2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学文科（三）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（ ）
A． B． C． D．
2．设，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．20 B．23 C．24 D．28
4．若，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
5．设，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．1 B．16 C．20 D．22
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，
则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正方体的八个顶点中任取两个点作直线，与直线异面且夹角成的直线的条数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．过圆上一点作圆的两条切线，切点分别为、，若，则实数（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
10．执行如图所示程序框图，输出的（ ）
S＝S＋8
开始
否
T>S？
结束
是
S＝1，T=0,n=0 n=＝0
n＝n+2
输出S
T＝T+2n
A．25 B．9 C．17 D．20
11．已知，分别是椭圆的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点，使得的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．在边长为2的等边中，是的中点，点是线段上一动点，
则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为________．
14．若，满足，则的最大值为______．
15．设函数，若，则实数的取值范围是______．
16．直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，，，则此球的表面积等于______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分）
在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）已知外接圆半径，且，求的周长．
18．(本小题满分12分）
某中学为了丰富学生的课外文体活动，分别开设了阅读、书法、绘画等文化活动；跑步、游泳、健身操等体育活动．该中学共有高一学生300名，要求每位学生必须选择参加其中一项活动，现对高一学生的性别、学习积极性及选择参加的文体活动情况进行统计，得到数据如下：
（1）在选择参加体育活动的学生中按性别分层抽取6名，再从这6名学生中抽取2人了解家庭情况，求2人中至少有1名女生的概率；
（2）是否有的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关?请说明你的理由．
附：参考公式：，其中．
19．(本小题满分12分）
如图，多面体中，底面是菱形，，四边形是正方形，且平面．
（1）求证：平面；
（2）若，求多面体的体积．
20．(本小题满分12分）
已知椭圆经过点，且右焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，当最大时，求直线的方程．
21．(本小题满分12分）
已知．
求在处的切线方程；
求证：当时，．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，曲线：（为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系取相同单位长度的极坐标系中，曲线：．
（1）求曲线的普通方程以及曲线的平面直角坐标方程；
（2）若曲线上恰好存在三个不同的点到曲线的距离相等，求这三个点的极坐标．
（2）∵圆心到曲线：的距离，
23．(本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
若，，且．
（1）求的最小值；
（2）是否存在，，使得的值为？并说明理由．
2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学文科（三）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】，故选C．
2．【答案】B
【解析】，则，故，故选B．
3．【答案】D
【解析】由于数列是等差数列，故，解得，，
故．故选D．
4．【答案】D
【解析】由题意可得，故选D．
5.【答案】B
【解析】由题可知，再画出约束条件所表示的可行域，如图所示，
结合图象可知当平移到过点时，目标函数取得最大值，
又由，解得，此时目标函数的最大值为，故选B．
6．【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体由两个同底的圆锥拼接而成，圆锥的底面半径，高，所以该几何体的体积为，故选B．
7．【解析】在正方体的八个顶点中任取两个点作直线，
与直线异面且夹角成的直线有：，，，，共4条．故选B．
8．【答案】B
【解析】，，故，故选B．
9．【答案】A
【解析】如图所示，
取圆上一点，过作圆的两条切线、，
当时，，且，；，
则实数．故选A．
10．【答案】C
【解析】按照程序框图依次执行为，，；，，；
，，，退出循环，输出．故选C．
11．【答案】A
【解析】由题知，，，设椭圆的右顶点为，
的面积为，
∴的面积的最大值时为，，，
∴，∴，故选A．
12．【答案】B
【解析】画出图像如下图所示，
以，分别为，轴建立平面直角坐标系，故，，
设，所以，
根据二次函数的性质可知，对称轴，
故当或时取得最大值为0，当时取得最小值为，故的取值范围是．故选B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】6
【解析】由系统抽样方法从学号为1到48的48名学生中抽取8名学生进行调查，把48人分成8组，
抽到的最大学号为48，它是第8组的最后一名，则抽到的最小学号为第一组的最后一名6号．故答案为6．
14．【答案】
【解析】由，满足，作出可行域如图，
联立，解得，函数为，由图可知，
当直线过时，直线在轴上的截距最小，的最大值为1．故答案为．
15．【答案】
【解析】如图所示：
可得的图像与的交点分别为，，
∴，则实数的取值范围是，可得答案．
16．【答案】
【解析】如图，在中，，，，
由勾股定理可得，可得外接圆半径，
设此圆圆心为，球心为，在中，可得球半径，
∴此球的表面积为．故答案为．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，
即，，
又，．
（2），，
，∴由余弦定理可得，，
∴，
∵，所以得，∴周长．
18．(本小题满分12分）
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）由题意知参加体育活动的学生中，男生人数为60人，女生人数为30人，
按性别分层抽取6名，则男生被抽取的人数为，
女生被抽取的人数为，
记4名男生分别为，，，，2名女生为，，
则从这6名学生中抽取2人的情况有，，，，，，，，，，，，，，，
一共15种情况，2人中至少有1名女生共有9种情况，概率为．
（2）列联表为：
学习积极性高
学习积极性不高
总计
参加文化活动
180
30
210
参加体育活动
60
30
90
总计
240
60
300
，
∴有的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关．
19．(本小题满分12分）
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）证明：∵是菱形，∴，
又平面，平面，∴平面．
又是正方形，∴．
∵平面，平面，∴平面，
∵平面，平面，，
∴平面平面，∴平面．
（2）解：连接，记．
∵是菱形，，且．
由平面，平面，．
∵平面，平面，，
∴平面于，即为四棱锥的高．
由是菱形，，则为等边三角形，
由，则，，，，
．
20．(本小题满分12分）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设椭圆的左焦点，则，
又，所以椭圆的方程为．
（2）由，设，，
由，且，，
．
设，则，，
当，即时，有最大值，此时．
21．(本小题满分12分）
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1），
故，故切线方程是．
（2）令，，
令，解得，令，解得，
故在递减，在，故，故，
∵，
∴，
故时，．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
【答案】（1），；（2），，．
【解析】（1）由消去参数得，即曲线的普通方程为，
又由得，
即为，即曲线的平面直角坐标方程为．
（2）∵圆心到曲线：的距离，
如图所示，∴直线与圆的切点以及直线与圆的两个交点，即为所求．
∵，则，直线的倾斜角为，
即点的极角为，∴点的极角为，点的极角为，
∴三个点的极坐标为，，．
23．(本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
【答案】（1）；（2）不存在，，使得的值为．
【解析】（1），，
，，，当且仅当时取等号，
，．，
，当且仅当时取等号．
（2），，，
，不存在，，使得的值为．
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