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兰州市2018年高三诊断考试
数学（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．复数的实部为 B．复数的虚部为
C．复数的共轭复数为 D．复数的模为
3.已知数列为等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
4.双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5.在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
6.数列中，，对任意，有，令，，则（ ）
A． B． C． D．
7.若的展开式中各项的系数之和为，则分别在区间和内任取两个实数，，满足的概率为（ ）
A． B． C． D．
8.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
9.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的的值是（ ）
A． B． C． D．
10.设：实数，满足；：实数，满足，则是的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
11.已知圆：和点，若圆上存在两点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若，则 ．
14.已知样本数据，，……的方差是，如果有，那么数据，，……的均方差为 ．
15.设函数向左平移个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则 ．
16.函数，，若函数，且函数的零点均在内，则的最小值为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.已知向量，，函数.
（1）求的最小正周期；
（2）当时，的最小值为，求的值.
18.如图所示，矩形中，，平面，，为上的点，且平面.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
19.某地一商场记录了月份某天当中某商品的销售量（单位：）与该地当日最高气温（单位：）的相关数据，如下表：
（1）试求与的回归方程；
（2）判断与之间是正相关还是负相关；若该地月某日的最高气温是，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；
（3）假定该地月份的日最高气温，其中近似取样本平均数，近似取样本方差，试求.
附：参考公式和有关数据，，，若，则，且.
20.已知圆：，过且与圆相切的动圆圆心为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设过点的直线交曲线于，两点，过点的直线交曲线于，两点，且，垂足为（，，，为不同的四个点）.
①设，证明：；
②求四边形的面积的最小值.
21.已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）证明：当时，①，②；
（2）证明：对任意，，有.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程是（是参数），圆的极坐标方程为.
（1）求圆心的直角坐标；
（2）由直线上的点向圆引切线，并切线长的最小值.
23.[选修4-5：不等式选讲]
设函数，其中.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，恒有，求的取值范围.
兰州市2018年高三诊断考试
数学（理科）试题参考答案及评分参考
一、选择题
1-5: CDADA 6-10: DBBAB 11、12：CC
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.（1）由题意知：
，
所以的最小正周期为.
（2）由（1）知：，
当时，.
所以当时，的最小值为.
又∵的最小值为，∴，即.
18.（1）因为面，所以，
又，所以.
因为面，所以.
又，所以面，即平面.
（2）方法1：
因为面，面，所以，
又，所以为中点，
在中，，所以，为二面角的平面角，
.
∴平面与平面所成角的余弦值为.
方法2：
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为，，，，
设平面的法向量，平面的法向量为，易知，
令，则，故，令，得，，
于是，.
此即平面与平面所成角的余弦值.
19.（1）由题意，，，，
，，.
所以所求回归直线方程为.
（2）由知，与负相关.将代入回归方程可得，
，
即可预测当日销售量为.
（3）由（1）知，，所以.
20.解：（1）设动圆半径为，由于在圆内，圆与圆内切，
则，， ，
由椭圆定义可知，点的轨迹是椭圆，，，，
的方程为.
（2）①证明：由已知条件可知，垂足在以为直径的圆周上，
则有，
又因，，，为不同的四个点，.
②解：若或的斜率不存在，四边形的面积为.
若两条直线的斜率存在，设的斜率为，
则的方程为，
解方程组，得，
则，
同理得，
∴，
当且仅当，即时等号成立.
综上所述，当时，四边形的面积取得最小值为.
21.解：（1）令，则，为上的减函数，
而，所以，成立；
令，则，为上的增函数，
而，所以，成立.
（2），即，
由（1），所以，
，所以，只需证，即，
由（1），所以只需证，只需证，即，
上式已知成立，故原式成立，得证.
22.解：（1）∵，
∴，
∴圆的直角坐标方程为，
即，∴圆心直角坐标为.
（2）方法1：直线上的点向圆引切线长是
，
∴直线上的点向圆引的切线长的最小值是.
方法2：直线的普通方程为，
∴圆心到直线距离是，
∴直线上的点向圆引的切线长的最小值是.
23.解：（1）当时，，
所以，所以或，
解集为.
（2），因为，∴时，恒成立，
又时，当时，，∴只需即可，
所以.
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