2019年全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科Word版含解析.doc

‎2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A．B． C． D．‎ ‎2．已知是实数，是纯虚数，则等于（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎3．“”是“函数在区间内单调递增”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知双曲线的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知平面向量，，满足，，，则（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ S＝S＋òdx 开始 否 i＜m？‎ 结束 是 i＝1，S＝0‎ i＝i＋1‎ 输出S ‎7．执行右边的程序框图，输出的,则m的值为（ ） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020‎ ‎8．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．将的图像向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图像，则下列关于函数的说法错误的是（ ）‎ A．函数的最小正周期是 B．函数的一条对称轴是 C．函数的一个零点是 D．函数在区间上单调递减 ‎11．焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（ ）‎ A．或 B．‎ C．或 D．‎ ‎12．定义在上的函数满足，且当时，，，对，使得，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知若则 ‎ ‎14．在的展开式中，各项系数之和为256，则项的系数是__________．‎ ‎15.知变量，满足条件，则目标函数的最大值为 ‎ ‎16．如图，在中，，点在线段上，且，，则的面积的最大值为__________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知公差不为零的等差数列和等比数列满足：，，‎ 且，，成等比数列．‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和．‎ 18． ‎（本小题满分12分）‎ 某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图．‎ ‎（1）求获得复赛资格的人数；‎ ‎（2）从初赛得分在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间与各抽取多少人？‎ ‎（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设表示得分在区间中参加全市座谈交流的人数，求的分布列及数学期望．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，底面是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ 20． ‎（本小题满分12分）‎ 过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为，与抛物线准线的交点为，点在抛物线准线上的射影为，若，的面积为．‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，抛物线在，点处的切线分别为，，且与相交于点，与轴交于点，求证：．‎ 21． ‎（本小题满分12分）‎ 设函数．‎ ‎（1）探究函数的单调性；‎ ‎（2）若时，恒有，试求的取值范围；‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22.(本小题满分10分）‎ ‎【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系中，圆的普通方程为．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出圆的参数方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与轴和轴的交点分别为，，为圆上的任意一点，求的取值范围．‎ ‎23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 设函数．‎ ‎（1）设的解集为，求集合；‎ ‎（2）已知为（1）中集合中的最大整数，且（其中，，为正实数），求证：．‎ ‎2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科答案解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】B ‎【解析】集合，，则，故选B．‎ ‎2．【答案】D ‎【解析】是纯虚数，，则要求实部为0，即．故选D．‎ ‎3．【答案】C．‎ ‎【解析】当时，在区间上单调递增；当时，结合函数的图像知函数在上单调递增，如图1-7(a)所示；当时，结合函数的图像知函数在上先增后减再增，不符合条件，如图1-7(b)所示.所以要使函数在上单调递增，只需，即“”是“函数在区间内单调递增”的充要条件.故选C.‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】由题意可设双曲线的右焦点，渐进线的方程为，‎ 可得，可得，可得离心率，故选C．‎ ‎5．【答案】D ‎【解析】因为，所以由指数函数的单调性可得，‎ 因为，所以可排除选项，；‎ ‎，时，可排除选项，‎ 由指数函数的性质可判断正确，故选D．‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】由题意可得：，且：，即，，，由平面向量模的计算公式可得：．故选B．‎ S＝S＋òdx 开始 否 i＜m？‎ 结束 是 i＝1，S＝0‎ i＝i＋1‎ 输出S ‎7．