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2018届广东省六校第三次联考
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2.设等差数列的前项和为，若,则( )
A．63 B．45 C．36 D．27
3.若变量满足约束条件，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
4.函数的部分图象大致为( )
A． B．
C. D．
5.设函数，其中常数满足.若函数（其中是函数的导数）是偶函数，则等于( )
A． B． C. D．
6.执行下面的程序框图，如果输入的分别为1，2，3，输出的,那么，判断框中应填入的条件为( )
A． B． C. D．
7.已知 为虚数单位），又数列满足：当时，；当，为的虚部，若数列的前项和为，则( )
A． B． C. D．
8.如图，在同一个平面内，三个单位向量满足条件：与的夹角为，且，与与的夹角为45°.若，则的值为( )
A．3 B． C. D．
9.四面体中，三组对棱的长分别相等，依次为，则的取值范围是( )
A． B． C. D．
10.从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的篮球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有( )
A．42种 B．36种 C.72种 D．46种
11.已知点为双曲线的右焦点，直线与交于两点，若,设,且，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A． B． C. D．
12.已知是函数与图象的两个不同的交点，则的取值范围是( )
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知函数是定义在上的奇函数，则 ．
14.已知函数，若，则函数恒过定点 ．
15.已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为 ．
16.若函数的图象上存在不同的两点，其中使得的最大值为0，则称函数是“柯西函数”.给出下列函数：
①； ②；
③； ④.
其中是“柯西函数”的为 （填上所有正确答案的序号）．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 设数列的前项和为，数列的前项和为，满足.
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求数列的通项公式.
18.某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理.
(Ⅰ)若小店一天购进16份，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：份，）的函数解析式；
(Ⅱ)小店记录了100天这种食品的日需求量（单位：份），整理得下表：
日需求量
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
(i)小店一天购进16份这种食品，表示当天的利润（单位：元），求的分布列及数学期望；
(ii)以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？
19如图，在四棱锥中，是平行四边形，，,
分别是的中点.
(Ⅰ)证明：平面平面；
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
20.已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右顶点点满足.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设直线经过点且与交于不同的两点，试问：在轴上是否存在点，使得与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由.
21.已知函数，其中.
(Ⅰ)函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数，若不能，请说明理由；
(Ⅱ)求最大的整数，使得对任意，不等式恒成立.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线，分别与曲线交于三点（不包括极点）.
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)当时，若两点在直线上，求与的值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)若，求实数的取值范围；
(Ⅱ)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
2018 届广东省六校第三次联考
理科数学参考答案
一、选择题
1-5: BADAA 6-10: CCBCA 11、12：DD
二、填空题
13. 14. 15. 16.① ④
三、解答题
17.解：(Ⅰ)∵,，∴.
∵,∴.
∵,∴.
(Ⅱ)∵①，…②，
∴①-②得，，∵，
∴…③，
…④， ③-④得，，
.
∵，∴是首项3公比2的等比数列，，
故.
18.解：(Ⅰ)当日需求量时，利润，
当日需求量时，利润，
所以关于的函数解析式为.
(Ⅱ)(i)可能的取值为62，71，80，
并且,.的分布列为：
62
71
80
0.1
0.2
0.7
的数学期望为元.
(ii)若小店一天购进17份食品，表示当天的利润（单位：元），那么的分布列为
58
67
76
85
0.1
0.2
0.16
0.54
的数学期望为元.
由以上的计算结果可以看出，,即购进 17 份食品时的平均利润大于购进 16份时的平均利润．所以，小店应选择一天购进 17 份.
19.
解法一：(Ⅰ)取中点，连,∵,∴,
∵是平行四边形，,
,∴,
∴是等边三角形，∴,
∵,∴平面,∴.
∵分别是 的中点,∴,,
∴,,∵,∴平面,
∵平面,∴平面平面.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
∴是二面角的平面角.
∵,
在中，根据余弦定理得,,
∴二面角的余弦值为.
解法二：
(Ⅰ)∵是平行四边形，,
，∴,
∴是等边三角形，∵是的中点，
∴,∵,
∴.
分别以的方向为轴、轴的正方向，为坐标原点，
如图建立空间直角坐标系.
则,,
设，∵,,解得，
∴可得,
∵是的中点，∴,∵,∴,∵,
,∴平面,∵平面,
∴平面平面.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，,,设是平面的法向量，则，∴，
令，则，
又是平面的法向量，
∴，
∴二面角的余弦值为.
注：直接设点，或者说平面,，酌情扣分.
20.解：(Ⅰ)依题意，、，，
∴,
由,,得，∵，
∴，
故椭圆的方程为.
(Ⅱ)假设存在满足条件的点.当直线与轴垂直时，
它与椭圆只有一个交点，不满足题意.
因此直线的斜率存在，设，由，消得
，
设，则，
∵
，
∴要使对任意实数为定值，则只有，此时，.
故在轴上存在点,使得直线与直线的斜率的和为定值1.
21.解：(Ⅰ)由于.
假设函数的图象与轴相切于点，
则有，即.
显然代入方程中得，.
∵，∴无解．故无论取何值，函数的图象都不能与轴相切.
(Ⅱ)依题意，
恒成立.
设，则上式等价于，要使
对任意恒成立，即使在上单调递增，
∴在上恒成立.
则，∴在上成立的必要条件是：.
下面证明：当时，恒成立.
设，则，当时，，当时，，
∴，即.那么，
当时，；
当时，，∴恒成立.
因此，的最大整数值为 3.
22.解：(Ⅰ)证明：依题意，，
，
则.
(Ⅱ)当时，两点的极坐标分别为，
化直角坐标为.
经过点的直线方程为，
又直线经过点，倾斜角为，故.
23.解：(Ⅰ)∵，∴，
①当时，得，∴；
②当时，得，∴；
③当时，得，∴.
综上所述，实数的取值范围是.
(Ⅱ)∵，根据绝对值的几何意义知，当时，的值最小,
∴，即，
解得或.∴实数的取值范围是.
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