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上饶市重点中学2019届高三六校第二次联考
（上饶市一中、上饶市二中、上饶县中、玉山一中、余干中学、天佑中学）
理科数学
命题学校：上饶市一中 主命题人：朱四样 副命题人：陈颖
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码贴在指定位置；
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则该函数在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，为第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知命题p：，命题q：.若命题q是p的必要不充分条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则二项式展开式中的常数项为（ ）
A．8 B．28 C．56 D．120
6．将函数的图像向左平移个单位后与原函数的图像重合，则实数的值可能是（ ）
A．6 B．10 C．12 D．16
7．已知函数是定义域为上的偶函数，若在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，内角所对的边分别是，已知且面积为.现有一只蚂蚁在内自由爬行，则某一时刻该蚂蚁与的三个顶点的距离都不小于1的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．某校在“数学联赛”考试后选取了6名教师参加阅卷，试卷共4道解答题，要求将这6名教师分成4组，每组改一道解答题，其中2组各有2名教师，另外2组各有1名教师，则不同的分配方案的种数是（ ）
A．216 B．420 C．720 D．1080
10．已知线段的长为6，以为直径的圆有一内接四边形，其中，则这个内接四边形的周长的最大值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
11．如图所示的框图功能为“求出某函数精确到的零点”，则图中的空白处应依次填入的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
12．过的重心作直线，已知与、的交点分别为、，,若,则实数的值为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．某志愿者协会组织50名志愿者参加服务活动，对活动次数统计如表，则平均每人参加活动的次数为 .
次数
2
3
4
5
人数
20
15
10
5
14．若变量满足约束条件，则的最大值为_____.
15．已知点分别是椭圆的右顶点、下顶点、左焦点和右焦点，点是椭圆上任意两点，若的面积最大值为，则的最大值为________.
16．已知函数若关于x的方程有三个不同的实根，则m的取值范围为____________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分．
（一）必考题：共60分
17．（本小题满分12分）
已知数列满足对任意的正整数都有，且该数列前三项依次为，，，又已知数列的前n项和为，且，(n≥1)
（1）求，的通项公式;
（2）令，求数列的前n项和.
18．（本小题满分12分）
在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为梯形，AB//CD，AC=2BC，AB=，BC=，CD=,PC=.
（1）在线段 PB上有一个动点E，满足且CE//平面 PAD，求实数的值;
（2）已知 AC 与 BD 的交点为 M，若 PM=，且平面 PAC平面ABCD，求二面角 B-PC-A平面角的余弦值.
19．（本小题满分12分）
微信作为一款社交软件已经在支付，理财，交通，运动等各方面给人的生活带来各种各样的便利。手机微信中的“微信运动”，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．A先生朋友圈里有大量好友使用了“微信运动”这项功能。他随机选取了其中40名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：
步数
性别
男
1
3
4
6
4
2
女
2
4
5
5
3
1
（1）以样本估计总体，视样本频率为概率，在A先生的微信朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数不低于6000步的有名，求的分布列和数学期望；
（2）如果某人一天的走路步数不低于8000步，此人将被“微信运动”评定为“运动达人”，否则为“运动鸟人”．根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有90％以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
运动达人
运动鸟人
总计
男
女
总计
附：．
0．10
0．05
0．025
0．01
2．706
3．841
5．024
6．635
20．（本小题满分12分）
如图所示已知抛物线的焦点为，准线为，过点M(1,0)的直线交抛物线于，两点．且.
（1）求抛物线方程；
（2）若点在准线上的投影为，是上一点，且，求面积的最小值及此时直线的方程．
21．（本小题满分12分）
已知函数
（1）若函数在处取得极值，求实数的值;
（2）若，且函数的图像恒在图像下方，求实数的取值范围;
（3）证明: 。
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23二题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点，曲线的极坐标方程为，过点作直线的垂线，分别交曲线于两点.
（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；
（2）若成等比数列，求实数的值.
23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知函数 .
（1）当 时，求不等式的解集;
（2）若 对任意的实数和任意非零实数恒成立，求实数的取值范围.
上饶市重点中学2019届高三六校第二次联考
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
B
B
B
D
C
A
D
A
C
B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13. 3 14. 2 15. 16. (－∞，－3]
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.解:（1）由题意数列为等差数列，故+=，解得x=21分
=4，d=1，=n+33分
由(n≥1)可知（n≥2），两式相减得2(n≥2) 4分
当n=1时，，当n≥2时，,==
6分
（2）由题意当n=1时， ，当n≥2时，7分
得=4+5+6×2¹+…+（n+3）
2= 8+5×2¹+…+（n+2）+（n+3）8分
两式相减得：
=10分
12分
18.解：（1）延长AD、BC交于点N，连接PN
∵CE∥平面PAD ∴CD∥PN 1
∵AB∥CD ∴ 3
∴ 5
（2） 由题AB⊥BC，AC=，BD=
∵AB∥CD ∴ ∴ ，6
由勾股定理AC⊥BD，又∵PM=，PC=，同理PM⊥AC
又∵ 平面 PAC⊥平面 ABCD，且平面 PAC平面 ABCD=AC, ∴ PM⊥平面 ABCD
从而直线PM,直线AC,直线BD相互垂直，7
以M为原点，分别以MA，MB，MP为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系
易得B，C，
易知 MB⊥平面 PAC，∴平面PAC的法向量为=8
设平面PBC的法向量为，易得，=
从而解得，9
令可得=，则cos=，11
所以二面角 B-PC-A平面角的余弦值为12
19.解：（1）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数不低于6000的概率为
可能取值分别为0，1，2，3，1分
∴， ，
， ，5分
的分布列为
0
1
2
3
则．
(或者写成)6分
（2）完成列联表
运动达人
运动鸟人
总计
男
6
14
20
女
4
16
20
总计
10
30
40
的观测值．11分
据此判断没有90％以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．12分
20.解：（1）依题意，1分
即，即2分
3分
所以抛物线方程．4分
（2）设，，则，又由，可得
因为，，所以，故直线，5分
由，得，所以．7分
所以8分
设点到直线的距离为，则，9分
所以，当且仅当，即10分
，11分
．12分
21.解:(1) 1分
∵ 在处取得极值
∴ ,即
∴ 2分
此时，又当0＜x＜1时， 当 x＞1时，
∴ 1是g(x)的极小值点。即符合题意3分
综上所述：4
(2)
两边同时取对数 得: 5分
两边同时求导 得:
由题意可得在上恒成立，
即即，
又∵ 在上恒成立6分
构造函数 则 7分
令，得，∴在上为增函数；
令，得， ∴在上为减函数．
∴
8分
(3)由(2)知在上为减函数．
∴当时必有，即9分
不等式两边同乘以
∴，即10分
∴ 11分
令x＝2 018，得12分
22．解：（1）由,得 . 1分
得曲线的直角坐标方程为 .2分
的直角坐标为3分
又直线的斜率为，且过点，故直线的直角坐标方程为.……4分（2）在直角坐标系中，直线参数方程为 (为参数)，5
代入得 6分
∴7分
∵，，即8分
9分
10分
23.解：（1）当时，，
若，则，所以1分
令，则3分
所以的解集为，
即不等式的解集为5分
（2）由题，，6分
+=48分
即，则10分
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