2019年全国卷Ⅰ高考压轴卷数学文科Word版含解析.doc

‎2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学文科（一）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，集合，则集合＝（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2． 已知复数满足，则　　‎ A． B．5 C． D．10‎ ‎3．下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为，课间休息10分钟.某学生因故迟到，若他在之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．函数的最小正周期是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．若，则， ， ， 的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7． 若实数，满足条件，则的最大值为　　‎ A．10 B．6 C．4 D．‎ ‎8． 已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎9． 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为　　‎ A．7 B．9 C．10 D．11‎ ‎10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为（ ）‎ A. B. 5 C. D. 6‎ ‎11． 中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎12． 在四面体中，，，，则它的外接球的面积　　‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．数列中，且满足.，数列的通项公式 ‎ ‎14． 已知是上的偶函数，且在，单调递增，若（4），则的取值范围为　 　．‎ ‎15．在中，角的对边分别为，的等差中项且，的面积为，则的值为__________．‎ ‎16．已知抛物线的焦点是，直线交抛物线于两点，分别从两点向直线 作垂线，垂足是，则四边形的周长为__________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A ‎ B C ‎ D ‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 在右图所示的四边形ABCD中，∠BAD＝90°， ∠BCD＝150°，∠BAC＝60°，AC＝2，AB＝＋1．‎ ‎（Ⅰ）求BC；‎ ‎（Ⅱ）求△ACD的面积．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：‎ 使用年数 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ 售价 ‎16‎ ‎13‎ ‎9.5‎ ‎7‎ ‎4.5‎ ‎（Ⅰ）试求y关于x的回归直线方程；（参考公式：＝，＝－．）‎ ‎（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w＝0.05x2－1.75x＋17.2万元，根据（Ⅰ）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大？‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ P 在四棱锥P-ABCD中，△PAD为等边三角形，底面ABCD 等腰梯形，满足AB∥CD，AD＝DC＝AB＝2，且平面PAD⊥平面ABCD．‎ ‎（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）求点C到平面PBD的距离．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知动点P到直线l：x＝－1的距离等于它到圆C：x2＋y2－4x＋1＝0的切线长（P到切点的距离）．记动点P的轨迹为曲线E．‎ ‎（Ⅰ）求曲线E的方程；‎ ‎（Ⅱ）点Q是直线l上的动点，过圆心C作QC的垂线交曲线E于A，B两点，问是否存在常数λ，使得|AC|·|BC|＝λ|QC|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数f(x)＝ln(mx)－x＋1，g(x)＝(x－1)ex－mx，m＞0．‎ ‎（Ⅰ）若f(x)的最大值为0，求m的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：g(x)仅有一个极值点x0，且ln(m＋1)＜x0＜m．‎ 请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，M(－2，0)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A(ρ，θ)为曲线C上一点，B(ρ，θ＋)，|BM|＝1．