2019年全国卷Ⅱ高考压轴卷数学文科Word版含解析.doc

‎2019全国卷Ⅱ高考压轴卷数学文科 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．已知集合， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知向量，，，则与的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得面包成等差数列，且较大的三份之和的等于较小的两份之和，问最小的一份为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（　　　）‎ A．　　　　B．　　　C．或　　　　D．或 ‎【答案】D ‎6． 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为　　‎ A．4 B． C． D．2‎ ‎7.在中，内角所对的边分别为，若， ，则角（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎8. 如图为函数的图象，则该函数可能为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎9．执行如图所示程序框图，若输出的值为，在条件框内应填写（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点在抛物线上，点到准线的距离为，点关于准线的对称点为点， 交轴于点，若， ，则实数的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．已知不等式组表示的平面区域为，若是整数，且平面区域内的整点恰有3个（其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则的值是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎12．已知函数的导函数为，且满足， ，若函数恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为_______．‎ ‎14．设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为 ． ‎ ‎15．已知正四棱锥内接于半径为的球中（且球心在该棱锥内部），底面的边长为2，则点到平面的距离是__________．‎ ‎16．若双曲线上存在一点满足以为边长的正三角形的内切圆的面积等于（其中为坐标原点， 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率的取值范围是 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本小满分题12分）‎ 设数列的前项和为，.‎ ‎ （1）求证：是等差数列；‎ ‎ （2）设是数列的前项和，求使对所有的都成立的最大正整数的值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 进入11月份，香港大学自主招生开始报名，“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图：‎ ‎（1）估计五校学生综合素质成绩的平均值；‎ ‎（2）某校决定从本校综合素质成绩排名前6名同学中，推荐3人参加自主招生考试，若已知6名同学中有4名理科生，2名文科生，试求这2人中含文科生的概率．‎ ‎19.（本题满分12分）如图，在三棱锥中， ， ， 底面，以为直径的圆经过点.‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）若，过直线作三棱锥的截面交于点，且，求截面分三棱锥所成的两部分的体积之比.‎ 20. ‎（本小题满分12分）‎ 已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，且椭圆C过点P(3，2)．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）与直线OP平行的直线交椭圆C于A，B两点，求△PAB面积的最大值．‎ 21. ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数（为常数）的图象与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为．‎ ‎（1）求的值及函数的单调区间；‎ ‎（2）设，证明：当时，恒成立．‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲 线的参数方程为（为参数），过原点且倾斜角为的直线交于、两点．‎ ‎（1）求和的极坐标方程；‎ ‎（2）当时，求的取值范围．‎ ‎23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若，对，，使成立，求实数的取值范围．‎ ‎ 2019全国卷Ⅱ高考压轴卷数学文科答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】D ‎【解析】设复数，，则，因为，所以，所以，所以可得，解得，所以，所以复数z在复平面内对应点在第四象限上．故选D．‎ ‎2【答案】A ‎【解析】 因为， ，‎ 所以，故选A.‎ ‎3.【答案】B ‎【解析】∵，∴．设与的夹角为，则，又，∴，即与的夹角为．‎ ‎4.【答案】C ‎【解析】分析：根据已知条件，设等差数列的公差为，将已知条件转化为等式，求出等差数列的首项和公差，再得出答案。‎ 详解：设等差数列 的公差为，由已知有 ，解得 ，故最小一份是，选C.‎ 点睛：本题主要考查了等差数列的基本量的计算，属于容易题。注意从已知的条件中找出数学等式。‎ ‎5.【答案】D ‎【解析】由，得，当时，曲线为椭圆，其离心率为；当时，曲线为双曲线，其离心率为，故选B．‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，‎ 底面面积为：，底面周长为：，故棱柱的表面积，故选：B．．‎ ‎7．【答案】B ‎【解析】 因为，所以由正弦定理，得，即，‎ ‎ 由，得，‎ 显然，所以，‎ 等式两边同时除以，得，‎ 将代入得，‎ 由余弦定理得，‎ 又因为，所以，故选B.‎ ‎8.【解析】：根据题意，由的图象分析可得为奇函数，‎ 进而依次分析选项：‎ 对于，，有，函数为偶函数，不符合题意；‎ 对于，，有，函数为奇函数，‎ 且时，，时，，符合题意，‎ 对于，，有，函数为奇函数，‎ 且时，，时，，不符合题意，‎ 对于，，当时，，反之当时，，不符合题意；‎ 故选：B ‎9.