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黔东南州2018届高三第一次模拟考试
理科数学试卷
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.对于复数，若，则（ ）
A．0 B．2 C．-2 D．-1
3.经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数（万人次）的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表，在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中，错误的是（ ）
A．旅游总人数逐年增加
B．2017年旅游总人数超过2015、2016两年的旅游总人数的和
C．年份数与旅游总人数成正相关
D．从2014年起旅游总人数增长加快
4.在等差数列中，若，则（ ）
A．9 B．8 C．6 D．3
5.某正三棱锥正视图如图所示，则俯视图的面积为（ ）
A． B． C． D．
6.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（ ）
A．3步 B．6步 C．4步 D．8步
7.在展开式中存在常数项，则正整数可以是（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
8.执行如图的程序框图，当输入的时，输出的（ ）
A．355 B．354 C．353 D．352
9.给出函数，点，是其一条对称轴上距离为的两点，函数的图象关于点对称，则的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10.过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆的圆心为，半径为.点到的准线的距离与之积为25，则
（ ）
A．40 B．30 C．25 D．20
11.已知、，如果函数的图象上存在点，使，则称是线段的“和谐函数”.下面四个函数中，是线段的“和谐函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
12.在中，角、、所对的边分别为、、.、是线段上满足条件，的点，若，则当角为钝角时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.若实数，满足，则的最大值是 ．
14.已知函数有唯一零点，如果它的零点在区间内，则实数的取值范围是 ．
15.已知、分别是棱长为2的正方体的内切球和外接球上的动点，则线段长度的最小值是 ．
16.已知点是双曲线：右支上一点，的左、右顶点分别为、，的右焦点为，记，，当，且时，双曲线的离心率 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.各项均为正数的等比数列的前项和为.已知，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，求数列的前项和.
18.为提高黔东南州的整体旅游服务质量，州旅游局举办了黔东南州旅游知识竞赛，参赛单位为本州内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这8名导游中随机选择4人 参加比赛.
（Ⅰ）设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率.
（Ⅱ）设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
19.如图所示，在三棱锥中，平面，，，、分别为线段、上的点，且，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
20.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，上顶点为.动直线：经过点，且是等腰直角三角形.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线交于、两点，若点在以线段为直径的圆外，求实数的取值范围.
21.函数在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求实数，的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ），成立，求实数的取值范围.
请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，点的坐标为，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标系，圆极坐标方程为.
（Ⅰ）当时，求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线与圆的交点为、，证明：是与无关的定值.
23.选修4-5：不等式选讲
设.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ），，求实数的取值范围.
黔东南州2018届高三第一次模拟考试
理科数学参考答案
一、选择题
1-5: CCBAD 6-10: BCBBA 11、12：DA
1.解：由，故．
2.解：由得．
3.解：从图表中看出，选项明显错误．
4.解：设的公差为，由得，则．
5.解：由正视图知，该正三棱锥的底边长为6，高为4，则侧视图是一个底边长为，高为的三角形，其面积为．
6.解：由于该直角三角形的两直角边长分别是和，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为，则有(等积法)，解得，故其直径为(步)．
7.解：通项，
依题意得．故是的倍数，只有选项符合要求．
8.解：①，则，，
成立，，；
②成立，，；
③成立，，；
④不成立，所以输出.故选．
9.解：本题抓住一个主要结论——函数的最小正周期为，则点到直线
距离的最小值为，从而得到面积的最小值为，故选．
10.解：由抛物线的性质知，点到的准线的距离为，依题意得，又点到的准线的距离为 ，则有，故．
11.解：由于线段的垂直平分线方程为，则函数是线段的“和谐函数”与直线有公共点有零点．利用函数的导函数的性质，经检验知，只有函数的图像上存在点满足上上述条件，故选．
12.解：依题意知、分别是线段上的两个三等分点，则有， ，
则，而，
则，得，
由为钝角知，又，
则有，故选．
二、填空题
13.解：本题考查线性规划，答案为．
14.解：因为在上单调递增，所以．
15.解：依题意知，该正方体的内切球半径为，外接球的半径为，且这两个球同心，则线段长度的最小值是．
16.解：由已知得，，则
又，则有或（舍）．
三、解答题
17.解：(Ⅰ)设的公比为，由，得
，
于是，解得（不符合题意，舍去）
故．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，则，
则…
．
18.解：(Ⅰ)由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法；
当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法，则
，所以事件发生的概率为.