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求|OA|2＋|MA|2的取值范围．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知a＞b＞c＞d＞0，ad＝bc．‎ ‎（Ⅰ）证明：a＋d＞b＋c；‎ ‎（Ⅱ）比较aabbcddc与abbaccdd的大小．‎ ‎2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学文科（一）答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】C ‎【解析】根据题意可得，，解得，满足题意，所以集合＝．故选C．‎ ‎2． 【答案】C ‎【解析】：，，．故选：．‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】函数即是奇函数也是上的增函数，对照各选项： 为非奇非偶函数，排除 ；为奇函数，但不是上的增函数，排除 ；为奇函数，但不是上的增函数，排除 ；为奇函数，且是上的增函数，故选D.‎ ‎4．【答案】A ‎【解析】由题意知第二节课的上课时间为 ，该学生到达教室的时间总长度为 分钟，其中在 进入教室时，听第二节的时间不少于分钟，其时间长度为分钟，故所求的概率 ，故选A.‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】 因为 ‎ ，‎ ‎ 所以其最小正周期为，故选C.‎ ‎6．【答案】D ‎【解析】因为，所以..‎ ‎,所以,.综上： .‎ ‎7．【答案】B．‎ ‎【解析】：先根据实数，满足条件画出可行域如图，‎ 做出基准线，‎ 由图知，当直线过点时，最大值为：6．故选：．‎ ‎8． 【答案】C ‎【解析】：根据双曲线的性质可得，中在双曲线上，‎ 则一定不在双曲线上，则在双曲线上，‎ ‎，，解得，，，，故选：．‎ ‎9． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】：模拟程序的运行，可得：‎ ‎，否；‎ ‎，否；‎ ‎，否；‎ ‎，否；‎ ‎，‎ 是，输出，‎ 故选：B．‎ ‎10．【答案】C ‎【解析】 由三视图可知，该几何体是四棱锥，如图所示，‎ ‎ 其中侧棱平面，‎ ‎ 则,‎ ‎ 所以该几何体的最长的棱的长度为，故选C．‎ ‎11． 【答案】B．‎ ‎【解析】中，，，，‎ ‎，，，；‎ 以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，‎ 如图所示，‎ ‎，，，‎ ‎，，，，‎ 设点为，，，‎ ‎，‎ ‎，，，，，‎ ‎，‎ ‎，①‎ 直线的方程为，②，‎ 联立①②，得，‎ 此时最大，‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎12． 【答案】D ‎【解析】：如下图所示，‎ ‎，，由勾股定理可得，，‎ 所以，，设的中点为点，则，‎ 则点为四面体的外接球球心，且该球的半径为，‎ 因此，四面体的表面积为．故选：D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】 由题意，，所以为等差数列.设公差为，‎ 由题意得，得.‎ ‎14．【答案】．‎ ‎【解析】：是上的偶函数，且在，单调递增，‎ 不等式（4）等价为（4），‎ 即，即，得，‎ 即实数的取值范围是，故答案为：‎ ‎15．【答案】.‎ ‎【解析】由 的等差中项，得 . 由正弦定理，得, ，由 所以, . 由 ，得 . 由余弦定理，得 ，即 ，故答案为．‎ ‎16．【答案】.‎ ‎【解析】由题知， ，准线 的方程是 . 设 ，由 ，消去， 得 . 因为直线 经过焦点，所以 . 由抛物线上的点的几何特征知 ，因为直线的倾斜角是 ，所以 ，所以四边形 的周长是 ，故答案为 .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A ‎ B C ‎ D ‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）在S△ACD＝1‎ ‎【解析】（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝6，‎ ‎ 所以BC＝． ‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理得＝ ，则sin∠ABC＝ ，‎ 又0°＜∠ABC＜120°，所以∠ABC＝45°，从而有∠ACB＝75°， 由∠BCD＝150°，得∠ACD＝75°，又∠DAC＝30° ，所以△ACD为等腰三角形，‎ 即AD＝AC＝ 2，故S△ACD＝1． ‎ （18） ‎（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（Ⅰ）＝－1.45x＋18.7（Ⅱ）x＝3‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知：＝6，＝10，＝242，＝220，‎ ＝＝－1.45，＝－＝18.7； ‎ 所以回归直线的方程为＝－1.45x＋18.7‎ ‎（Ⅱ）z＝－1.45x＋18.7－(0.05x2－1.75x＋17.2)‎ ‎＝－0.05x2＋0.3x＋1.5‎ ‎＝－0.05(x－3)2＋1.95，‎ 所以预测当x＝3时，销售利润z取得最大值． ‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） ‎【解析】（Ⅰ）在梯形ABCD中，取AB中点E，连结DE，则 DE∥BC，且DE＝BC．