≤x≤﹣2}；
则不等式f（x﹣2）≤2的解集{x|﹣3≤x≤1或0≤x≤或﹣≤x≤﹣4}；
故答案为：{x|﹣3≤x≤1或0≤x≤或﹣≤x≤﹣4}．
10．【答案】．
【解析】解：函数f（x）＝alnx的定义域为（0，+∞），f′（x）＝，g′（x）＝，
设曲线f（x）＝alnx与曲线g（x）＝公共点为（x0，y0），
由于在公共点处有共同的切线，∴，解得，a＞0．
由f（x0）＝g（x0），可得．
联立，解得．
故答案为：．
11．【答案】5．
【解析】解：取AB的中点M，连OM，则OM⊥AB，
∴，即点M的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆．
∴，
设点O到直线3x+4y﹣15＝0的距离为，
所以2||≥2d﹣1＝6﹣1＝5（当且仅当OP⊥l，M为线段OP与圆x2+y2＝1的交点时取等）
故答案为：5．
12．【答案】4．
【解析】解：由题意得，
即ac＝a+c，
得+＝1，
得a+c＝（a+c）（+）＝，
当且仅当a＝c时，取等号，
故答案为：4
13．【答案】．
【解析】解：点D为△ABC的边BC上一点，
∴
又，
，
∴，，，，
∴，
∴，
．
故答案为：．
14．已知函数f（x）＝，其中e是自然对数的底数．若集合{x∈Z|x（f（x）﹣m）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m的个数为 ．
【答案】34．
【解析】解：∵x＝0∈A，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可．
画出f（x）的图象如下图：
当x＞0时，f（x）≥m；当x＜0时，m≥f（x）．
即y轴左侧的图象在y＝m下面，y轴右侧的图象在y＝m上面，
∵f（3）＝﹣3×9+18＝﹣9，f（4）＝﹣3×16+24＝﹣24，
f（﹣3）＝﹣（﹣3）3﹣3×（﹣3）2+4＝4，
f（﹣4）＝﹣（﹣4）3﹣3×（﹣4）2+4＝20，
平移y＝a，由图可知：
当﹣24＜a≤﹣9时，A＝{1，2，3}，符合题意；
a＝0时，A＝{﹣1，1，2}，符合题意；
2≤a≤3时，A＝{1，﹣1，﹣2}，符合题意；
4≤a＜20时，A＝{﹣1，﹣2，﹣3}，符合题意；
∴整数m的值为﹣23，﹣22，﹣21，﹣20，﹣19，﹣18，﹣17，﹣16，﹣15，﹣14，﹣13，﹣12，﹣11，﹣10，﹣9，0，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，共34个．
故答案为：34．
15．【答案】见解析.
【解析】证明：（1）连结A1B，交AB1于N，则N是A1B的中点，
∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BC中点，
∴MN∥A1C，
∵A1C⊄平面AB1M，MN⊂平面AB1M，
∴A1C∥平面AB1M．
解：（2）过B作BP⊥B1M，垂足为P，
平面AB1M⊥平面B1BCC1，且交线为B1M，
BP⊂平面AB1M，AM⊂平面ABCD，
∴BB1⊥AM，
直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，
AM⊂平面ABCD，∴BB1⊥AM，
又BP∩BB1＝B，∴AM⊥平面BB1C1C，
又BC⊂平面BB1C1C，∴AM⊥BC．
16．【答案】（1）．（2）．
【解析】解：（1）∵已知，
∴，
∴．
（2）
，
求得，或（舍去），
综上，．
17．【答案】（1）S＝a2tanθ，θ∈（0，）；，θ∈（0，）；（2）．
【解析】解：（1）由题意知，AC＝atanθ，
所以△ABC的面积为：
S＝AC•BC＝a2tanθ，其中θ∈（0，）；
又DG＝GF＝BGsinθ＝，
所以BG＝，
DG，
所以正方形DEFG的面积为：
=，其中θ∈（0，）；
（2）由题意知，其中θ∈（0，），
所以；
由sinθcosθ＝sin2θ∈（0，]，
所以，
即f（θ）≤，当且仅当sin2θ＝1，即θ＝时“＝”成立；
所以f（θ）的最大值P为．
18.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】解：（Ⅰ）由题意可得，解得a＝2，b＝，c＝，
∴椭圆C的方程为.
（Ⅱ）易知椭圆左顶点A（﹣2，0），
设直线l的方程为y＝k（x+2），则E（0，2k），H（0，﹣2k），
由消y可得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4＝0
设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），
∴△＝64k4﹣4（8k2﹣4）（1+2k2）＝16
则有x1+x2＝，x1x2＝，
∴x0＝（x1+x2）＝﹣，y0＝k（x0+2）＝，
∴，
∴直线EM的斜率kEM＝2k，
∴直线EM的方程为y＝2kx+2k，直线AH的方程为y＝﹣k（x+2），
∴点M（，），
∴点M到直线l：kx﹣y+2k＝0的距离，
∴，
∴，
∴，
解得.
