天津文科模拟试题
一、选择题（共8题，每题5分，共40分）
1.表示集合中整数元素的个数，设集合，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数（ ）
A． B．0 C．1 D．0或1
3.阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入n的值为6，则输出S的值为
A. B. C. D.
4．若、满足约束条件，目标函数取得最大值时的最优解仅为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5.已知向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6.已知棱长为1
的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7.已知，则（ ）
A． B． C． D．
8.已知数列是1为首项，2为公差的等差数列，是1为首项，2为公比的等比数列，设，，，则当时，的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.
9.已知两点以线段为直径的圆的方程为________________.
10.已知函数的图象关于直线对称，则等于_____．
11.已知长方体的长、宽、高分别为2，1，2，则该长方体外接球的表面积为__________．
12.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．直线截圆的弦长等于圆的半径长的倍，求的值 ．
13.已知为双曲线的左焦点，直线经过点，
若点，关于直线对称，则双曲线的离心率为__________．
14.函数，其中为自然对数的底数，若存在实数使成立，则实数的值为
三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15) (本小题满分13分)
设的内角所对边的长分别是，且
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求的值.
16(本小题满分13分)
某工厂连续6天对新研发的产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组数据如下表所示
日期
4月1日
4月2日
4月3日
4月4日
4月5日
4月6日
试销价元
9
11
10
12
13
14
产品销量件
40
32
29
35
44
（1）试根据4月2日、3日、4日的三组数据，求关于的线性回归方程，并预测4月6日的产品销售量；
（2）若选取两组数据确定回归方程，求选取得两组数据恰好是不相邻两天的事件的概率．
参考公式：，
其中，，
17.（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若为的中点，求点到平面的距离．
18.（本小题满分13分）
已知抛物线的方程，焦点为，已知点在上，且点到点的距离比它到轴的距离大1．
（1）试求出抛物线的方程；
（2）若抛物线上存在两动点，（，在对称轴两侧），满足（为坐标原点），过点作直线交于，两点，若，线段上是否存在定点，使得恒成立？若存在，请求出的坐标，若不存在，请说明理由．
19.(本小题满分14分)
数列是等比数列，公比大于，前项和，是等差数列，
已知，，，.
（Ⅰ）求数列，的通项公式，；
（Ⅱ）设的前项和为，
（i）求；
（ii）证明：.
20.（本小题满分14分）
已知函数，
（1）求函数的单调区间和的极值；
（2）对于任意的，，都有，求实数的取值范围．
1【答案】C
【解析】∵，，∴，∴．故选C．
2【答案】C
【解析】∵是纯虚数，∴，即，故选C．
3【答案】A
【解析】由题意，模拟执行程序，可得：
，，
满足条件，，
满足条件，，
满足条件，，
不满足条件，退出循环，输出S的值为．
故选：A．
4【答案】A
【解析】结合不等式组，绘制可行域，得到：
目标函数转化为，当时，则，此时的范围为，
当时，则，此时的范围为，综上所述，的范围为，故选A．
5【答案】B
【解析】∵，∴．
设与的夹角为，则，
又，∴，即与的夹角为．
6【答案】B
【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体截去三棱锥和三棱锥后的剩余部分．
其表面为六个腰长为1的等腰直角三角形和两个边长为的等边三角形，
所以其表面积为，故选B．
所以其表面积为，故选B．
7【答案】C
【解析】由，得，又由．故选C．
8.【答案】A
【解析】是以1为首项，2为公差的等差数列，，
是以1为首项，2为公比的等比数列，，
，
，，解得．
则当时，的最大值是9，故选A．
9【答案】
【解析】由题得圆心的坐标为（1,0），|MN|=
所以圆的半径为所以圆的方程为.
故答案为：
10【答案】
【解析】函数的图象关于直线对称，，
因为，求得，故答案为．
11【答案】
【解析】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，求得球的半径为，利用球的表面积公式，即可求解.
【详解】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，
设长方体的外接球的半径为，则，即，
所以球的表面积为.
12【答案】或．
【解析】 圆的极坐标方程转化成直角坐标方程为：，
直线截圆的弦长等于圆的半径长的倍，∴，整理得
，利用平方法解得或
13【答案】
【解析】因为为双曲线的左焦点，所以，
又点，关于直线对称，，
所以可得直线的方程为，
又，中点在直线上，所以，整理得，
又，所以，
故，解得，因为，所以．
故答案为．
14【答案】
【解析】由，可令，
，故在上是减函数，上是增函数，
故当时，有最小值，
而，（当且仅当，即时成立），
故（当且仅当等号同时成立时，等式成立），
故，即．
15(Ⅰ) 解:由，知，
由正、余弦定理得.
因为，所以,则.
(Ⅱ) 解:由余弦定理得. x§k.Com]
由于，所以
故
16【答案】（1）41；（2）．
【解析】（1）由题设可得，，
则．
所以，
则回归直线方程为，故．
（2）从6天中随机取2天的所有可能结果为：，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中相邻两天的结果为，，，，共5种，
所以选取的两组数据恰好是不相邻两天的事件的概率．
17【答案】（1）详见解析；（2）．
【解析】（1）如图，连接．
由条件知四边形为菱形，且，
∴，∴为正三角形．
∵为的中点，∴．
又∵，∴．
又∵底面，底面，∴．
∵，∴平面．
（2）设交于点，连接，，则为的中点．
易知，则，∴，∴．
连接，
∵，，∴，，
∴，，
∴．
．
设点到平面的距离为，又底面，
由，得，解得．
故点到平面的距离为．
18【答案】（1）；（2）存在，的坐标为．
【解析】（1）因为到点的距离比它到轴的距离大1，由题意和抛物线定义，
所以抛物线的方程为．
（2）由题意，
设，，由，得，直线，
，整理可得，
直线①若斜率存在，设斜率为，，与联立得，
，
若点存在，设点坐标为，
，
时，，
解得或（不是定点，舍去）
则点为经检验，此点满足，所以在线段上，
②若斜率不存在，则，，
此时点满足题意，
综合上述，定点为．
19【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）（i）
【解析】（Ⅰ）解：设数列的公比为（）
，，（舍）或 ，
设数列的公差为
，.
（Ⅱ）解：
20【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）∵，，其中是的导函数．
显然，，因此单调递增，
而，所以在上为负数，在上为正数，
因此在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值为，无极大值．
∴的极小值为1，无极大值．单增区间为，单减区间为．
（2）依题意，只需，
由（1）知，在上递减，在上递增，
∴在上的最小值为，
最大值为和中的较大者，
而，
因此，∴在上的最大值为，
所以，解得或．
∴实数的取值范围是．
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