浙江省嘉兴、平湖市2018学年第二学期高三模拟（2019年5月）考试数学试题卷PDF版含答案.pdf

数学试题 第 1页（共 6 页） 2018 学年第二学期高三模拟考试 数学 试题卷 2019.5 姓名 准考证号 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 6 页，选择题部分 2 页至 3 页；非选择 题部分 4 页至 6 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在 试题卷和答题纸规定的位置上。 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范操作， 在本试题卷上的作答一律无效。 参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么 )()()( BPAPBAP  ． 如果事件 A，B 相互独立，那么 )()()( BPAPBAP  ． 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ， 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 ),,2,1,0()1()( nkppCkP knkk nn   ． 球的表面积公式 24 RS  ， 其中 R 表示球的半径． 球的体积公式 3 3 4 RV  ， 其中 R 表示球的半径． 棱柱的体积公式 ShV  ， 其中 S 表示棱柱的底面积， h 表示棱柱的 高． 棱锥的体积公式 ShV 3 1 ， 其中 S 表示棱锥的底面积， h 表示棱锥的 高． 棱台的体积公式 )(3 1 2211 SSSShV  ， 其中 21, SS 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高．数学试题 第 2页（共 6 页） 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1．设集合  | | 1A x x  ，集合  2xyyB  ，则 BA  = A． 1,1- B．  2,1- C． 2,0 D．  1,0 2．椭圆 149 22  yx 的焦距 c2 A． 52 B． 6 C． 132 D．4 3．已知 i 为虚数单位，且 z (3 i) 1 i   ，则 z  A． i5 2 5 1  B． i5 2 5 1  C． i5 1 5 2  D． i5 1 5 2  4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 A． 822  B． 824  C． 424  D．12 5．已知函数 )(xfy  是函数 )(xfy  的导函数，如图所示将 )(xfy  和 )(xfy  的图 象画在同一个平面直角坐标系中，其中可能成立的是 A. B. C. D.数学试题 第 3页（共 6 页） 6．设 ， 为不重合的平面， nm, 为不重合的直线，则下列命题正确的是 A．若 nmn  ,,   ，则 m B．若 nmnm //,,   ，则  // C．若 nmnm ,//,//  ，则   D．若   mnn ,, ，则 m 7．等比数列 na 中，首项是 1a ，公比是 q ，则 1q 是数列 na 单调递增的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知 ba, 是两个非零向量，且| | 1,| 2 | 2b a b     ，则| |+| |b a b   的最大值是 A. 4 5 B. 2 5 C. 3 D. 5 9．随机变量有三个不同的取值，且其分布列如下：  x4 248 x 4 P 4 1 4 1 m 则 )(E 最大值为 A. 25 54  B. 6 C. 252  D. 262  10．已知矩形 ABCD 中， 1,2  BCAB ，F 为线段CD 上一动点（不含端点），现将 ADF 沿直线 AF 进行翻折，在翻折的过程中不可能．．．成立的是 A.存在某个位置，使直线 AF 与 BD 垂直 B.存在某个位置，使直线 AD 与 BF 垂直 C.存在某个位置，使直线 AB 与 DA 垂直 D.存在某个位置，使直线 AB 与 DF 垂直数学试题 第 4页（共 6 页） 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11．已知       ,0,)3 1( ,0,1|1| )( x xx xf x 则 ))1(( ff ▲ ， )(xf 的最小值是 ▲ ． 12．若实 yx, 满足 4 4 4 0 x y x y y        ， ， ， 则 yx 2 的最大值是 ▲ ，最小值是 ▲ ． 13．在 ABC 中，已知 4 A ， 5 52cos B ，若 52BC ， D 为 AB 的中点，则 cosC  ▲ ， CD 的长为 ▲ ． 14．若函数 6( ) 64f x x 表示为 2 6 0 1 2 6( ) (2 1) (2 1) (2 1)f x a a x a x a x         ， 其中 0 1 2 6, , , ,a a a a 为实数，则 5a  ▲ ， 2 4 6a a a   ▲ ． 15．某校高一年级拟开设 12 门选修课程，规定每位学生从中选择 6 门．由于课程设置限 制，某学生从 DCBA ,,, 四门课程中最多选 1 门，从 ,E F 两门课程中也最多选 1 门， 则该学生共有 ▲ 种不同的选课种数．（用数字作答） 16．