19.【答案】（1）的极大值为；极小值为；（2）；（3）见解析
【解析】（1） 当时，函数的定义域为.
则，令得，或．列表：
1
2
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以函数的极大值为；极小值为．
（2）依题意，切线方程为，
从而，
记，
则在上为单调增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立．
变形得在上恒成立 ，
因为（当且仅当时，等号成立），
所以，从而，所以．
（3）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点，，不妨，则处切线的方程为：，
处切线的方程为：．
因为，为同一直线，所以即
整理得， 消去得，．
令，由与，得，
记，则，
所以为上的单调减函数，所以．
从而式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点．
20．【答案】（Ⅰ）l（P）＝5． l（Q）＝6；（Ⅱ）证明见解析；
（Ⅲ）l（A）存在最小值，且最小值为2n﹣3．
【解析】解：（Ⅰ）根据题中的定义可知：由2+4＝6，2+6＝8，2+8＝10，4+6＝10，4+8＝12，6+8＝14，得l（P）＝5．
由2+4＝6，2+8＝10，2+16＝18，4+8＝12，4+16＝20，8+16＝24，得l（Q）＝6．（5分）
（Ⅱ）证明：因为ai+aj（1≤i＜j≤n）最多有个值，所以．
又集合A＝2，4，8，，2n，任取ai+aj，ak+al（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），
当j≠l时，不妨设j＜l，则ai+aj＜2aj＝2j+1≤al＜ak+al，
即ai+aj≠ak+al．当j＝l，i≠k时，ai+aj≠ak+al．
因此，当且仅当i＝k，j＝l时，ai+aj＝ak+al．
即所有ai+aj（1≤i＜j≤n）的值两两不同，
所以．（9分）
（Ⅲ）l（A）存在最小值，且最小值为2n﹣3．
不妨设a1＜a2＜a3＜…＜an，可得a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+an＜a2+an＜…＜an﹣1+an，
所以ai+aj（1≤i＜j≤n）中至少有2n﹣3个不同的数，即l（A）≥2n﹣3．
事实上，设a1，a2，a3，，an成等差数列，
考虑ai+aj（1≤i＜j≤n），根据等差数列的性质，
当i+j≤n时，ai+aj＝a1+ai+j﹣1；
当i+j＞n时，ai+aj＝ai+j﹣n+an；
因此每个和ai+aj（1≤i＜j≤n）等于a1+ak（2≤k≤n）中的一个，
或者等于al+an（2≤l≤n﹣1）中的一个．
所以对这样的A，l（A）＝2n﹣3，所以l（A）的最小值为2n﹣3．
21．
A．选修4—1：几何证明选讲
【答案】证明见解析.
【解析】
证明：因为为圆的切线，弧所对的圆周角为，
所以 ． ①
又因为为半圆的直径，
所以．
又BD⊥CD，所以． ②
由①②得，
所以．
B．选修4—2：矩阵与变换
【答案】
【解析】
由题意，，则．
因为，则．
所以矩阵.
C．选修4—4：坐标系与参数方程
【答案】
【解析】
将直线l的参数方程为化为方程：
圆的方程为化为直角坐标系方程：，
即，，其圆心，半径为
∴圆心C到直线l的距离为
∴直线l被圆C截得的弦长为．
D．选修4—5：不等式选讲
【答案】3
【解析】
因，所以，
又，
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为3.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解析应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．
22.【答案】（1）；（2）．
【解析】解：（1）因为AD∥BC，所以∠DAP或其补角就是异面直线AP与BC所成的角，
因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD，
在Rt△PDA中，，故cos∠DAP＝，
所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．
（2）过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．
∵AD⊥PD，AD∥BC，∴PD⊥BC，
又PD⊥PB，PB∩BC＝B，
∴PD⊥平面PBC，
∴∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1，由已知，得CF＝BC﹣BF＝2．
又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得．
在Rt△DPF中，sin∠DFP＝．
所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．
23. 【答案】（1）0，-2；（2）．
【解析】（1）当时，集合为．
当时，偶子集有，，奇子集有，，，，；
当时，偶子集有，，奇子集有，，，，
，，；
（2）当为奇数时，偶子集的个数，
奇子集的个数，
所以，．
当为偶数时，偶子集的个数，
奇子集的个数，
所以
．
一方面，
，
所以中的系数为
；
另一方面，
，中的系数为，
故．
综上，
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