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高二第一学期第1次考试数学试题
一、单选题
1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( )
A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线
2．已知定义在R的函数对任意的x满足，当， ．函数，若函数在上有6个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3．已知双曲线的左、右顶点分别为、，动直线与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为， ，则的最小值为（ ）
A. B. 2 C. 4 D.
4．如图，正方形的边长为6，点， 分别在边， 上，且， ．若有，则在正方形的四条边上，使得成立的点有（ ）个
A. 2 B. 4 C. 6 D. 0
5．抛物线的焦点为F，准线为，A、B是抛物线上的两个动点，且满足. 设线段AB的中点M在上的投影为N，则的最大值是（ ）
A. B. 1 C. D.
6．在平面直角坐标系中，第一象限有一系列圆，所有圆均与轴和直线相切，且任何相邻两圆外切；圆的半径为，其中.若圆的半径，则数列的前项和 （ ）
A. B. C. D.
7．已知为球的一条直径，过的中点作垂直于的截面，则所得截面和点构成的圆锥的表面积与球的表面积的比值为（ ）
A. B. C. D.
8．设方程的两个根为，则( )
A. B. C. D.
9．已知函数函数，其中，若函数恰有个零点，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
10．如图，正方体的棱长为1，中心为， ， ，则四面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
11．已知椭圆的半焦距为，左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于两点，若四边形是菱形，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
12．已知抛物线的焦点为F，设是抛物线上的两个动点，如满足，则的最大值
A. B. C. D.
二、填空题
13．如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为__________．
14．过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为___
15．已知椭圆 和双曲线 的左右顶点，分别为双曲线和椭圆上不同于的动点，且满足 ，设直线的斜率分别为，则______.
16．对于定义在区间上的函数，若满足对且时都有，则称函数为区间上的“非增函数”．若为区间上的“非增函数”且，，又当时，恒成立．有下列命题：
①； ②当且时，；
③；④当时，．
其中你认为正确的所有命题的序号为________．
三、解答题
17．已知函数.
（1）求函数的单调区间和最小值；
（2）若函数在上的最小值为，求的值；
（3）若,且对任意恒成立，求的最大值.
18．若函数f(x)=ax3－bx＋4，当x=2时，函数f(x)有极值－.
(1)求函数的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)=k有三个零点，求实数k的取值范围．
参考答案
DCABB BBDDD
11．D
12．B
13．
14．8
15．0
16．①③④
17．（1）见解析；（2）见解析；（3）3
（1）的单调增区间为，单调减区间为，
（2）， ，
Ⅰ．当时， ， 在上单调递增， ，所以，舍去.
Ⅱ．当时， 在上单调递减，在上单调递增，
①若， 在上单调递增， ，所以，舍去，
②若， 在上单调递减，在上单调递增，所以，解得.
③若， 在上单调递减， ，所以，舍去，
综上所述， .
（3）由题意得： 对任意恒成立，即对任意恒成立.
令，则，令，则，
所以函数在上单调递增，
因为方程在上存在唯一的实根，且，当时， ，即，
当时， ，即.
所以函数在上递减，在上单调递增.
所以
所以，又因为，故整数的最大值为3.
18． (1)f(x)＝x3－4x＋4.(2)－＜k＜.
(1)由题意可知f′(x)＝3ax2－b，
于是解得 故所求的解析式为f(x)＝x3－4x＋4.
(2)由(1)可知f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)， 令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
单调递减
－
单调递增
因此，当x＝－2时，f(x)有极大值； 当x＝2时，f(x)有极小值－.
所以函数的大致图象如图．
故实数k的取值范围是－＜k＜.
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