已知 P 为椭圆 2 2 116 4 x y  上的一个动点，过点 P 作圆 2 2( 1) 1x y   的两条切线， 切点分别是 ,A B ，则| |AB 的最小值为 ▲ ． 17．如图，矩形 ABCD 中， 1,2  ADAB ， NM, 分别是边 ADAB, 上的点，设 ,AM m AN n ，且 ,m n 满足 1)1)(1(2  nm ，则 MCNtan 的最大值为 ▲ ．数学试题 第 5页（共 6 页） 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（本题满分 14 分） ABC 中，角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, 且满足 acbca 2222  ， （Ⅰ） 求角 B 的大小； （Ⅱ）求 2 3 2cos32cos2sin)( 2  AAAAf 的取值范围. 19．（本题满分 15 分）如图所示，在直角梯形 ABCD 中，  90ADC ， / /CD AB , 4AB , 2 CDAD , M 为线段 AB 的中点，将 ADC 沿 AC 折起，得到几何体 ABCP  . （Ⅰ）求证： PMAC  ； （Ⅱ）已知 6PM ，求直线 PB 与平面 APC 所成角的正弦值. 20．（本题满分 15 分）已知数列 na 满足奇数项 ，531 ,, aaa 成等比数列  )1-2  Nna n （ ， 而偶数项 ，642 ,, aaa 成等差数列  )2  Nna n （ ，且 1,2 21  aa ， 2 4 3 ,a a a  564 aaa  ，数列 na 的前 n 项和为 nS ． （Ⅰ）求 na ； （Ⅱ）当 31 aa  时，若 nn n Sb 22  ，试求 nb 的最大值．数学试题 第 6页（共 6 页） 21．（本题满分 15 分）已知抛物线 xyC 2: 2  ，过点 )0,2(M 的直线 l 交抛物线C 于 BA, 两点，点 P 是直线 2 3x   上的动点，且 ABPO  于点Q ． （Ⅰ）若直线OP 的倾斜角为 4 3 ，求 AB ； （Ⅱ）求 PQ AB 的最小值及取得最小值时直线 l 的方程． 22．（本题满分 15 分）已知函数 ，xxf ln)(  1)( 2  bx x axg ， ),( Rba  （Ⅰ）当 0,1  ba 时，求曲线 )()( xgxfy  在 1x 处的切线方程； （Ⅱ）当 0b 时，若对任意的  2,1x ， 0)()(  xgxf 恒成立，求实数 a 的取值范 围； (Ⅲ)当 0,0  ba 时，若方程 )()( xgxf  有两个不同的实数解 )(, 2121 xxxx  ， 求证： 221  xx ．1 2018 学年第二学期高三模拟考试 数学 参考答案 2019.5 一、选择题：本题共 10 个小题，每题 4 分，共 40 分． 1．D； 2．A； 3．B； 4．B； 5． C； 6．D； 7．D； 8．B； 9．C； 10．C． 第 10 题解析：设 (0 2)DF t t   ， 所以 2 21 5 4 4 1 22 t t tAF BD t        ，当 1 2t  时直线 AF 与 BD 垂直； 2 2 2 21 4 3 2 2 t BD t BDAD BF         ，当 3BD  时直线 AD 与 BF 垂直； 2 2 2 21 1 5 4 4 52 t BD t tDF AB BD t           ，当 2 4 5 0BD t   时直线 DF与 AB垂直。 所以在翻折的过程中不可能．．．成立的是：存在某个位置，使直线 AB 与 DA 垂直 所以答案 C 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分． 11．3 ， 1 ； 12．8 ， 4 ； 13． 10 10  ， 5 ； 14．6，31； 15．157 ； 16． 4 22 11 ； 17． 2 9 ． 第 17 题解析： 设 ,AM m AN n  ， ,BCM DCN     ，又 1tan 2 ,tan 2 nm     ， 所以 12tan tan 2tan( ) 11 tan tan 1 (2 )( )2 nm nm             5 2 2 ( 2 2) m n mn n m       ， 又 1( 1)( 1) 2m n   ，所以 11 2( 1)m n    ， 所以 13 1tan( ) 1 2 nn n       2 7 9 11 (0 )22 1 n nn n       ， 令 2 7 9( ) 1 (0 1)2 1 nf n nn n       ，则 )2 10( )12( )2)(47(2)( 22    n nn nnnf ，2 所以 ( ) 0f n  ，所以 ( )f n 单调递减，所以 min 1 9( ) ( )2 2f n f  所以 1 1 2tan 9tan( ) 9 2 MCN      . 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分 14 分） ABC 中，角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, 且满足 acbca 2222  ， （Ⅰ） 求角 B 的大小； （Ⅱ）求 2 3 2cos32cos2sin)( 2  AAAAf 的取值范围. 解:(Ⅰ)由 2 2 2 2a c b ac   ，得 2 2 2 2 2cos 2 2 2 a c b acB ac ac     ， 又因为 0 B   ，所以 4B  . （Ⅱ） 2 3 1 3( ) sin cos 3 cos sin cos sin( )2 2 2 2 2 2 3 A A Af A A A A        . 