(Ⅱ)随机变量的所有可能取值为1，2，3，4．
，，
，．
所以,随机变量的分布列为
1
2
3
4
则随机变量的数学期望（人）．
19.(Ⅰ)证明：由平面，平面，故
由，得为等腰直角三角形，故
又，故平面．
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，为等腰直角三角形，
过作垂直于，易知又已知，故
以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则
则有，．
设平面的法向量为，则有
，可取；
因为平面，所以平面的法向量可取．
则．
而二面角为锐二面角，故其余弦值为．
20.解：(Ⅰ) 因为直线经过点，所以，
又是等腰直角三角形，所以所以
故椭圆的标准方程为．
(Ⅱ) 设，，将与联立消得
．，
点在以线段为直径的圆外等价于，
，解得故实数的取值范围是．
21. 解：(Ⅰ)，
依题意得，，则有
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，
由于在区间上为增函数，且，
则当时，；当时，，
故函数的减区间是，增区间是．
(Ⅲ) 因为，
于是构造函数，
，成立，等价于，
由(Ⅱ)知当时，，即对恒成立．
即（当且仅当时取等号）
所以函数，又时，，
所以． …（11分）故的取值范围是．
22. 解：(Ⅰ)当时，的参数方程为（为参数），
消去得．由圆极坐标方程为，得．
故直线的普通方程为圆的直角坐标方程为．
(Ⅱ)将代入得， ．
设其两根分别为，则．
由的几何意义知．故为定值(与无关) .
23. 解：(Ⅰ)，
由解得，
故不等式的解集为．
(Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质知：
在区间为减函数，在区间上为增函数，
而，
故在区间上，，．
由．
所以且，
于是且，
故实数的取值范围是．
黔东南州2018届高三第一次模拟考试
理科数学参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1． 解：由，故．
2． 解：由得．
3． 解：从图表中看出，选项明显错误．
4． 解：设的公差为，由得，则．
5． 解：由正视图知，该正三棱锥的底边长为6，高为4，则侧视图是一个底边长为，高为的三角形，其面积为．
6． 解：由于该直角三角形的两直角边长分别是和，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为，则有(等积法)，解得，故其直径为(步)．
7． 解：通项，
依题意得．故是的倍数，只有选项符合要求．
8． 解：①，则，，
成立，，；
②成立，，；
③成立，，；
④不成立，所以输出.故选．
9． 解：本题抓住一个主要结论——函数的最小正周期为，则点到直线距离的最小值为，从而得到面积的最小值为，故选．
10． 解：由抛物线的性质知，点到的准线的距离为，依题意得，又点到的准线的距离为 ，则有，故
．
1． 解：由于线段的垂直平分线方程为，则函数是线段的“和谐函数”与直线有公共点有零点．利用函数的导函数的性质，经检验知，只有函数的图像上存在点满足上上述条件，故选．
2． 解：依题意知、分别是线段上的两个三等分点，则有， ，则，而，则，得，由为钝角知，又，则有，故选．
二、填空题
题号
13
14
15
16
答案
3． 解：本题考查线性规划，答案为．
4． 解：因为在上单调递增，所以．
5． 解：依题意知，该正方体的内切球半径为，外接球的半径为，且这两个球同心，则线段长度的最小值是．
6． 解：由已知得，，则
又，则有或（舍）．
三、解答题
7． 解：(Ⅰ)设的公比为，由，得
， …………………………………………………（2分）
于是，解得（不符合题意，舍去） ……………（4分）
故． …………………………………………………（6分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ， ……（8分）则，
则… ………（10分）
． …………（12分）
1． 解：(Ⅰ)由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法；
当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法，则 ……………（2分）
，所以事件发生的概率为. ……（6分）
(Ⅱ)随机变量的所有可能取值为1，2，3，4． ……………………………（7分）
，，
，． ………………（11分）
所以,随机变量的分布列为
1
2
3
4
则随机变量的数学期望（人）．……（12分）
2． (Ⅰ)证明：由平面，平面，故
由，得为等腰直角三角形，故
又，故平面． ……………（6分）
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，为等腰直角三角形，
过作垂直于，易知又已知，故（7分）
以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则
则有，．
设平面的法向量为，则有
，可取；
因为平面，所以平面的法向量可取．…………（9分）
则． …………………………………………（11分）
而二面角为锐二面角，故其余弦值为． ………………（12分）
1． 解：(Ⅰ) 因为直线经过点，所以，
又是等腰直角三角形，所以所以
故椭圆的标准方程为． ……………………………………………（5分）
(Ⅱ) 设，，将与联立消得
． ………（8分）
点在以线段为直径的圆外等价于，
，解得故实数的取值范围是．…（12分）
21. 解：(Ⅰ)， …………………………………………………（1分）
依题意得，，则有 ………………………………（2分）
． …………………………………………………（4分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，
由于在区间上为增函数，且，
则当时，；当时，，
故函数的减区间是，增区间是．……………………………（8分）
(Ⅲ) 因为，
于是构造函数，
，成立，等价于………………（9分）
由(Ⅱ)知当时，，即对恒成立．
即（当且仅当时取等号）
所以函数，又时，，
所以． …（11分）故的取值范围是． …（12分）
22. 解：(Ⅰ)当时，的参数方程为（为参数）
消去得．由圆极坐标方程为，得．
故直线的普通方程为圆的直角坐标方程为． ……（5分）
(Ⅱ)将代入得， ．
设其两根分别为，则．
由的几何意义知．故为定值(与无关)（10分）
23. 解：(Ⅰ)，
由解得，
故不等式的解集为． ……………………………………………（5分）
(Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质知：
在区间为减函数，在区间上为增函数，
而，
故在区间上，，．
由．
所以且，
于是且，
故实数的取值范围是． …………………………………………………（10分）
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