【答案】D ‎【解析】模拟执行程序，可得：，，‎ 满足判断框内的条件，第1次执行循环体，，，‎ 满足判断框内的条件，第2次执行循环体，，，‎ 满足判断框内的条件，第3次执行循环体，，，‎ 满足判断框内的条件，第4次执行循环体，，，‎ 此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的值为，‎ 则条件框内应填写，故选D．‎ ‎10．【答案】D ‎【解析】 由抛物线的定义，得， 因为，所以，‎ 又因为点关于准线的对称点为，所以，所以，‎ 即，所以，故选D.‎ ‎11．【答案】B ‎【解析】 根据题意可知，又是整数，‎ 所以当时，平面区域为，此时平面区域内内只有整点，共个，不符合题意；‎ 当时，平面区域为，此时平面区域内内只有整点，共个，符合题意；‎ 当时，平面区域为，此时平面区域内内只有整点， ，共个，不符合题意；‎ 依次类推，当时，平面区域内的整点一定大于个，否不符合题意， 综上，整数的值为，故选B.‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】 由，则，‎ 又由，可得的对称轴为，可知，‎ 所以，由，可得， 可得，即，设， ，‎ 可知函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，‎ 可知，故实数的取值范围为，故选C.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】10‎ ‎【解析】∵高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名，‎ ‎∴若在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为，‎ 则，即，故答案为10．‎ ‎14．【答案】 ‎ ‎【解析】 ，由于曲线在点处的切线倾斜角的取值范围为，所以其切线的斜率的范围为，根据导数的几何意义，得，即.‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】 如图所示，连接与交于点，显然球心在正四棱锥的高上， 因为球的半径为，所以，又因为底面的边长为，所以， ,在中，由勾股定理得，所以,所以，‎ 在中，由勾股定理得，‎ 设点到平面的距离为，则由 ，‎ 得，解得.‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】 由题意以为边长的正三角形内切圆的半径为， 所以内切圆的面积为，‎ 又为双曲线上一点，从而，所以， 又以为边长的正三角形的内切圆的面积等于，所以， 得，即，所以双曲线的离心率的取值范围是.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.【答案】（1）见解析（2）5‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意， ①‎ ‎ 故有 ②‎ ‎ 由①-②，可得，即，所以有，‎ ‎ 令，代入式①，可得，故，故有，‎ ‎ 故数列是以10为首项，以10为公比的等比数列，故.‎ ‎ 所以，即有，‎ ‎ 故是等差数列，且首项为，公差为1.‎ ‎ （2）由（1）可知，所以，‎ ‎ 故.‎ 由，可知.‎ 依题意，，解得，则最大正整数的值为5.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（1）平均值为；（2）．‎ ‎【解析】（1）依题意可知：‎ ‎，‎ 所以综合素质成绩的的平均值为．‎ ‎（2）设这6名同学分别为，，，，1，2，其中设1，2为文科生，‎ 从6人中选出3人，所有的可能的结果，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种，‎ 其中含有文科学生的有，，，，，，，‎ ‎，，，，，，，，共16种，‎ 所以含文科生的概率为．‎ ‎19.【答案】（(1)见解析;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意得，再根据因为底面，求得，即可利用线面垂直的判定定理，证得平面.‎ ‎（2）根据题意得是的角平分线，得到截面分三棱锥所成的两部分，即可求解两部分的体积比.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为以为直径的圆经过点，‎ 所以.‎ 因为底面， 平面，‎ 所以.‎ 又因为，‎ 所以平面.‎ ‎（2）若，则.‎ 因为，又，‎ 所以，‎ 即是的角平分线.‎ 所以.‎ 所以截面分三棱锥所成的两部分，‎ 即三棱锥与三棱锥的体积之比等于.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（1）＋＝1（2）6‎ ‎【解析】（1）设椭圆C的方程为＋＝1（a＞b＞0），‎ 由题意可得解得 故椭圆C的方程为＋＝1． …5分 ‎（2）直线OP方程为2x－3y＝0，设直线AB方程为2x－3y＋t＝0（t∈R，且t≠0）．‎ 将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得8x2＋4tx＋t2－72＝0．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 当Δ＝16t2－32(t2－72)＝16(144－t2)＞0，即0＜|t|＜12时，‎ 得x1＋x2＝－，x1x2＝．‎ 所以|AB|＝·，点O到直线AB的距离为d＝，‎ ‎△PAB的面积S＝|AB|d＝≤＝6．‎ 等号当且仅当t2＝72时成立．‎ 故△PAB面积的最大值为6． ‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）令，得，则，‎ ‎，，解得，，‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减．‎ 的单调递增区间为，单调递减区间为．‎ ‎（2）证明：当时，，‎ 令，则，，‎ 当时，，递减；‎ 当时，，递增，‎ ‎，‎ 在上单调递增，，‎ ‎，当时，．‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意可得，直线的极坐标方程为．‎ 曲线的普通方程为，‎ 因为，，，‎ 所以极坐标方程为．‎ ‎（2）设，，且，均为正数，‎ 将代入，得，‎ 当时，，所以，‎ 根据极坐标的几何意义，，分别是点，的极径．‎ 从而．‎ 当时，，故的取值范围是．‎ ‎23．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）不等式等价于或或，‎ 解得或或，所以不等式的解集为．‎ ‎（2）由知，当时，；‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号，‎ 所以，解得．故实数的取值范围是．‎