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黔东南州2018届高三第一次模拟考试
文科数学试卷
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数满足，则的共轭复数的虚部是（ ）
A． B．-1 C． D．1
3. 经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数（万人次）的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表，在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中，错误的是（ ）
A．旅游总人数逐年增加
B．2017年旅游总人数超过2015、2016两年的旅游总人数的和
C．年份数与旅游总人数成正相关
D．从2014年起旅游总人数增长加快
4.在等差数列中，若，，则（ ）
A．8 B．16 C．20 D．28
5. 某正三棱锥正视图如图所示，则俯视图的面积为（ ）
A． B． C． D．
6. 我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（ ）
A．3步 B．6步 C．4步 D．8步
7.等比数列的前项和为，若公比，，则（ ）
A． B．
C． D．
8. 执行如图的程序框图，当输入的时，输出的（ ）
A．355 B．354 C．353 D．352
9.已知函数，则函数的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
10.已知过抛物线：的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，过，分别作准线的垂线，垂足分别为，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
11.已知梯形中，，，且，，，若点满足，则（ ）
A． B． C． D．
12.如果对定义在上的函数，对任意，均有成立，则称函数为“和谐函数”.给出下列函数：
①；②；③；④.其中函数是“和谐函数”的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13. 若实数，满足，则的最大值是 ．
14.函数的零点个数是 ．
15.直线与圆：交于两点，，当最大时，的最小值为 ．
16.正四面体（四个面均为正三角形的四面体）的外接球和内切球上各有一个动点、，若线段长度的最大值为，则这个四面体的棱长为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知，，分别为三个内角，，的对边，且.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，的面积为，求的值.
18.为提高黔东南州的整体旅游服务质量，州旅游局举办了黔东南州旅游知识竞赛，参赛单位为本州内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游3名，其中高级导游1名.从这6名导游中随机选择2人 参加比赛.
（Ⅰ）求选出的2人都是高级导游的概率；
（Ⅱ）为了进一步了解各旅游协会每年对本地经济收入的贡献情况，经多次统计得到，甲旅游协会对本地经济收入的贡献范围是（单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献范围是（单位：万元），求甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献的概率.
19.如图所示，在三棱锥中，平面，，、分别为线段、上的点，且，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求点到平面的距离.
20.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，上顶点为.动直线：经过点，且是等腰直角三角形.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线交于、两点，若点在以线段为直径的圆上，求实数的值.
21.函数在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求实数，的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ），成立，求实数的取值范围.
请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，点的坐标为，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标系，圆极坐标方程为.
（Ⅰ）当时，求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线与圆的交点为、，证明：是与无关的定值.
23.选修4-5：不等式选讲
设.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ），，求实数的取值范围.
黔东南州2018届高三第一次模拟考试
文科数学参考答案
一、选择题
1-5: BDBCA 6-10: BCBAD 11、12：DB
1．解：由已知，，故选B.
2. 解：由已知得，所以共轭复数，虚部为1，故选D.
3. 解：从图表中看出，选项明显错误．
4. 解：设的公差为，由得，由得联立解得，所以，故选C.
5. 解：由正视图知，该正三棱锥的底边长为6，高为4，则侧视图是一个底边长为，
高为的三角形，其面积为．故选A.
6. 解：由于该直角三角形的两直角边长分别是和，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为，则有(等积法)，解得，故其直径为(步)．故选B.
7. 解：设等比数列的首项为，由；；
所以，即.故选C.
8. 解： ①，则，，
成立，，；
②成立，，；
③成立，，；
④不成立，所以输出.故选．
9. 解：由已知，化简得，又与
的单调性相同且，所以，故选A.
10. 解：设，由已知得代入抛物线方程化简得
，所以，易知四边形为
梯形，故，故选D
11. 解：由已知，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，又，所以
所以，故选D.
12. 解：由已知得，所以函数为“和谐函数”等价于在上为增函数，由此判断①在上为增函数，符合题意；②得，所以在上有增有减，不合题意；③得，
所以在上为增函数，符合题意；④可知为偶函数，不合题意，所以①③符合题意，故选B.
二、填空题
13. 11 14. 2 15. 16. 4
13. 解：本题考查线性规划，答案为．
14. 解：由，得
在同一坐标系中作出与的图象，可知交点个数为2，
即的零点个数为2.
15. 解：由已知，圆方程化为,所以圆心为，
当最大时，直线经过圆心，所以，即，即
所以
当且仅当且时取等号，所以的最小值为.
16. 解：设这个四面体的棱长为，则它的外接球与内切球的球心重合，且半径， ，依题意得．
三、解答题
17. 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得，
因为 ，所以，即
又，
，所以.
（Ⅱ）由已知，
由余弦定理得 ，即，
即，又所以.
18. 解：(Ⅰ)设来自甲旅游协会的名导游为，其中为高级导游，
来自乙旅游协会的名导游为，其中为高级导游，
从这名导游中随机选择人参加比赛，有下列基本情况：;
; ; ;共种，
其中选出的人都是高级导游的有，共种
所以选出的人都是高级导游的概率为 .
(Ⅱ)依题意，设甲旅游协会对本地经济收入的贡献为（单位：万元），
乙旅游协会对本地经济收入的贡献为（单位：万元），则且，
若甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献，
则，属于几何概型问题
作图，由图可知 ，
所求概率为.
19. (Ⅰ)证明：由平面，平面，故
由，得为等腰直角三角形，故
又，故平面．
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，为等腰直角三角形，
过作垂直于，易知，
又平面，所以，，
设点到平面的距离为，即为三棱锥的高，
由得 ，
即，
即，所以，
所以点到平面的距离为.
