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凌源市教育局高三“抽考”
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数（为虚数单位），则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3.下列说法正确的是（ ）
A．若命题，，则，
B．已知相关变量满足回归方程，若变量增加一个单位，则平均增加个单位
C．命题“若圆与两坐标轴都有公共点，则实数”为真命题
D．已知随机变量，若，则
4.如图，在边长为的正方形中，是的中点，过，，三点的抛物线与围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C. D．
5.已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A． B． C. D．
6.已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C. D.
7.20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数，按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成；如果是个偶数，则下一步变成，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4-2-1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的值为，则输入的值为（ ）
A． B． C.或 D．或或
8.在的二项展开式中，若第四项的系数为，则（ ）
A． B． C. D．
9.已知等差数列的前项和为，且，则的值为（ ）
A． B． C. D．
10.将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C. D．
11.如图，过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，交其准线于点，若，且，则此抛物线方程为（ ）
A． B． C. D．
12.已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）
A． B．或 C.或 D．或或
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，，若，则实数 ．
14.设实数，满足不等式组则的最大值为 ．
15.已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ．
16.已知等腰直角的斜边，沿斜边的高线将折起，使二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知在中，角，，的对边分别为，，，且有.
（1）求角的大小；
（2）当时，求的最大值.
18. 某调查机构随机调查了岁到岁之间的位网上购物者的年龄分布情况，
并将所得数据按照，，，，分成组，绘制成频率分布直方图（如图）.
（1）求频率分布直方图中实数的值及这位网上购物者中年龄在内的人数；
（2）现采用分层抽样的方法从参与调查的位网上购物者中随机抽取人，再从这人中任选人，设这人中年龄在内的人数为，求的分布列和数学期望.
19. 如图，菱形与四边形相交于，，平面，，，，为的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面成角的正弦值.
20. 已知椭圆的两个焦点为，，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，当变化时，求面积的最大值.
21. 已知函数（是常数）.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，函数有零点，求的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线的方程为.
（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；
（2）设是曲线上的任意一点，求点到直线的距离的最大值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）当时，证明：.
试卷答案
一、选择题
1-5:ADCDB 6-10:DCBBD 11、12：CA
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）因为，
由正弦定理，得，
即，即.
因为在中，，
所以，所以，解得.
（2）由余弦定理，得，
即，
故，当且仅当时，取等号.
所以，
即的最大值为.
18.解：（1）由频率分布直方图，可得，得.
则这位网上购物者中年龄在内的频率为，
故这位网上购物者中年龄在内的人数为.
（2）由频率分布直方图可知，年龄在内的人数与其他年龄段的总人数比为，
由分层抽样的知识知，抽出的人中年龄在内的人数为，其他年龄段的总人数为
.
所以的可能取值为，，.
，，
所以的分布列为
0
1
2
故的数学期望.
19.（1）证明：取的中点，连接，.
因为为菱形对角线的交点，所以为中点.
又为中点，所以，又平面，平面，所以平面.
又因为，分别为，的中点.
所以，又因为，所以，平面，平面，所以平面，又，平面，，所以平面平面.
又平面，所以平面.
（2）解：连接.
设菱形的边长，则由，得，.
又因为，所以.
则在直角中，，所以.
由平面，，得平面.
以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，
则，.
设为平面的一个法向量，
则即.
令，得，所以.
又，
所以.
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20.解：（1）由离心率，半焦距，解得.
所以.
所以椭圆的方程是.
（2）解：设，，
据得
∵直线与椭圆有两个不同的交点，
∴，又，所以且.
由根与系数的关系得，
设线段中点为，点横坐标，，∴，
∴线段垂直平分线方程为，∴点坐标为，
点到直线的距离，
又，
所以
，所以当时，三角形面积最大，且.
21.解：（1）当时，，函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，，因为，
令，解得或.
①当时，函数在上有，即，函数单调递增；函数在，上有，即，函数单调递减；
②当时，函数在，上有，即，
函数单调递增；函数在上有，即，函数单调递减.
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，递减区间为，；
当时，函数的单调递增区间为，，递减区间为.
（2）①当时，由，可得，，故满足题意.
②当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
（i）若，解得.
可知时，是增函数，时，是减函数，
由，∴在上，
解得，所以；
（ii）若，解得.
函数在上递增，
由，则，解得.
由，所以.
③当时，函数在上递增，，，解得，
∴，
综上所述，实数的取值范围是.
22.解：（1）因为，
所以曲线的普通方程为.
又，展开得，即，
因此直线的直角坐标方程为.
（2）设，
则点到直线的距离为，
等号成立当且仅当，即时等号成立，即，
因此点到直线的距离的最大值为.
23.（1）解：由，得，即，
解得，所以.
（2）证明：（证法一）
因为，所以，，，，
所以，，
又，故.
（证法二）因为，故，，
而
，
即，故.
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