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广西区2018年3月高三年级第二次高考模拟联合考试
数学（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3.设向量，，若向量与同向，则（ ）
A． B． C． D．
4.以下关于双曲线：的判断正确的是（ ）
A．的离心率为 B．的实轴长为
C.的焦距为 D．的渐近线方程为
5.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆的半径为，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C. D．
6.设，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A． B． C. D．
7.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ）
A． B． C. D．
8.我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，则“三斜求积公式”为.若，，则用“三斜求积公式”求得的（ ）
A． B． C. D．
9.设为椭圆上任意一点，，，延长至点，使得，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C. D．
10.设，，，则（ ）
A． B． C. D．
11.如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面，，分别为棱，上一点，已知，，，且平面，四面体的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C. D．
12.将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到的图象，若在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若，，则 ．
14.若是集合中任意选取的一个元素，则椭圆的焦距为整数的概率为 ．
15.若函数是在上的减函数，则的取值范围是 ．
16.若函数（）只有个零点，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知公差不为的等差数列的前项和，，，成等差数列，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，成等比数列，求及此等比数列的公比.
18. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，且，.
（1）证明：平面；
（2）设为棱上一点，且，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，求的值.
19.
“双十一网购狂欢节”源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商为分析近8年“双十一”期间的宣传费用（单位：万元）和利润（单位：十万元）之间的关系，搜集了相关数据，得到下列表格：
（1）请用相关系数说明与之间是否存在线性相关关系（当时，说明与之间具有线性相关关系）；
（2）建立关于的线性回归方程（系数精确到），预测当宣传费用为万元时的利润，
附参考公式：回归方程中和最小二乘估计公式分别为
，，相关系数
参考数据：
，，，
20. 已知曲线由抛物线及抛物线组成，直线：（）与曲线有（）个公共点.
（1）若，求的最小值；
（2）若，记这个交点为，，，其中在第一象限，，证明：
21. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）已知点，点，直线过点且曲线相交于，两点，设线段的中点为，求的值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对恒成立，求的取值范围.
广西区2018年3月高三年级第二次高考模拟联合考试
数学参考答案（文科）
一、选择题
1-5:ADBDC 6-10:ACDBA 11、12：CC
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.（1）设数列 的公差为
由题意可知，整理得 ，即
所以
（2）由（1）知 ，∴ ，∴ ， ，
又 ，∴ ，∴ ，公比
18.（1）证明：∵ 平面 ，∴ ，
∵底面 是正方形，∴ ，又 ，∴ 平面 .
（2）解：∵ ， ， ，∴ 的面积为 ，
∴
又
∴
19.解：（1）由题意得 ，
又 ， ， ，
所以
所以， 与 之间具有线性相关关系.
（2）因为，
，
（或 ， ）
所以 关于 的线性回归方程为 .
当 时，
故可预测当宣传费用为 万元时的利润为 万元.
20.（1）解：联立 与 ，得 ，
∵ ，∴ 与抛物线 恒有两个交点.
联立 与 ，得 .
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ 的最小值为 .
（2）证明：由（1）知，
且 ，∴ ，∴
∴ ，∴
易知 为抛物线 的焦点，则
设 ， ，则 ， ，
∴ ，
∴
∵ ，∴
21.解：（1）
当 时， ，∴ 在 上单调递减.
当 时，令 ，得 ，令 ，得
∴ 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
当 时，令 ，得 ，令 ，得
∴ 的单调递减区间为 ，单调递增区间为
（2）当 时， 在 上单调递减，∴ ，不合题意.
当 时，，不合题意，
当 时， ， 在 上单调递增，
∴ ，故 满足题意.
当 时， 在 上单调递减，在 单调递增，
∴ ，故 不满足题意.
综上， 的取值范围为
22.解：（1）由直线 的参数方程消去 ，得 的普通方程为 ，
由 得
所以曲线 的直角坐标方程为
（2）易得点 在 ，所以 ，所以
所以 的参数方程为 ，
代入 中，得 .
设 ， ， 所对应的参数分别为 ， ， .
则 ，所以
23.解：（1）因为 ，
所以当 时，由 得 ；
当 时，由 得 ；
当 时，由 得
综上， 的解集为
（2）（方法一）由 得 ，
因为 ，当且仅当 取等号，
所以当 时， 取得最小值 .
所以，当 时， 取得最小值 ，
故 ，即 的取值范围为
（方法二）设 ，则 ，
当 时， 的取得最小值 ，
所以当 时， 取得最小值 ，
故 ，即 的取值范围为
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