2019年全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科Word版含解析.doc

‎2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.是恒成立的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎3．若，则， ， ， 的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎4.圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎5．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．长方体，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．下图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的值分别为8，10，0，则输出和的值分别为（ ）‎ A． 2，4 B． 2，5 C． 0，4 D． 0，5‎ ‎9.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎10．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则当取最小值时，（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知为抛物线的焦点，为抛物线上三点，当时，称为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ）‎ A． 0个 B． 1个 C． 3个 D． 无数个 ‎12．已知定义在上的偶函数的导函数为，函数满足：当时，，且．则不等式的解集是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13． 若=（），则的值 为 ． ‎ 14． 如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为 ．‎ ‎15．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）.‎ ‎16．直三棱柱的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为，则该三棱柱体积的最大值为__________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 已知函数，满足，，且的最小值为．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数在上的单调区间和最大值、最小值．‎ ‎18．（本题满分12分）‎ 由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从湖口中学随机抽取16名学生，经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：‎ ‎（1）指出这组数据的众数和中位数； ‎ ‎（2）若视力测试结果不低于则称为“好视力”，求校医从这16人中选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；‎ ‎（3）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记表示抽到“好视力”学生的人数，求的分布列及数学期望．‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，，，，，，是棱中点且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）设点是线段上一动点，且，当直线与平面所成的角最大时，求的值.‎ ‎20．（本题满分12分）‎ 已知双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.‎ ‎21．（本题满分12分）‎ 已知函数在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若存在，满足，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系中，已知曲线、的参数方程分别为：，‎ ‎：．‎ ‎（1）求曲线、的普通方程；‎ ‎（2）已知点，若曲线与曲线交于、两点，求的取值范围．‎ ‎23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2），，求的取值范围．‎ ‎2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】C ‎【解析】，故选C．‎ ‎2.【答案】A ‎【解析】设 成立；反之， ，故选A.‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】因为，所以.‎ ‎.‎ ‎,所以,.‎ 综上： .‎ ‎4.【答案】A ‎【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：‎ ‎，解得，故选A．‎ ‎5．【答案】B ‎【解析】∵双曲线的渐近线方程为，‎ 又直线斜率为3，∴故，‎ 双曲线的离心率，故选B.‎ ‎6．【答案】．D ‎【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为： ‎ 落在内切圆内的概率为，故落在圆外的概率为 ‎7．【答案】A ‎【解析】∵，∴异面直线与所成的角即为与所成的角．‎ 在中，，，，‎ ‎∴．故选A．‎ ‎8．【答案】B ‎【解析】模拟执行程序框图，可得，‎ ‎，不满足，‎ 不满足；‎ 满足；‎ 满足；‎ 满足；‎ 不满足，满足，输出的值为2，的值为，故选B.‎ ‎9.