第2课时 平行四边形的判定(二)
1.(2018东营)如图,在四边形ABCD中,E是BC边的中点,连接DE并延长,交AB的延长线于点F,AB=BF.添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形,你认为下面四个条件中可选择的是( D )
(A)AD=BC (B)CD=BF
(C)∠A=∠C (D)∠F=∠CDF
2.某地需要开辟一条笔直隧道,隧道AB的长度无法直接测量.如图所示,在地面上取一点C,使C到A,B两点均可直接到达,测量找到AC和BC的中点D,E,测得DE的长为1 100 m,则隧道AB的长度为( B )
(A)3 300 m (B)2 200 m
(C)1 100 m (D)550 m
3.(2018桐梓模拟)如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M,N,P分别是AD,BC,BD的中点,若∠MPN=130°,则∠NMP的度数为( C )
(A)10° (B)15°
(C)25° (D)40°
4.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,点E,F分别为边BC,AD的中点,则图中平行四边形的个数是( B )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
5.如图,已知五边形ABCDE的边长均相等,且∠DBE=∠ABE+∠CBD,
AC=1,则BD必定满足( A )
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(A)BD2 (D)以上情况均有可能
6.(2018宁波期中)在四边形ABCD中,给出下列条件:①AB∥CD;②AD=BC;③∠A=∠C;④AD∥BC,选其中两个条件就能判断四边形ABCD是平行四边形的组合是 ①④或②④或①③或③④ .
7.如图所示,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,延长DE到F,使EF=DE,若AB=10,BC=8,则四边形BCFD的周长为 26 .
8.(2018赤峰)如图,P是▱ABCD的边AD上一点,点E,F分别是PB,PC的中点,若▱ABCD的面积为16 cm2,则△PEF的面积(阴影部分)
是 2 cm2.
9.(2018安阳模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是AB,AC的中点,连接CD,CD=AB.过点E作EF∥DC交BC的延长线于点F,若四边形DCFE的周长为25 cm,AC的长为5 cm,则AB的长为 13 cm.
10.(2018徐州)已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,给出下列四个论断:
①OA=OC,②AB=CD,③∠BAD=∠DCB,④AD∥BC.
请你从中选择两个论断作为条件,以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论,完成下列各题:
(1)构造一个真命题,画图并给出证明;
(2)构造一个假命题,举反例加以说明.
解:(1)①④为论断时是真命题.
证明:如图,因为AD∥BC,
所以∠DAC=∠BCA,
∠ADB=∠DBC.
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又因为OA=OC,所以△AOD≌△COB.
所以AD=BC.
又因为AD∥BC,
所以四边形ABCD为平行四边形.
(2)②④为论断时是假命题.举反例:此时一组对边平行,另一组对边相等,可以构成等腰梯形.
11.(2018衢州期中)△ABC的中线BD,CE相交于O,点F,G分别是BO,CO的中点,求证:EF∥DG,且EF=DG.
证明:如图,连接DE,FG.
因为BD,CE是△ABC的中线,所以点D,E分别是AC,AB的中点,
所以DE∥BC,DE=BC,
因为点F,G分别是BO,CO的中点,
所以FG∥BC,FG=BC,
所以DE∥FG,DE=FG,
所以四边形DEFG是平行四边形.
所以EF∥DG,EF=DG.
12.(拓展探究题)如图,在△ABC中,M是BC边的中点,AP平分∠BAC,BP⊥AP于点P,若AB=12,AC=22,则MP的长为 5 .
13.(动点探究题)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC且AD=9 cm,BC=6 cm,点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以1 cm/s的速度由A向D运动,点Q以2 cm/s的速度由C向B运动.问几秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形?
解:设点P,Q运动的时间为t s.依题意得CQ=2t cm,BQ=(6-2t) cm,AP=t cm,PD=(9-t) cm.
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①当BQ=AP时,四边形APQB是平行四边形.即6-2t=t,解得t=2.
②当CQ=PD时,四边形CQPD是平行四边形,即2t=9-t,解得t=3.
所以经过2 s或3 s后,直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形.
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