海南省2018届高三阶段性测试（二模）数学（理）试题Word版含答案.doc

www.ks5u.com 海南省2017—2018学年高中毕业班阶段性测试 数学（理科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2.已知复数满足，为的共轭复数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.如图，当输出时，输入的可以是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知为锐角，，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.把一枚质地均匀、半径为的圆形硬币抛掷在一个边长为的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.的展开式中，的系数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知正项数列满足，设，则数列的前项和为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8.如图，网格纸上正方形小格的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.已知数列的前项和为，且满足，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知函数是定义在上的偶函数，，当时，，若，则的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知抛物线的焦点为，过点作互相垂直的两直线，与抛物线分别相交于，以及，，若，则四边形 的面积的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知，方程与的根分别为，，则的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎13.已知，，，且向量，的夹角是，则 ．‎ ‎14.已知实数，满足，则的最大值是 ．‎ ‎15.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于，两点，，分别交轴于，两点，若的周长为，则的最大值为 ．‎ ‎16.如图，在三棱锥中，平面，，已知，，则当最大时，三棱锥的表面积为 ．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分. ‎ ‎17.已知在中，，，分别为内角，，的对边，且 ‎.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎18.如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，点为上一动点.‎ ‎（1）是否存在一点，使得线段平面？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由.‎ ‎（2）若点为的中点且，求二面角的正弦值.‎ ‎19.某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过站的地铁票价如下表：‎ 乘坐站数 票价（元）‎ 现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过站.甲、乙乘坐不超过站的概率分别为，；甲、乙乘坐超过站的概率分别为，.‎ ‎（1）求甲、乙两人付费相同的概率；‎ ‎（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望.‎ ‎20.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的上顶点和右焦点，的面积为，直线与椭圆交于另一个点，线段的中点为.‎ ‎（1）求直线的斜率；‎ ‎（2）设平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，且与直线交于点 ‎，求证：存在常数，使得.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，已知直线：（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点的极坐标为，直线与曲线的交点为，，求的值.‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.‎ 海南省2017—2018学年高中毕业班阶段性测试 数学（理科）·答案 一、选择题 ‎1-5: DABCB 6-10: BCDAD 11、12：CA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.（1）由及正弦定理得，‎ ‎，‎ 即，‎ 又，所以，‎ 又，所以.‎ ‎（2）由（1）知，又，易求得，‎ 在中，由正弦定理得，所以.‎ 所以的面积为.‎ ‎18.（1）存在点，且为的中点.‎ 证明如下：‎ 如图，连接，，点，分别为，的中点，‎ 所以为的一条中位线，，‎ 平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）设，则，，‎ ‎，‎ 由，得，解得.‎ 由题意以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得，，，，‎ 故，，，，.‎ 设为平面的一个法向量，则 得 令，得平面的一个法向量，‎ 同理可得平面的一个法向量为，‎ 故二面角的余弦值为.‎ 故二面角的正弦值为.‎ ‎19.（1）由题意知甲乘坐超过站且不超过站的概率为，‎ 乙乘坐超过站且不超过站的概率为，‎ 设“甲、乙两人付费相同”为事件，‎ 则，‎ 所以甲、乙两人付费相同的概率是.‎ ‎（2）由题意可知的所有可能取值为：，，，，.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 因此的分布列如下：‎ 所以的数学期望.‎ ‎20.（1）因为椭圆的离心率为，所以，即，，‎ 所以，，所以，所以，所以椭圆的方程为.‎ 直线的方程为，联立消去得，所以或，‎ 所以，从而得线段的中点.‎ 所以直线的斜率为.‎ ‎（2）由（1）知，直线的方程为，直线的斜率为，设直线的方程为.‎ 联立得所以点的坐标为.‎ 所以，.‎ 所以.‎ 联立消去得，‎ 由已知得，又，得.‎ 设，，则，，‎ ‎，.‎ 所以，‎ ‎，‎ 故.‎ 所以.所以存在常数，使得.‎ ‎21.（1）由题易知，‎ 当时，，当时，，‎ 所以的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（2）的定义域为，要证，即证.‎ 由（1）可知在上递减，在上递增，所以.‎ 设，，因为，‎ 当时，，当时，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，‎ 而，所以.‎ ‎22.（1）把展开得，‎ 两边同乘得①.‎ 将，，代入①即得曲线的直角坐标方程为②.‎ ‎（2）将代入②式，得，‎ 易知点的直角坐标为.‎ 设这个方程的两个实数根分别为，，则由参数的几何意义即得.‎ ‎23.（1）当时，原不等式可化为.‎ 若，则，即，解得；‎ 若，则原不等式等价于，不成立；‎ 若，则，解得.‎ 综上所述，原不等式的解集为：.‎ ‎（2）由不等式的性质可知，‎ 所以要使不等式恒成立，则，‎ 所以或，解得，‎ 所以实数的取值范围是. ‎