2019届高三模拟考试试卷
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
2019．5
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合U＝{x|10，b>0)的右焦点F作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P.若线段PF的中点恰好在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．
11. 有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a，b，1.现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为________．
12. 已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a，b是夹角为60°的两个单位向量．若向量c满足c·(a＋2b)＝－5，则|c|的最小值为________．
13. 在平面直角坐标系xOy中，已知MN是圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2的一条弦，且CM⊥CN，P是MN的中点．当弦MN在圆C上运动时，直线l：x－3y－5＝0上存在两点A，B，使得∠APB≥恒成立，则线段AB长度的最小值是________．
14. 已知函数f(x)＝x2－aln x＋x－，对任意x∈[1，＋∞)，当f(x)≥mx恒成立时实数m的最大值为1，则实数a的取值范围是________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知a，b，c分别是△ABC三个角A，B，C所对的边，且满足acos B＋bcos A＝.
(1) 求证：A＝C；
(2) 若b＝2，且·＝1，求sin B的值．
16. (本小题满分14分)
在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°.
(1) 求证：平面PAC⊥平面PAB；
(2) 设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：BC∥l.
17. (本小题满分14分)
如图，某摩天轮底座中心A与附近的景观内某点B之间的距离AB为160 m．摩天轮与景观之间有一建筑物，此建筑物由一个底面半径为15 m的圆柱体与一个半径为15 m的半球体组成．圆柱的底面中心P在线段AB上，且PB为45 m．半球体球心Q到地面的距离PQ为15 m．把摩天轮看作一个半径为72 m的圆C，且圆C在平面BPQ内，点C到地面的距离CA为75 m．该摩天轮匀速旋转一周需要30 min，若某游客乘坐该摩天轮(把游客看作圆C上一点)旋转一周，求该游客能看到点B的时长．(只考虑此建筑物对游客视线的遮挡)
18. (本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(1，)，离心率为.A，B分别是椭圆C的上、下顶点，M是椭圆C上异于A，B的一点．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若点P在直线x－y＋2＝0上，且＝3，求△PMA的面积；
(3) 过点M作斜率为1的直线分别交椭圆C于另一点N，交y轴于点D，且点D在线段OA上(不包括端点O，A)，直线NA与直线BM交于点P，求·的值．
19. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝ln x＋＋1，a∈R.
(1) 若函数f(x)在x＝1处的切线为y＝2x＋b，求a，b的值；
(2) 记g(x)＝f(x)＋ax，若函数g(x)在区间(0，)上有最小值，求实数a的取值范围；
(3) 当a＝0时，关于x的方程f(x)＝bx2有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．
20. (本小题满分16分)
已知数列{an}的前n项和为Sn.若存在正整数r，t，且r0)．若直线l与曲线C相交于A，B两点，且AB＝3，求r的值．
C. (选修45：不等式选讲)
若x，y，z为实数，且x2＋4y2＋9z2＝6，求x＋2y＋6z的最大值．
【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 在平面直线坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)及点M(2，0)，动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4.
(1) 求p的值；
(2) 若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上．
23. 对由0和1这两个数字组成的字符串，作如下规定：按从左向右的顺序，当第一个子串“010”的最后一个0所在数位是第k(k∈N*，且k≥3)位，则称子串“010”在第k位出现；再继续从第k＋1位按从左往右的顺序找子串“010”，若第二个子串“010”的最后一个0所在数位是第k＋m位(其中m≥3，且m∈N*)，则称子串“010”在第k＋m位出现；……；如此不断地重复下去．如：在字符串1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0中，子串“010”在第5位和第9位出现，而不是在第7位和第11位出现．记在n位由0，1组成的所有字符串中，子串“010”在第n位出现的字符串的个数为f(n)．
(1) 求f(3)，f(4)的值；
(2) 求证：对任意的正整数n，f(4n＋1)是3的倍数．
2019届高三模拟考试试卷(南京)
数学参考答案及评分标准
1. {4，5} 2. 四 3. 30 4. 5. －5 6. 7. 8. 6 9. －1 10. 11. 12.
13. 2＋2 14. (－∞，1]
15. (1) 证明：由正弦定理＝＝＝2R，得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
代入acos B＋bcos A＝，得(sin Acos B＋sin Bcos A)cos C＝sin Ccos A，(2分)
即sin(A＋B)cos C＝sin Ccos A.
因为A＋B＝π－C，所以sin (A＋B)＝sin C，所以sin Ccos C＝sin Ccos A．(4分)
因为C是△ABC的内角，所以sin C≠0，所以cos C＝cos A.