因为 30 4A   ,所以 13 3 3 12A     ,因为 13 2 6sin sin12 12 4      ， 所以 2 6 sin( ) 14 3A     ,所以 ( )f A 的取值范围是 2 6( ,1]4  . 19．（本题 15 分） 如图所示，在直角梯形 ABCD 中，  90ADC ， / /CD AB , 4AB , 2 CDAD , M 为线段 AB 的中点，将 ADC 沿 AC 折起，得到几何体 ABCP  . （Ⅰ）求证： PMAC  ； （Ⅱ）已知 6PM ，求直线 PB 与平面 APC 所成角的余弦值. 解:（I）取 AC 中点 E ,连接 PE ， EM ，因为 E 为中点， AP CP ，所以 AC PE , 因 为 ME 为 中 位 线 ， 所 以 / /ME BC , 易 证 BC AC , 所 以 ME AC ， 因 为3 ME PE E ，所以 AC PME 平面 ，所以 AC PM . （II）解法一：梯形 ABCD 中延长 AD 与 BC 交于点 F ,几何体 P ABC 中作 BG 垂直 FC 的延长线于G 点，连接 PG .因为 AC CF ， AC CB ，所以 AC BCF 平面 ， 所以 AC BG ,所以 BG ACF 平面 ，所以 BPG 即为所求. 因为 M 为中点，所以 2PE EM  ， 6PM  ，所以 120PEM FCB     ，即 60BCG   ,所以 6BG  . 作 PH FC ，直角三角形 PHG 中， 2PH  ， 2 2HG  ， 10PG  ， 所以 4PB  ，所以 4 6sin BPG . 解法二：作 P 在平面 ABC 的投影O , 以O 为原点建系,如图， 因为 6PM  ，所以 60PEO   ， 2 2OE  ， 2( 2, ,0)2A ， 2( 2, ,0)2C  ， 6(0,0, )2P ， 5 2( 2, ,0)2B  ， 所以 ( 2 2,0,0)AC   ， 2 6( 2, , )2 2CP   ， 5 2 6( 2, , )2 2BP   ， E H G F M C P BA  E O  P B M C Ax y z A B CD F M 4 设平面 ACP 的法向量为 ( , , )n x y z ，则 n AC n CP        ，即 0 0 n AC n CP          ，解得 (0, 3,1)n  .设直线 PB 与平面 APC 所成线面角为 , 所以sin cos ,n BP     5 6 6 2 2 6 2 4 4 n BP n BP            . 20．（本题满分 15 分）已知数列 na 满足奇数项 531 ,, aaa 成等比数列  )1-2  Nna n （ ， 而偶数项 642 ,, aaa 成等差数列  )2  Nna n （ ，且 1,2 21  aa ， 2 4 3 ,a a a  564 aaa  ，数列 na 的前 n 项和为 nS ． （Ⅰ）求 na ； （Ⅱ）当 31 aa  时，若 nn n Sb 22  ，试求 nb 的最大值． 解：（Ⅰ）设等比数列 2 1 ( )na n N    的公比为 q ，等差数列 2 ( )na n N  的公差为 d ， 由 2 4 3 4 6 5,a a a a a a    得1 (1 ) 2d q   ， 2(1 ) (1 2 ) 2d d q    ， 解得 2 2 q d    或 1 0 q d    ①当 2 2 q d    时， 1 2 2 1 2 n na    ， 2 2 1na n  ，即数列的通项 +1 22 , 1, . n n na n n     为奇数； 为偶数 ②当 1 0 q d    时， 2 1 2na   ， 2 1na  ，即数列的通项 2, 1, .n na n    为奇数； 为偶数 （Ⅱ）当 1 3a a 时，由（Ⅰ）得 +1 22 , 1, . n n na n n     为奇数； 为偶数 ，5 所以 2 1 2 2 2n nS S S n     奇 偶 ，所以 2 1 2 2 2 2 2 n n n n n S nb    ， 2 2 2 1 2 1 1 1 ( 1) 2 2 2 2 4 ( 1) 2 2 2 n n n n n n n n n nb b                ． 所以 1 2 3 4b b b b   ，且当 4n  时， 1n nb b  ． 综上所述， nb 的最大值是 3 4 23 8b b  ． 21．（本题 15 分）已知抛物线 xyC 2: 2  ，过点 )0,2(M 的直线 l 交抛物线 C 于 BA, 两点， 点 P 是直线 2 3x   上的动点，且 ABPO  于点 Q ． （Ⅰ）若直线OP 的倾斜角为 4 3 ，求 AB ； （Ⅱ）求 PQ AB 的最小值及取得最小值时直线 l 的方程． 