‎ 故DE＝AB，即点D在以AB为直径的圆上，所以BD⊥AD．‎ 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BDÍ平面ABCD，‎ 所以BD⊥平面PAD． ‎ ‎（Ⅱ）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，因为平面PAD⊥平面ABCD，‎ 平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD．‎ 由（Ⅰ）可知△ABD和△PBD都是直角三角形，‎ 所以BD＝＝2，于是 S△PBD＝PD•BD＝2，S△BCD＝BC•CD•sin120°＝，‎ 易得PO＝，‎ 设C到平面PBD的距离为h，‎ 由VP-BCD＝VC-PBD得S△PBD•h＝S△BCD•PO，‎ 解得h＝． ‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（1）y2＝6x （Ⅱ）λ＝ ‎【解析】（Ⅰ）由已知得圆心为C(2，0),半径r＝．设P(x，y)，依题意可得 ‎| x＋1 |＝，整理得y2＝6x．‎ 故曲线E的方程为． ‎ ‎（Ⅱ）设直线AB的方程为my＝x－2，‎ 则直线CQ的方程为y=－m(x－2)，可得Q(－1，3m)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 将my＝x－2代入y2＝6x并整理得y2－6my－12＝0，那么y1y2＝－12， …8分 则|AC|·|BC|＝(1＋m2) | y1y2 |＝12(1＋m2)，|QC|2＝9(1＋m2)．即|AC|·|BC|＝|QC|2，所以λ＝． ‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（Ⅰ）m＝1（Ⅱ）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）由m＞0得f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ f¢(x)＝－1＝，当x＝1时，f¢(x)＝0；‎ 当0＜x＜1时，f¢(x)＞0，f(x)单调递增；‎ 当x＞1时，f¢(x)＜0，f(x)单调递减．‎ 故当x＝1时，f(x)取得最大值0，‎ 则f(1)＝0，即lnm＝0，‎ 故m＝1． ‎ ‎（Ⅱ）g¢(x)＝xex－m，令h(x)＝xex－m，‎ 则h¢(x)＝(x＋1)ex，当x＝－1时，h¢(x)＝0；‎ 当x＜－1时，h¢(x)＜0，h(x)单调递减；‎ 当x＞－1时，h¢(x)＞0，h(x)单调递增．‎ 故当x＝－1时，h(x)取得最小值h(－1)＝－e－1－m＜0．‎ 当x＜－1时，h(x)＜0，h(x)无零点，‎ 注意到h(m)＝mem－m＞0，则h(x)仅有一个零点x0，且在(－1，m)内． ‎ 由（Ⅰ）知lnx≤x－1，又m＞0，则ln(m＋1)∈(0，m)．‎ 而h(ln(m＋1))＝h(ln)‎ ‎＝ln－m＜(－1)－m ‎＝1－＜0，则x0＞ln(m＋1)，‎ 故h(x)仅有一个零点x0，且ln(m＋1)＜x0＜m．‎ 即g(x)仅有一个极值点x0，且ln(m＋1)＜x0＜m． ‎ ‎22.（本小题满分10分）‎ ‎【答案】（Ⅰ）(x＋1)2＋(y－)2＝1（Ⅱ）[10－4，10＋4]．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设A(x，y)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，‎ 所以xB＝ρcos(θ＋)＝x－y；yB＝ρsin(θ＋)＝x＋y，‎ 故B(x－y，x＋y)．‎ 由|BM|2＝1得(x－y＋2)2＋(x＋y)2＝1，‎ 整理得曲线C的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1． ‎ ‎（Ⅱ）圆C：（α为参数），则|OA|2＋|MA|2＝4sinα＋10，‎ 所以|OA|2＋|MA|2∈[10－4，10＋4]． ‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）由a＞b＞c＞d＞0得a－d＞b－c＞0，即(a－d)2＞(b－c)2，‎ 由ad＝bc得(a－d)2＋4ad＞(b－c)2＋4bc，即(a＋d)2＞(b＋c)2，‎ 故a＋d＞b＋c． ‎ ‎（Ⅱ）＝()a－b()d－c＝()a－b()c－d，‎ 由（Ⅰ）得a－b＞c－d，又＞1，所以()a－b＞()c－d，‎ 即()a－b()c－d＞()c－d()c－d＝()c－d＝1，‎ 故aabbcddc＞abbaccdd． ‎