20. 解：(Ⅰ) 因为直线经过点，所以，
又是等腰直角三角形，所以，
所以故椭圆的标准方程为．
(Ⅱ) 设，，易知，
若点在以线段为直径的圆上，则，即，
所以，即，
化简得①，
由得．
所以，
代入①中得
化简得，解得，或.
因此所求的值为或.
21. 解：(Ⅰ)，依题意得，，则有
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，
由于在区间上为增函数，且，
则当时，；当时，，
故函数的减区间是，增区间是．
(Ⅲ) 由得，所以，
设，只须，
由(Ⅱ)知当时，，即对恒成立．
即（当且仅当时取等号）所以函数，
故的取值范围是．
22. 解：(Ⅰ)当时，的参数方程为（为参数）消去得．
由圆极坐标方程为，得．故直线的普通方程为，
圆的直角坐标方程为．
(Ⅱ)将代入得，．
设其两根分别为，则．由的几何意义知．
故为定值(与无关) ．
23. 解：(Ⅰ)，由解得，
故不等式的解集为．
(Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质知：
在区间为减函数，在区间上为增函数，而，
故在区间上，，．
由．
所以且，
于是且，
故实数的取值范围是．
黔东南州2018届高三第一次模拟考试
文科数学参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1．解：由已知，，故选B.
2. 解：由已知得，所以共轭复数，虚部为1，故选D.
3. 解：从图表中看出，选项明显错误．
4. 解：设的公差为，由得，由得联立解得，所以，故选C.
5. 解：由正视图知，该正三棱锥的底边长为6，高为4，则侧视图是一个底边长为，
高为的三角形，其面积为．故选A.
6. 解：由于该直角三角形的两直角边长分别是和，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为，则有(等积法)，解得，故其直径为(步)．故选B.
7. 解：设等比数列的首项为，由；；
所以，即.故选C.
8. 解： ①，则，，
成立，，；
②成立，，；
③成立，，；
④不成立，所以输出.故选．
9. 解：由已知，化简得，又与的单调性相同且，所以
，故选A.
10. 解：设，由已知得代入抛物线方程化简得
，所以，易知四边形为
梯形，故，故选D
11. 解：由已知，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，又，所以
所以，故选D.
12. 解：由已知得，所以函数为“和谐函数”等价于在上为增函数，由此判断①在上为增函数，符合题意；②得，所以在上有增有减，不合题意；③得，
所以在上为增函数，符合题意；④可知为偶函数，不合题意，所以①③符合题意，故选B.
二、填空题
题号
13
14
15
16
答案
13. 解：本题考查线性规划，答案为．
14. 解：由，得
在同一坐标系中作出与的图象，可知交点个数为2，
即的零点个数为2.
15. 解：由已知，圆方程化为,所以圆心为，
当最大时，直线经过圆心，所以，即，即
所以
当且仅当且时取等号，所以的最小值为
16. 解：设这个四面体的棱长为，则它的外接球与内切球的球心重合，且半径， ，依题意得．
三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得，
因为 ，所以，即
又
所以…………………（6分）
（Ⅱ）由已知
由余弦定理得 ，即
即，又所以 …（12分）
18. 解：(Ⅰ)设来自甲旅游协会的名导游为，其中为高级导游，
来自乙旅游协会的名导游为，其中为高级导游，
从这名导游中随机选择人参加比赛，有下列基本情况：;
; ; ;共种，
其中选出的人都是高级导游的有，共种
所以选出的人都是高级导游的概率为 ………………………（6分）
(Ⅱ)依题意，设甲旅游协会对本地经济收入的贡献为（单位：万元），
乙旅游协会对本地经济收入的贡献为（单位：万元），则且，
若甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献，则，属于几何概型问题
作图，由图可知 ，
所求概率为
……………………………（12分）
19. (Ⅰ)证明：由平面，平面，故
由，得为等腰直角三角形，故
又，故平面． …………………（6分）
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，为等腰直角三角形，
过作垂直于，易知
又平面，所以，
设点到平面的距离为，即为三棱锥的高
由得
即
即，所以
所以点到平面的距离为………………………………（12分）
20. 解：(Ⅰ) 因为直线经过点，所以，
又是等腰直角三角形，所以
所以故椭圆的标准方程为．……（5分）
(Ⅱ) 设，，易知
若点在以线段为直径的圆上，则，即
所以，即
化简得 ①
由得．
所以 …………………………………………（8分）
代入①中得
化简得，解得，或
因此所求的值为或 ……………………………………………（12分）
21. 解：(Ⅰ)， 依题意得，，则有
． …………………………………………………（4分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，
由于在区间上为增函数，且，
则当时，；当时，，
故函数的减区间是，增区间是．…………………………………（8分）
(Ⅲ) 由得，所以
设，只须，
由(Ⅱ)知当时，，即对恒成立．
即（当且仅当时取等号）所以函数， ，
故的取值范围是． …………………………………………………（12分）
22. 解：(Ⅰ)当时，的参数方程为（为参数）消去得．
由圆极坐标方程为，得．故直线的普通方程为
圆的直角坐标方程为． …………………………………………………（5分）
(Ⅱ)将代入得，．
设其两根分别为，则． 由的几何意义知．
故为定值(与无关) ． ………………………………………………（10分）
23. 解：(Ⅰ)，由解得，
故不等式的解集为． …………………………………………………（5分）
(Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质知：
在区间为减函数，在区间上为增函数，而，
故在区间上，，．
由．
所以且，
于是且，
故实数的取值范围是． …………………………………………………（10分）
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