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2018-2019学年第二学期高三第二次教学质量调测
数学试卷（2019.5）
参考公式：
球的表面积公式； 球的体积公式，其中表示球的半径.
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集，集合，则集合是
2．已知，则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．若复数（是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为
A． B． C. D．
4．在中，角所对边长分别为，若，则角的取值范围
A． B． C． D．
5．设函数的最大值为，最小值为，则的值是
A．0 B． C.2 D．
6. 已知双曲线的离心率为，若以为圆心，为半径的圆与该双曲线的两条渐近线组成的图形只有一个公共点，则半径
A． B． C． D．
7．如图，正方形的边长为1，、分别为边上的点，当的周长为时，则的大小是
A． B． C． D．
8．已知棱长都为2的正三棱柱的直观图如图，若正三棱柱绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为
9．(1)将个小球随机地投入编号为的个盒子中（每个盒子容纳的小球个
数没有限制），记号盒子中小球的个数为；(2)将个小球随机地投入编号为
的个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记号盒子中
小球的个数为，则
A. B.
C. D.
10.已知数列是公比为的等比数列，且，则下列叙述中错误的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。
11.《莱因德纸草书》是世界上最古老的的数学著作之一.书中有这样的题目：把100个面
包分给5个人（注：每个面包可以分割），使每人所得成等差数列，且使较大的三份之
和的是较小的两份之和，则最小1份是 ，公差为 .
12．已知实数满足，则的范围为 ，的最大值为 .
13．关于的展开式中，常数项为,则 ；的系数是 .
14. 已知函数（）的最大值是6，则实数 ，函数的单调减区间是 .
15．某市举办全运会开幕式．现从、、、、 5个节目中任选3个节目进行开幕
式表演，若3个节目中有和时，需排在的前面出场（不一定相邻），则不同的
出场方法有 种.
16．已知函数，若，则实数的取值范围是 .
17．如图，已知等腰直角三角形中，，,两顶点分别在正半轴（含原点）上运动，分别是的中点，则的取值范围是 .
1,3,5
三、解答题：本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本题满分14分）在中，角所对边长分别为，且．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求的值.
19．（本题满分15分）已知等腰直角三角形，，分别是的中
点，沿将折起（如图），连接.
(Ⅰ)设点为的中点，求证：面；
(Ⅱ)设为的中点，当折成二面角
为时，求与面所成
角的正弦值.
20．（本题满分15分）设数列的前项和为，满足
,,.
（Ⅰ）求的值及的通项公式；
（Ⅱ）数列满足， 前项和为，若存在，使得成立，求实数的最小值.
21．（本题满分15分）已知椭圆（）和抛物线.椭圆的左顶点为，过的焦点且垂直于长轴的弦长为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为抛物线上任一点，过点作切线交椭圆于点，
问线段的中点与弦的中点连线是否平行于轴？若平
行，求出的取值范围；若不平行，请说明理由．
22．（本题满分15分）已知与.
（Ⅰ）若在处有相同的切线．求的值；
（Ⅱ）设，若函数有两个极值点，且
，求实数的取值范围．
2018学年第二学期高三第二次教学质量调测
数学参考答案（2019.5）
一、选择题：每小题4分，共40分.
1-10
二、填空题：多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.
11． , ； 12． , ； 13． , ； 14． , ；
15．； 16． ； 17．．
三、解答题：本大题共5小题，共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本题满分14分）（Ⅰ）由，根据正弦定理，得
， …………2分
因为，所以， …………4分
又，所以. …………6分
（Ⅱ）因为，所以，所以，
且，所以. …………9分
又，即，所以
…………11分
. …………14分
19．(本题满分15分) 解：（Ⅰ）由题意可知，∥，即，于是，面，从而面，
因此. …………3分
另一方面，由是中点得：. …………5分
面. …………7分
（Ⅱ）不妨设等腰直角三角形的直角边长为.由二面角为可知是等边三角形，. …………9分
因为∥，故∥面，即点到面的距离等于点到面的距离.而为之中点，于是点到面的距离为. …………11分
计算得：， …………13分
所以与面所成角的正弦值为. …………15分
20．（本题满分15分）（Ⅰ）因为，，解得.
…………2分
，①，当时，，②，
由①②可得，
即，， …………4分
，，，，，，
累乘可得. …………7分
经检验符合题意，，. …………8分
（Ⅱ）因为， …………10分
令， …………11分
则，
数列为递增数列，， …………13分
由存在，使得成立，，
故实数的最小值为. …………15分
21．（本题满分15分）（Ⅰ）由题意，得， …………2分
解得. …………4分 因此，所求的椭圆方程为. …………5分
（Ⅱ）设，，（），则抛物线在点的切线斜率为.
直线的方程为：. …………7分
将上式代入椭圆方程得：
.因为直线与椭圆有两个不同的交点，于是. ①
设线段的中点纵坐标为，. …………9分
设线段的中点的纵坐标是，. …………10分
令，得， ②
，解得：或. …………12分
当时，，舍去；
当时，②式无解；
当时，解得，不符合要求；
当时，方程②有解，且满足条件①.
综上所述，的取值范围是. …………15分
也可以一下求解：
显然，于是，令（且），则，所以或.所以的取值范围是.
22．（本题满分15分）解：（Ⅰ）解答：,. …………2分
由于在处有相同的切线，得，即，
…………4分
解得. …………6分
（Ⅱ），则，其中是方程
的两根. …………7分
，设，则，
可知在，画图像可得
…………9分
设，可得，由.
两式相除代入可得，代入可得，，两边取对数可得，.设，则，再设,则
当即在单调递增，所以，
则,所以在单调递增，且当.
则即. …………14分
由于，又在
当，，即.…………15分
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