【答案】A[QQ 群 545423319:QQ 群 545423319ZXXK]‎ ‎【解析】该几何体直观图如图所示：‎ 是一个球被切掉左上角的,设球的半径为,则,解得,所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和故选A．‎ ‎10．【答案】C ‎【解析】由正弦定理得 ，∴，，‎ ‎∴，‎ 当，即时取最小值．故选C．‎ ‎11．【答案】D ‎【解析】‎ 抛物线方程为,为曲线上三点，‎ 当时，为的重心，‎ 用如下办法构造，‎ 连接并延长至，使，‎ 当在抛物线内部时，‎ 设若存在以为中点的弦，‎ 设，‎ 则，‎ 则，两式相减化为，，‎ 所以总存在以为中点的弦，所以这样的三角形有无数个，故选D.‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】当时，，∴，‎ 令，则，即当时，单调递增．‎ 又为上的偶函数，∴为上的奇函数且，‎ 则当时，单调递增．不等式，当时，，‎ 即，，即，∴；‎ 当时，，，，‎ 即，∴．综上，不等式的解集为．故选C．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】-1‎ ‎【解析】在二项式展开式中，令，得，令得，所以，故选C.‎ ‎14.【答案】‎ ‎【解析】析 画出可行域如图7-14所示阴影部分（含边界），设圆心为到直线的距离为，则，所以，故选A.‎ 图 7-14‎ ‎15．【答案】120‎ ‎【解析】先选一个插入甲乙之间（甲乙需排列），再选一个排列即可.‎ 详解：先从除了甲乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有种，‎ 最后再选出一人和刚才的三人排列得：.‎ 故答案为：120.‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】设三棱柱底面直角三角形的直角边为，，则棱柱的高，‎ 设外接球的半径为，则，解得，‎ ‎∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，‎ ‎∴．∴，∴，∴．当且仅当时“”成立．‎ ‎∴三棱柱的体积．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本题满分12分）‎ ‎【答案】（1）；（2）1，．‎ ‎【解析】（1）‎ ‎，‎ 又，，且的最小值为，则，‎ ‎∴周期，则，∴；‎ 由辅助角公式得，∴，‎ 即，，则（，时取等号）．‎ ‎（2）∵，∴，‎ 令得，令得，‎ ‎∴的增区间为，减区间为．‎ ‎∵在区间上单调递增，在区间上上单调递减，‎ 又∵，，∴，．‎ ‎18．（本题满分12分）‎ ‎【答案】（1）众数：和；中位数：；（2）；（3）．‎ ‎【解析】（1）众数：和；中位数：．‎ ‎（2）设表示所取3人中有个人是“好视力”，至多有1人是“好视力”记为事件，‎ 则．‎ ‎（3）一个人是“好视力”的概率为，的可能取值为0，1，2，3．‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎．‎ 19． ‎（本题满分12分）‎ ‎【答案】（1）见证明（2）‎ ‎【解析】（1）取中点，连接，，‎ 因为为的中点，所以且，‎ 所以四边形为平行四边形，所以，‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）因为为的中点，设，‎ 在中，∵，设，则，所以，‎ 由余弦定理得，‎ 即，所以，则，所以，所以，‎ ‎∵，且，所以平面，且，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，‎ 因为点是线段上一点，可设，‎ ‎，又面的法向量为，设与平面所成角为，则 ‎，‎ 所以当时，即，时，取得最大值.‎ 所以与平面所称的角最大时.‎ 20． ‎（本题满分12分）‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）双曲线的焦点坐标为，离心率为.‎ 因为双曲线的焦点是椭圆：的顶点，‎ 且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以，且，解得.‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎（2）因为，所以直线的斜率存在.‎ 因为直线在轴上的截距为，所以可设直线的方程为.‎ 代入椭圆方程得.‎ 因为，所以.‎ 设，，根据根与系数的关系得，则.‎ 因为，即.整理得 ‎.‎ 令，则.‎ 所以.‎ 等号成立的条件是，此时，满足，符合题意.故的最大值为.‎ ‎21．（本题满分12分）‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）函数的定义域为，因为，所以 ‎.‎ 所以函数在点处的切线方程为，即.‎ 已知函数在点处的切线方程为，比较求得.所以实数的值为.‎ ‎（2）由，即.所以问题转化为在上有解.‎ 令，，则 ‎.‎ 令，所以当时，有.‎ 所以函数在区间上单调递减，所以.‎ 所以，即在区间上单调递减.所以.‎ 所以实数的取值范围为.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎【答案】（1）：，：；（2）．‎ ‎【解析】（1）曲线的普通方程为：，‎ 当，时，曲线的普通方程为：，‎ 当，时，曲线的普通方程为：；‎ ‎（或曲线：）‎ ‎（2）将：代入：化简整理得：‎ ‎，‎ 设，对应的参数分别为，，，‎ 则恒成立，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴．‎ ‎23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，，‎ ‎①当时，，令，即，解得，‎ ‎②当时，，显然成立，∴，‎ ‎③当时，，令，即，解得，‎ 综上所述，不等式的解集为．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∵，有成立，∴只需，解得，∴的取值范围为．‎