【答案】B ‎【解析】第一次循环，‎ 第二次循环，‎ 第三次循环，‎ 第四次循环，‎ ‎……推理可得m=2018，故选B．‎ ‎8．【答案】A ‎【解析】设事件A为发病，事件B为发病，‎ 由题意可知：，，则，，‎ 由条件概率公式可得：．故选A．‎ ‎9．【答案】C ‎【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为，‎ 高为．三棱锥的底面是两直角边分别为，的直角三角形，高为．则几何体的体积．故本题答案选C．‎ ‎10．【答案】D ‎【解析】由题意可知：，‎ 图像向左平移个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为：‎ ‎．‎ 则函数的最小正周期为，A选项说法正确；‎ 当时，，函数的一条对称轴是，B选项说法正确；‎ 当时，，函数的一个零点是，C选项说法正确；‎ 若，则，函数在区间上不单调，‎ D选项说法错误；故选D．‎ ‎11．【答案】A ‎【解析】‎ 过作与准线垂直，垂足为，则，则当取得最大值时，必须取得最大值，此时直线与抛物线相切，可设切线方程为与联立，消去得，所以，得．‎ 则直线方程为或．故本题答案选A．‎ ‎12．【答案】D ‎【解析】因为在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以在上的值域是，在上的值域是，‎ 所以函数在上的值域是，‎ 因为，所以，‎ 所以在上的值域是，‎ 当时，为增函数，在上的值域为，‎ 所以，解得；‎ 当时，为减函数，在上的值域为，‎ 所以，解得，‎ 当时，为常函数，值域为，不符合题意，‎ 综上，的范围是，故选D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13． 【答案】‎ ‎【解析】解析：因为的定义域为R,关于原点对称，‎ 故则 ‎14．【答案】7‎ ‎【解析】令可得各项系数和：，据此可得：，‎ 展开式的通项公式为：，‎ 令可得：，令可得：，不是整数解，‎ 据此可得：项的系数是．‎ ‎15.【答案】‎ ‎【解析】 ‎ 作出，表示的可行域，如图 变形目标函数，，‎ 其中为向量与的夹角，由图可知，时有最小值，‎ 在直线上时，有最大值，即，，‎ 目标函数的最大值为，故选C．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】由可得：，‎ 则．‎ 由可知：，则，‎ 由同角三角函数基本关系可知：．‎ 设，，，‎ 在中由余弦定理可得：，‎ 在中由余弦定理可得：，‎ 由于，故，‎ 即：，整理可得：．①‎ 在中，由余弦定理可知：，则：，‎ 代入①式整理计算可得：，‎ 由均值不等式的结论可得：，‎ 故，当且仅当，时等号成立，据此可知面积的最大值为：．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）设的公差为，则由已知得，‎ 即，解之得：或（舍），所以；‎ 因为，所以的公比，所以．‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 所以．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）．‎ ‎【解析】（1）由题意知之间的频率为：，‎ ‎，获得参赛资格的人数为人．‎ ‎（2）在区间与，，‎ 在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，‎ 分在区间与各抽取5人，2人．结果是5人，2人．‎ ‎（3）的可能取值为0，1，2，则：‎ ‎；；；‎ 故的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎（1）证明：∵平面，平面，‎ ‎∴，‎ 又∵底面是正方形，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）解：∵，，两两垂直，‎ ‎∴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ ‎∵与平面所成角为，即，‎ ‎∴，‎ 由，可知，，．‎ 则，，，，，‎ ‎∴，．‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则即 令，则．‎ ‎∵平面，‎ ‎∴为平面的一个法向量，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵二面角为锐角，‎ ‎∴二面角的余弦值为．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1）因为，所以到准线的距离即为三角形 的中位线的长，所以，根据抛物线的定义，所以，‎ ‎，，‎ 解得，所以抛物线的标准方程为．‎ ‎（2）易知直线的斜率存在，设直线，设，‎ 联立消去得，得，‎ ‎，，设，，，，‎ ‎，‎ 得点坐标，由，得，‎ ‎，，所以，即．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（1）增函数；（2）；（3）见解析．‎ ‎【解析】（1）函数的定义域为．‎ 由，知是实数集上的增函数．‎ ‎（2）令，‎ 则，‎ 令，‎ 则．‎ ‎（i）当时，，从而是上的减函数，‎ 注意到，则时，，所以，进而是上的减函数，‎ 注意到，则时，时，即．‎ ‎（ii）当时，在上，总有，从而知，当时，；‎ ‎（iii）当时，，同理可知，‎ 综上，所求的取值范围是．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22.（本小题满分10分）‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）圆的参数方程为（为参数）．‎ 直线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）由直线的方程可得点，点．‎ 设点，则．‎ 由（1）知，则．‎ 因为，所以．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）即，‎ 当时，不等式化为，∴；‎ 当时，不等式化为，不等式恒成立；‎ 当时，不等式化为，∴．‎ 综上，集合．‎ ‎（2）由（1）知，则．‎ 则，同理，，‎ 则，即．‎