因为A，C是△ABC的内角，所以A＝C.(6分)
(2) 解：由(1)知A＝C，所以a＝c，所以cos B＝＝.(8分)
因为·＝1，所以a2cos B＝a2－2＝1，所以a2＝3.(10分)
所以cos B＝.(12分)
因为B∈(0，π)，所以sin B＝＝.(14分)
16.证明：(1) 因为PA⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PA⊥AC.(2分)
因为AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，由余弦定理，
得AC＝＝＝.(4分)
因为12＋()2＝22，即AB2＋AC2＝BC2，所以AC⊥AB.(6分)
因为AC⊥PA，且PA∩AB＝A，PA平面PAB，AB平面PAB，
所以AC⊥平面PAB.
又AC平面PAC，所以平面PAC⊥平面PAB.(8分)
(2) 因为BC∥AD，AD平面PAD，BC平面PAD，所以BC∥平面PAD.(10分)
因为BC平面PBC，且平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(14分)
17. 解：以点B为坐标原点，BP所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
则B(0，0)，Q(45，15)，C(160，75)．
过点B作直线l与圆Q相切，与圆C交于点M，N，
设直线l的方程为y＝kx，即kx－y＝0，
则点Q到l的距离为＝15，
解得k＝或k＝0(舍去)．
所以直线l的方程为y＝x，即3x－4y＝0.(4分)
点C(160，75)到直线l的距离CH＝＝36.(6分)
在Rt△CHM中，因为CH＝36，CM＝72，所以cos∠MCH＝＝.(8分)
因为∠MCH∈(0，)，所以∠MCH＝，所以∠MCN＝2∠MCH＝，(12分)
所以所用时长为30×＝10 min.(13分)
答：该游客能看到点B的时长为10 min.(14分)
18. 解：(1) 因为椭圆过点(1，)，离心率为，
所以＋＝1，＝1－e2＝，解得a2＝2，b2＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2分)
(2) 由(1)知B(0，－1)，设M(x0，y0)，P(x，y)．
由＝3，得(x，y＋1)＝3(x0，y0＋1)，则x＝3x0，y＝3y0＋2.
因为P在直线x－y＋2＝0上，所以y0＝x0 ①.(4分)
因为M在椭圆C上，所以＋y＝1，将①代入上式，得x＝.(6分)
所以|x0|＝，从而|xP|＝，
所以S△PMA＝S△PAB－S△MAB＝×2×－×2×＝.(8分)
(3) (解法1)由(1)知，A(0，1)，B(0，－1)．
设D(0，m)，0＜m＜1，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
因为MN的斜率为1，所以直线MN的方程为y＝x＋m.
联立方程组消去y，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，
所以x1＋x2＝－，x1·x2＝. (10分)
直线MB的方程为y＝x－1，直线NA的方程为y＝x＋1，
联立解得yP＝.(12分)
将y1＝x1＋m，y2＝x2＋m代入，得
yP＝＝＝＝.(14分)
所以·＝(0，m)·(xP，yP)＝myP＝m·＝1.(16分)
(解法2)由(1)知，A(0，1)，B(0，－1)．设M(x0，y0)，则＋y＝1.
因为直线MN的斜率为1，所以直线MN的方程为y＝x－x0＋y0，则D(0，y0－x0)．
联立方程消去y，得3x2－4(x0－y0)x＋2(x0－y0)2－2＝0，
所以xN＋x0＝，(10分)
所以xN＝，yN＝－，
所以直线NA的方程为y＝x＋1＝x＋1，
直线MB的方程为y＝x－1，
联立解得yP＝.(12分)
因为＋y＝1，
所以yP＝＝，(14分)
所以·＝(0，y0－x0)·(xP，yP)＝(y0－x0)＝1.(16分)
19. 解：(1) f′(x)＝－，则f′(1)＝1－a＝2，解得a＝－1，则f(x)＝ln x－＋1，
此时f(1)＝ln 1－1＋1＝0，则切点坐标为(1，0)，代入切线方程，得b＝－2，
所以a＝－1，b＝－2.(2分)
(2) g(x)＝f(x)＋ax＝ln x＋＋ax＋1，g′(x)＝－＋a＝.
①当a＝0时，g′(x)＝＞0，则g(x)在区间(0，)上为增函数，则g(x)在区间(0，)上无最小值．(4分)
②当a≠0时，方程ax2＋x－a＝0的判别式Δ＝1＋4a2＞0，
则方程有两个不相等的实数根，设为x1，x2，
由韦达定理得x1x2＝－1，则两根一正一负，不妨设x1＜0＜x2.