解：（Ⅰ）因为直线OP 的倾斜角为 3 4  ，所以直线 : 2l y x  ， 2 2 2 y x y x      ， 所以 2 6 4 0x x   ，所以 1 1 36 16 2 10AB     ； 解法一： （Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时， : 2l x  ，此时 4AB  ， 8 3PQ  ，所以 3 2 AB PQ  ； ②当直线l 的斜率存在时，设 : ( 2)l y k x  ， 由 2 2 ( 2) y x y k x      得 2 2 2 2(4 2) 4 0k x k x k    设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 所以 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 (4 2) 4 4 16 4 0 4 2 4 4 k k k k kx x k kx x k                 6 所以 2 2 2 16 41 kAB k k   因为 PO AB ，所以 1:OP y xk   ，所以 2 2( , )3 3P k  所以点 P 到直线l 的距离 2 2 2 1|| |14| 3 2 1 |23 2 3 2| || kk k k kkk PQd      所以 2 2 2 22 2 22 2 16 41 (1 )3 (4 1)4 12 3 1 kkAB kk PQ k kk k k       令 2 0k t  ，令 2 2 7 1( 1) 1 14( ) (4 1) 4 44 ttf t t t t t      所以 1 33 ( ) 3 4 2 AB f tPQ    综上所述， AB PQ 的最小值为 3 2 ，此时直线 : 2l x  ． 解法二： （Ⅱ）设 : 2l x my  ，由 2 2 2 y x x my      得 2 2 4 0y my   设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,所以 2 1 2 1 2 ( 2 ) 4 ( 4) 0 2 4 m y y m y y              ，所以 2 21 4 16AB m m   又 :PQ y mx  ，所以 2 2( , )3 3 mP  ， 所以点 P 到直线l 的距离 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 4)3 3| | 31 1 m md PQ m m         所以 2 2 2 2 2 2 2 1 4 16 ( 1)32 ( 4) 4 3 1 AB m m m PQ m m m      7 令 2 4 ( 4)m t t   ，令 2( 3) 9( ) 6tf t tt t     ， 所以 )(tf 在 4, 上单调递增， 所以 min 1( ) (4) 4f t f  ，此时 0m ． 所以 1 33 ( ) 3 4 2 AB f tPQ    ，即 AB PQ 的最小值为 3 2 ，此时直线 : 2l x  ． 22．（本题满分 15 分）已知函数 ，xxf ln)(  1)( 2  bx x axg ， ),( Rba  （Ⅰ）当 0,1  ba 时，求曲线 )()( xgxfy  在 1x 处的切线方程； （Ⅱ）当 0b 时，若对任意的  2,1x ， 0)()(  xgxf 恒成立，求实数 a 的取值范 围； (Ⅲ)当 0,0  ba 时，若方程 )()( xgxf  有两个不同的实数解 )(, 2121 xxxx  ， 求证： 221  xx ． 解（Ⅰ）当 1, 0a b   时， 2 1ln 1y x x    ，所以当 1x 时， 2y  ， 所以 3 1 2y x x    ，所以 1 1xy    从而曲线 ( ) ( )y f x g x  在 1x 处的切线为 2 ( 1)y x    ，即 3 0x y   ． （Ⅱ）当 0b  时，对任意的 [1,2]x ， 2( ) ( ) ln 1 0af x g x x x      都成立 即有 2 2lna x x x   令 )21(ln)( 22  xxxxxh 所以 ( ) 2 lnh x x x x    ，令 ( ) 0h x  得 x e ， 所以 ( )y h x 在[1, ]e 上单调递增，在[ ,2]e 上单调递减， 所以， ,2)()( max eehxh  所以 2 ea  . （Ⅲ）当 0, 0a b  时，由 ( ) ( )f x g x 得 ln 1x bx  ，则 ln 1 0x bx  8 令 ( ) ln 1( 0)F x x bx x    ，则 ( ) ( )1 2 0F x F x  所以 1( )F x bx    ，令 ( ) 0F x  得 1x b  所以 ( )F x 在 ( , )10 b 上是增函数，在 ( , )1 b  上是减函数， 由题意知 max ( ) ( )1 0F x F b   ，解得0 1b  又 ( ) , ( )1 0 1 1 0bF F be e       ，所以 1 1 11xe b    ，所以 1 2 1xb b   所以只要证明 2 1 2x xb   ，就能得到 1 2 2 2x x b    即只要证 ( ) ( )1 1 2 0F x F xb    令 ( ) ( ) ( )( )2 10G x F x F x xb b      ，则 22ln)2ln()(  bxxxbxG 所以 ( ) ( ) ( ) 2121 1 2 02 2 b x bG x bxx x xb b         所以 ( )G x 在区间 ( , )10 b 上单调递减，所以 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 0G x G F Fb b b b      所以 ( ) ( ) ( )1 1 1 2 0G x F x F xb     ，所以 ( ) ( )1 2 2 0F x F xb    所以 1 2 2 x xb   ，即 1 2 2 2x x b    ，证毕．