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茂名市五大联盟学校三月联考
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列集合运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2. 12月18日至20日，中央经济工作会议在北京举行，中国经济的高质量发展吸引了全球更多投资者的青睐目光，在此期间，某电视台记者，随机采访了7名外国投资者，其中有4名投资者会说汉语与本国语，另外3名投资者除会说汉语与本国语外还会一种语言,现从这7人中任意选取3人进行采访，则这3人都只会使用两种语言交流的概率为（ ）
A． B． C． D．
3. 给出下列命题：
①若，则
②，；
③函数的图象关于点成中心对称；
④若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线必为抛物线的切线其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C． 3 D． 4
4. 利用如图所示的程序框图得到的数集中必含有（ ）
A．520 B．360 C. 241 D．134
5. 函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C. D．
6. 在的展开式中，项的系数为（ ）
A．200 B．180 C. 150 D．120
7. 已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）
A． B． C. D．
8. 若焦点在轴上的椭圆（）的离心率.则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
9. 已知函数在区间上单调，且函数的图象关于对称.若数列是公差不为0的等差数列.且，则数列的前100项的和为（ ）
A．-200 B． -100 C. 0 D．-50
10. 已知椭圆和双曲线有共同焦点,,是它们的一个交点,且，记椭圆和双曲线的离心率分别，，则的最大值是（ ）
A． B． C.2 D．3
11. 德国数学家科拉茨1937年提出一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半(即)；如果是奇数，则将它乘3加1(即)，不断重复这样的运算,经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明,也不能否定.现在请你研究:如果对正整数(首项)按照上述规则进行变换后的第9项为1(注：1可以多次出现),则的所有不同值的个数为（ ）
A．4 B． 5 C. 6 D．7
12. 已知函数 (其中，为自然对数的底数)在处取得极大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4的小题，每小题5分
13. 已知向量满足，，，则向量夹角的余弦值为 ．
14. 某校的团知识宣讲小组由学生和青年教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；
（ⅱ）女学生人数多于青年教师人数；
（ⅲ）青年教师人数的两倍多于男学生人数
若青年教师人数为3，则该宣讲小组总人数为 ．
15. 若实数满足则的最大值是 ．
16. 已知在三棱锥中，，，底面为等边三角形，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为 ．
三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，，求和.
18.如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到如下表格：(单位：人)
经常使用网络外卖
偶尔或不使用网络外卖
合计
男性
50
50
100
女性
60
40
100
合计
110
90
200
（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关?
（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；
②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.
参考公式：，其中.
参考数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
19.如图，已知斜三棱柱：的底面是直角三角形，，点在底面内的射影恰好是棱BC的中点，且.
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求斜三棱柱的高.
20. 已知右焦点为的椭圆（）过点，且椭圆关于
直线对称的图形过坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线与椭圆交于点 (异于椭圆的左、右顶点)，线段的中点为.点是椭圆的右顶点.求直线的斜率的取值范围.
21. 已知函数 （，为自然对数的底数，）.
（1）若函数仅有一个极值点，求实数的取值范围；
（2）证明：当时，有两个零点（）.且满足.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中,曲线.的极坐标方程是，点是曲线上的动点.点满足 (为极点).设点的轨迹为曲线.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知直线的参数方程是，(为参数).
（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；
（2）设直线交两坐标轴于，两点，求面积的最大值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若，，证明：.
文科数学
一、选择题
1-5: DBBBA 6-10: CBDBA 11、12：DD
二、填空题
13. 14. 12 15. 1 16.
三、解答题
17. 解：（1）由已知，根据正弦定理得，
由余弦定理，得，
故.
因为，
所以.
（2）由，
得
，
由，得，
故由正弦定理得，
.
18.解：（1）由列联表，可知的观测值
，
所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.
（2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有人，
偶尔或不用网络外卖的有人.
则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为.
②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，
将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为.
由题意得，
所以；
.
19.解：（1）取的中点，连接，则由题意知平面.
∵平面，∴.
又，且，
∴平面.
∵平面，
∴平面平面.
（2）以为原点，，的方向为轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
设，又,则，，，，，
则，，.
设平面的法向量为，
∴
令，得.
同理，得平面的一个法向量为.
∵二面角的余弦值为，
∴，
整理得，
解得，即，
∴斜三棱柱的高为.
20.解：（1）∵椭圆过点.
∴，①
∵椭圆关于直线对称的图形过坐标原点，
∴，
∴，②
由①②得，，
∴椭圆的方程为.
（2）依题意，直线过点，且斜率不为零，
∴可设其方程为.
联立方程组消去并整理，
得.
设，，，
则.
∴，，∴.
①当时，；
②当时，，
∵，∴，
∴，且.
综合①②，可知直线的斜率的取值范围是.
21.解：（1）
，
由，得或
因为仅有一个极值点，
所以关于的方程必无解，
①当时，无解，符合题意；
②当时，由，得，
故由，得.
故当时，若，
则，此时为减函数，
若，则，此时为增函数，
所以为的唯一极值点，
综上，可得实数的取值范围是.
（2）由（1），知当时，为的唯一极值点，且是极小值点，
又因为当时，，
，，
所以当时，有一个零点，
当时，有另一个零点，
即，
且，
.①
所以.
下面再证明，即证.
由，得，
因为当时，为减函数，
故只需证明，
也就是证明，
因为，
由①式，
可得.
令，
则.
令，
因为为区间上的减函数，且，所以，即
在区间上恒成立，
所以在区间上是减函数，即，所以，
即证明成立，
综上所述，.
22.解：（1）在极坐标系中，设点.
由，得，
代入曲线的方程并整理，
得，
再化为直角坐标方程，得，
即曲线的直角坐标方程为.
直线的参数方程(为参数)化为普通方程是.
（2）由直线的方程为，可知.
因为点在曲线上，
所以设，，
则点到直线的距离即为底边上的高，
所以，其中，
所以，
所以，
所以面积的最大值为.
23.解：（1）
由得，
∴
（2）∵，，∴，，
∴，，
∴，，
∴，
，∴.
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