设函数m(x)＝ax2＋x－a(x＞0)，
(i) 若a＞0，
当x2∈(0，)时，m(0)＝－a＜0，m()＝＋－a＞0，解得0＜a＜.
此时当x∈(0，x2)时，m(x)＜0，则g(x)递减；当x∈(x2，)时，m(x)＞0，则g(x)递增，
当x＝x2时，g(x)取极小值，即为最小值．
当x2≥时，x∈(0，)，m(x)＜0，则g(x)在(0，)上单调递减，无最小值．(6分)
(ii) 若a＜0，
当x∈(0，x2)时，m(x)＞0，则g(x)递增；
当x∈(x2，＋∞)时，m(x)＜0，则g(x)递减，
在区间(0，)上，g(x)不会有最小值．
所以a＜0不满足条件．
综上，当0＜a＜时，g(x)在区间(0，)上有最小值．(8分)
(3) 当a＝0时，由方程f(x)＝bx2，得ln x＋1－bx2＝0.
记h(x)＝ln x＋1－bx2，x＞0，则h′(x)＝－2bx＝.
①当b≤0时，h′(x)＞0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上为增函数，
则函数h(x)至多只有一个零点，即方程f(x)＝bx2至多只有一个实数根，
所以b≤0不符合题意．(10分)
②当b＞0时，
当x∈(0，)时，h′(x)＞0，所以函数h(x)递增；
当x∈(，＋∞)时，h′(x)＜0，所以函数h(x)递减，
则h(x)max＝h()＝ln＋.
要使方程f(x)＝bx2有两个不相等的实数根，
则h()＝ln ＋＞0，解得0＜b＜.(12分)
(i) 当0＜b＜时，h()＝－＜0.
又()2－()2＝＜0，则＜，
所以存在唯一的x1∈(，)，使得h(x1)＝0.(14分)
(ii) h()＝ln ＋1－＝－ln b＋1－，记k(b)＝－ln b＋1－，0＜b＜.
因为k′(b)＝－＋＝，则k(b)在(0，1)上为增函数，在(1，)上为减函数，
则k(b)max＝k(1)＝0，则h()≤0.
又()2－()2＝＞0，即＞，
所以存在唯一的x2∈(，]，使得h(x2)＝0.
综上，当0＜b＜时，方程f(x)＝bx2有两个不相等的实数根．(16分)
20. (1) 解：因为{an}是M(r，2r)数列，所以Sr＝2r，且S2r＝r.
由Sr＝2r，得3r＋d＝2r.因为r＞0，所以(r－1)d＝－2 (*)．
由S2r＝r，得6r＋d＝r.因为r＞0，所以(2r－1)d＝－5 (**)．
由(*)和(**)，解得r＝3，d＝－1.(2分)
(2) ①解：(i) 若q＝1，则Sr＝ra1，St＝ta1.
因为{an}是M(r，2r)数列，所以ra1＝2r (*)，2ra1＝r (**)．
由(*)和(**)，得a1＝2且a1＝，矛盾，所以q≠1.(3分)
(ii) 当q≠1，因为{an}是M(r，2r)数列，所以Sr＝2r，且S2r＝r，
即＝2r (*)，＝r (**)．
由(*)和(**)，得qr＝－.(5分)
当r＝1时，q＝－；当r＝2，4时，无解；当r＝3时，q＝－.
综上，q＝－或q＝－.(6分)
②证明：因为{an}是M(r，t)数列，q∈(－1，0)，所以Sr＝t，且St＝r，
即＝t，且＝r，
两式作商，得＝，即r(1－qr)＝t(1－qt)．(8分)
(i) 若r为偶数，t为奇数，则r(1－|q|r)＝t(1＋|q|t)．
因为r＜t，0＜1－|q|r＜1，1＋|q|t＞1，所以r(1－|q|r)＜t(1＋|q|t)，
这与r(1－|q|r)＝t(1＋|q|t)矛盾，所以假设不成立．(10分)
(ii) 若r为偶数，t为偶数，则r(1－|q|r)＝t(1－|q|t)．
设函数y＝x(1－ax)，0＜a＜1，则y′＝1－ax－xaxln a.
当x＞0时，1－ax＞0，－xaxln a＞0，所以y＝x(1－ax)在(0，＋∞)上递增．
因为r＜t，所以r(1－|q|r)＜t(1－|q|t)，
这与r(1－|q|r)＝t(1－|q|t)矛盾，所以假设不成立．(12分)
(iii) 若r为奇数，t为奇数，则r(1＋|q|r)＝t(1＋|q|t)．
设函数y＝x(1＋ax)，0＜a＜1，则y′＝1＋ax＋xaxln a.
设g(x)＝1＋ax＋xaxln a，则g′(x)＝axln a(2＋xln a)．
令g′(x)＝0，得x＝－ .因为ax＞0，ln a＜0，
所以当x＞－，g′(x)＞0，则g(x)在区间(－，＋∞)上递增；
当0＜x＜－，g′(x)＜0，则g(x)在区间(0，－)上递减，
所以g(x)min＝g(－)＝1－a－.
因为－＞0，所以a－＜1, 所以g(x)min＞0，
从而g(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，
所以y＝x(1＋ax)，0＜a＜1在(0，＋∞)上单调递增．
因为r＜t，所以r(1＋|q|r)＜t(1＋|q|t)，
这与r(1－|q|r)＝t(1－|q|t)矛盾，所以假设不成立．(14分)
(iv) 若r为奇数，t为偶数．
由①知，存在等比数列{an}为“M(1，2)数列”．
综上，r为奇数，t为偶数．(16分)
2019届高三模拟考试试卷(南京)
数学附加题参考答案及评分标准
21. A. 解：(1) M2＝＝.(4分)
(2) 矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－3)．
令f(λ)＝0，解得M的特征值为λ1＝1，λ2＝3.(6分)
①当λ＝1时，＝，得
令x＝1，则y＝－1，于是矩阵M的一个特征向量为.(8分)
②当λ＝3时，＝3，得
令x＝1，则y＝1，于是矩阵M的一个特征向量为.
因此，矩阵M的特征值为1，3，分别对应一个特征向量为，.(10分)
B. 解：直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.(2分)
曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝r2.(4分)
因为圆心C(2，－1)到直线l的距离d＝＝，(6分)
所以r＝＝.(10分)
C. 解：由柯西不等式，得[x2＋(2y)2＋(3z)2](12＋12＋22)≥(x＋2y＋6z)2.(4分)
因为x2＋4y2＋9z2＝6，所以(x＋2y＋6z)2≤36，(6分)
所以－6≤x＋2y＋6z≤6.
当且仅当＝＝时，不等式取等号，
此时x＝1，y＝，z＝或 x＝－1，y＝－，z＝－，(8分)
所以x＋2y＋6z的最大值为6.(10分)
22. (1) 解：因为l过M(2，0)，且当l垂直于x轴时，AB＝4，
所以抛物线经过点(2，2)，代入抛物线方程，得4＝2p×2，解得p＝1.(2分)
(2) 证明：设直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立消去x，得ky2－2y－4k＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝－4.(4分)
因为点C为AB中点，所以yC＝＝，则直线l1的方程为y＝.(6分)
因为直线l2过点M且与l垂直，则直线l2的方程为y＝－(x－2)．
联立(8分)
解得即P(1，)，
所以点P在定直线x＝1上．(10分)
23. (1) 解：在3位数字符串中，子串“010”在第3位出现有且只有1个，即010，
所以 f(3)＝1.(2分)
在4位数字符串中，子串“010”在第4位出现有2个，即0010与1010，
所以 f(4)＝2.(4分)
(2) 证明：当n≥5且n∈N*时，当最后3位是010时，前n－3个数位上，每个数位上的数字都有两种可能，即0和1，所以共有2n－3种可能．
由于当最后3位是010时，若最后5位是01010，且前n－2位形成的字符串中是子串“010”是在第n－2位出现，此时不满足条件．
所以 f(n)＝2n－3－f(n－2)，n≥5且n∈N*.(6分)
因为f(3)＝1，所以f(5)＝3.
下面用数学归纳法证明f(4n＋1)是3的倍数．
①当n＝1时，f(5)＝3是3的倍数；
②假设当n＝k(k∈N*)时，f(4k＋1)是3的倍数，
那么当n＝k＋1时，
f(4(k＋1)＋1)＝f(4k＋5)＝24k＋2－f(4k＋3) ＝24k＋2－[24k－f(4k＋1)]
＝3×24k＋f(4k＋1)．(8分)
因为f(4k＋1)是3的倍数，且3×24k也是3的倍数，所以f(4k＋5)是3的倍数．
这就是说，当n＝k＋1时，f(4(k＋1)＋5)是3的倍数．
由①②可知，对任意的正整数n，f(4n＋1)是3的倍数．(10分)
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